中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
注意点：
只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：A
解析：由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0,1) B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1,0) D.开口向右，焦点为
答案：B
解析：由抛物线y＝4x2，得抛物线标准式为＝x2，2p＝，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.
3.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
答案：B
解析：因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
4.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y
答案：CD
解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
5.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F，所以x0＝，所以y＝，所以y0＝±.
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝( )
A.0 B.－1 C. ±1 D.1
答案：A
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
7.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得·＝0，则p的值可以为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：AD
解析：由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋＝5，可得x＝5－.因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知可知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即点M，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.
8.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A.(2，±2) B.(1，±2) C.(1,2) D.(2,2)
答案：B
解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)．
9.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝2x C.y2＝x D.y2＝4x
答案：A
解析：过P向x轴作垂线，设垂足为Q，∵∠PFO＝，|PF|＝2，∴|PQ|＝，|QF|＝1，P，将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
10.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x
答案：B
解析：设M(x1，y1)，则由|MF|＝4|OF|得x1＋＝4×，即x1＝p，则y＝3p2，则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
二、填空题
11.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
答案：－
解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－.
12.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为________．
答案：y2＝12x或y2＝－12x
解析：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x．
13.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
答案：4
解析：由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝(x0－1)，所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝(舍)，所以点A的坐标为(3,2)，故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.
14.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
答案：x＝.
解析：如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，∵F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即·＝－1.∴y＝x0，又∵y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.∴直线AB的方程为x＝.
15.如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
答案：－1
解析：抛物线的准线方程是x＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，又点F到直线的距离d＝＝，所以|PA|＋|PB|的最小值是－1.
三、解答题
16.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
解：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
∴直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝＝·＝2p＝p，解得k＝±2.
∴AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
17.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
解：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)．
由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
∵|AB|＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
18.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.
于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以点M到准线的距离为3＋＝.
19.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
(1)x1x2是否为定值？
(2)＋是否为定值？
解：(1)抛物线y2＝2px的焦点为F，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)．
由消去y，整理得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.由根与系数的关系得x1x2＝(定值)．当AB垂直于x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝也成立．所以x1x2为定值.
(2)由抛物线的定义知，|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋.
＋＝＋＝＝＝＝(定值)
所以＋为定值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
注意点：
只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0,1) B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1,0) D.开口向右，焦点为
3.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
4.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y
5.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝( )
A.0 B.－1 C. ±1 D.1
7.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得·＝0，则p的值可以为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A.(2，±2) B.(1，±2) C.(1,2) D.(2,2)
9.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝2x C.y2＝x D.y2＝4x
10.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x
二、填空题
11.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
12.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为________．
13.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
14.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
15.如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
三、解答题
16.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
17.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．
18.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
19.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
(1)x1x2是否为定值？
(2)＋是否为定值？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点二 直线和抛物线
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2.抛物线的焦点弦
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注意点：
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x
答案：C
解析：设抛物线为y2＝2px(p>0)，直线AB为x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
2.已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x2＝－12y B.x2＝12y C.y2＝12x D.y2＝－12x
答案：A
解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案：C
解析：由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4.P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A.|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B.|PP1|＝|AB| C.|PP1|>|AB| D.|PP1|<|AB|
答案：B
解析：如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C. D.
答案：C
解析：如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，|OF|＝＝4×＝1，所以p＝2，
因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
6.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A.8 B. C. D.
答案：B
解析：联立消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，∴|AB|＝·＝×＝.
7.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B. C. D．3
答案：A
解析：方法一 设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝.
方法二 设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝，则p等于( )
A.2 B.3 C.6 D.12
答案：A
解析：由题意可知F，则直线AB为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得相减得，y－y＝2p(x1－x2) y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E，即E，因为E在直线AB：y＝x－上，所以E，又因为|OE|＝，所以p＝2.
9.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为( )
A.2 B.4 C.2 D.8
答案：C
解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴直线AB的方程为y＝x－，代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，∴|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝＋p2＋＝2p2＝16，解得p＝2.
10.过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B.2 C.2 D.3
答案：C
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．联立方程组解得或∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．∵MN⊥l，∴N(－1,2)．∴|NF|＝＝4，|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为2.
二、填空
11.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____．
答案：－4
解析：方法一 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，设直线AB的方程为x＝my＋，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－p2.由于点A，B均在抛物线上，则得因此，＝＝＝－＝－4.
方法二 由焦点弦的性质可得x1·x2＝，y1·y2＝－p2，故＝－4.
12.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线的方程为______________．
答案：y2＝±4x
解析：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝，∴＝8，∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线方程为y2＝±4x.
13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝____________．
答案：
解析：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
14.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程为______________．
答案：2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
解析：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k，k≠0.由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.所以|AB|＝＝·＝2p＝p，解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
15.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
答案：2
解析：由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，因为∠AMB＝90°，所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，解得k＝2.经检验，k＝2符合题意．
三、解答题
16.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，
所以m＝，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
17.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
18.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
(1)解：依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝×＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．
19.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．
解：(1)由题意可知F，则该直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，
∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵y－y＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4×＝4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，·取得最小值，最小值为－14.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点二 直线和抛物线
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2.抛物线的焦点弦
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注意点：
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x
2.已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x2＝－12y B.x2＝12y C.y2＝12x D.y2＝－12x
3.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A.|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B.|PP1|＝|AB| C.|PP1|>|AB| D.|PP1|<|AB|
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C. D.
6.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A.8 B. C. D.
7.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B. C. D．3
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝，则p等于( )
A.2 B.3 C.6 D.12
9.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为( )
A.2 B.4 C.2 D.8
10.过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B.2 C.2 D.3
二、填空
11.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____．
12.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线的方程为______________．
13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝____________．
14.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程为______________．
15.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
三、解答题
16.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
17.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
18.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
19.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用 1/1
