14.3.2.1 利用平方差公式因式分解课件（19张PPT）

(共19张PPT)
14.3.2.1利用平方差公式 因式分解
人教版八年级上册
教学目标
1、会用平方差公式因式分解.
2、熟练应用提公因式、套平方差公式因式分解.
3、体会平方差公式的特点，从而进一步认识数学的严谨性和灵活性，感受观察、分析是获取知识解决问题的关键.
重点：用平方差公式因式分解
难点：把多项式适当变形后套用平方差公式因式分解
新知导入
请根据多项式乘法运算法则计算下列结果：
（1）（x+5）（x-5）=______________
（2）（3x+y）（3x-y）=______________
（3）（3m+2n）（3m-2n）=______________
x2-25
9x2-y2
9m2-4n2
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的积，你发现什么？
（1）x2-25=______________
（2）9x2-y2=______________
（3）9m2-4n2=______________
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(3m+2n)(3m-2n)
新知讲解
利用平方差公式分解因式
知识点1
思考
多项式a2-b2有什么特点？
是两个数的平方差，可以写成(a+b)(a-b)的形式.
你能将它分解因式吗？
a2-b2=(a+b)(a-b)
新知讲解
)
)(
(
b
a
b
a
–
+
=
2
2
b
a
–
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
–
+
=
–
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
强化练习
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
　
（1）
（2）
（3）
（4）
√
√
×
×
【课本P117 练习 第1题】
什么样的多项式可以用平方差公式分解因式？
思考
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
例题讲解
分析：在(1)中，4x2-9=( )2-( )2，可用平方差公式来分解因式；在(2)中，令x+p=m，x+q=n，则原式=( )2-( )2.
2x
例1　分解因式：
(1) 4x2-9； (2)(x+p)2-(x+q)2.
3
m
n
整体思想
　解：（1）　
（2）　
例题讲解
分析：对于(1)，x4-y4=( )2-( )2，可用平方差公式来分解因式；对于(2)，可先提取公因式 ，再用平方差公式来分解因式.
x2
例2　分解因式：
(1) x4-y4； (2) a3b-ab.
y2
ab
解:（1）
（2）
分解完全了吗？
强化练习
（1） （2）
2、分解因式：
=(3a+2b)(3a-2b)
【课本P117 练习 第2题】
（3） （4）
例题讲解
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
∴x–y＝–2②.
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得：
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例题讲解
例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
强化练习
3、如图，在半径为 R 的圆形钢板上，挖去半径为 r 的四个小圆，计算当 R = 7.8 cm，r = 1.1 cm 时剩余部分的面积 ( π 取 3.14 ).
【课本P120 第7题】
强化练习
4、 如图，某小区规划在边长为 x m 的正方形场地上，修建两条宽为 2 m 的甬道，其余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积？
【课本P120 第8题】
课堂总结
平方差公式分解因式
公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
拓展提高
1、若a、b、c 是三角形的三边长，且满足(a+b)2-
(b+c)2=0 ，则此三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.不能确定
A
解析：∵(a+b)2-(b+c)2=0，
(a+b+b+c) (a+b-b-c)=0，
(a+2b+c) (a-c)=0，
∴ a-c=0，即a=c.
拓展提高
2、已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
原式= – 40×5= –200．
解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m)
= –(4m+n)(2m – 3n)，
当4m+n=40，2m–3n=5时，
拓展提高
3、(1)992–1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以，(2n+1)2–25能被4整除.
(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)
=(2n+6)(2n–4)
=2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
谢谢
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