高中数学人教A版2019必修1 函数的单调性与最大（小）值（含答案）

高中数学人教A版2019必修1
3.2.1函数的单调性与最大（小）值
单选题
1.下列函数在R上为增函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x C． D．
2.函数的单调增区间为（　　）
A． B．
C．和（4，+∞） D．
3.函数y＝|x+1|﹣|2﹣x|的最大值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣2
4.y＝的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
5.若函数在区间[0，1]上的最大值为，则实数m＝（　　）
A．3 B． C．2 D．或3
6.若函数在R上为增函数,则实数b的取值范围为 ( )
A. B. [1,2] C. D.
7.函数f(x)是R上的增函数且f(a)+f(b)> f(-a)+f(-b),则( )
A.a>b>0 B.a-b>0 C.a+b>0 D.a>0,b>0
8.若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都单调递减，则a的取值范围是 ( )
A.(-1,0)U(0,1) B.(-1,0)∩(0,1) C.(0,1) D.(0,1]
二、多选题
9.(多选题)下列命题中为真命题的是（ ）
A.定义在(a,b)上的函数f(x),如果有无穷多个x1,x2∈(a,b),当x1< x2时,有f(x1)B.如果函数f(x)在区间D1上单调递减,在区间D2上也单调递减,那么 f(x)在区间D1和D2上就一定单调递减
C.,f(x)在(a,b)上单调递减
D. f(x)在(a,b)上单调递增
10.在实数集R上定义一种运算“*”,使其具有下列性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R，a*0=a;
(3)对任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.
则函数f(x)=x*可以在下列区间上单调递增的有 ( )
A. B. C. D.
11.已知函数,则该函数( )
A.最大值为 B.最大值为
C.没有最小值 D.在区间(1,2)上单调递增
12.若函数f(x)在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数,则称f(x)在M上是“弱增函数”,则下列法正确的是( )
A.若f(x)=x2,则不存在区间M使f(x)为“弱增函数”
B.若f(x) =x+,则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
C.若f(x) =x +x,则f(x)为R上的“弱增函数”
D.若f(x) =x2+(4-a)x+a在区间(0,2]上是“弱增函数”,则a=4
三、填空题
13.函数f(x)=ax+(2-x),其中a>0,记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a),则函数g(a)的最大值为 .
14.已知函数 f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],则函数f(x)的最小值 。
15.已知函数f(x)的值域为[,3],y=f2(x)-f(x)+1的值域为_ ;F(x)=4f(x)+的值域为__ .
16.已知函数则关于实数m的不等式f(2m)>f(m2)的解集为 。
四、解答题
17.已知函数 f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R的最小值为g(t),求g(t)的函数表达式.
18.已知函数的图象经过点（1，﹣5）．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在[2，5]的单调性，并用定义法证明．
（3）求函数f（x）在[2，5]的最大值．
二次函数f(x)满足f(0)=1,再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,函数f(x)的图象总在一次函数y=2x+m图象的上方,试确定实数 m 的取值范围.
条件①:f(x+1)-f(x)=2x.
条件②:不等式f(x)20.定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x) >0.
(1)求f(1)的值;
(2)求证:f()=f(m)-f(n);
(3)求证:f(x)是增函数;
(4)若f(2)=1,解不等式f(x+2)-f(2x) >2;
(5)比较f()与的大小
21.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台
仪器需另投资100元，已知总收益(单位:元)满足函数,其中x(单位:台)是仪器的总产量
(1)将利润表示为总产量的函数f(x).
(2)当总产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少 (利
润=总收益-总成本)
22.设定义在(0，+∞)上的函数f(x)对任意的正实数m，n，都有f(m)=f()+f(n)成立,且当x>1时,f(x) <0.
(1)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
(2)求方程的实数解;
(3)求不等式(x-2)f(x) <0 的解集.
3.2.1函数的单调性与最大（小）值答案
单选题1～5 BCADB 6～8 BCD
多选题 9.CD 10.BCD 11.AD 12.ABD
填空题 13.2 14.
[,7] 16.(0,2)
解答题
17.【解析】解：f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t, t+1],t∈R.
当t+1<1,即t<0时,函数f(x)的图象如图17.1中实线所示,函数f(x)在区间[t, t+1]上单调递减,所以最小值g(t)=f(t+1)=t+1;
当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数f(x)的图象如图17.2中实线所示,最小值g(t)= f(1)=1;
当t>1时,函数f(x)的图象如图17.3中实线所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,所以最小值g(t)=f(t)=t2-2t +2.
17.1 17.2 17.3
综上可得，
18.【解答】解：（1）∵函数的图象经过点（1，﹣5），
∴1+a＝﹣5，解得a＝﹣6．
（2）由（1）可得，f（x）＝x﹣，
f（x）在[2，5]的单调性为单调递增，
证明：设任意x1，x2∈[2，5]，且x1＞x2，
∵f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）+，
又∵x1﹣x2＞0，x1x2＞0，
∴（x1﹣x2）+＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在[2，5]的单调性为单调递增，即得证．
（3）由（2）可得，函数f（x）在[2，5]的单调性为单调递增，
∴函数f（x）在[2，5]的最大值为f（5）＝5﹣＝．
19.【解答】解：(1)由f(0)=1 设f(x) = ax + bx +1(a≠0).
选择①,则有f(x+1)-f(x) =a(x+1) + b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2ax+a +b =2x, 由题意，得
故f(x)=x -x+1.
选择②,则f(x) 由题知,方程ax +(b-1)x-3=0的两实根分别为-1和3,所以,即a=1,所以b=-1.
故f(x)=x2-x+1.
由题意,得x2-x+1>2x+m,即x -3x +1>m,对x∈[-1,1]恒成立.
令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1],则问题可转化为g(x)min>m.
因为g(x)在[-1,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=-1,故m<-1.
.(1)令m=n=1，由条件得f(1)=f(1)+f(1).故f(1)=0.
(2)f(m)=()=f()+f(n).即f()=f(m)-f(n).
(3)任取x1,x2∈(0,+∞),且x11.
由(2)得f(x2)-f(x1)=f()>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数.
(4)由于f(2)=1,所以2=f(2) +f(2) =f(4),
由f(x+2)-f(2x)>2,可知f(x+2)>f(2x) +f(4),
所以f(x+2) >f(8x).
x+2>8x，
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
解得0故不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集为{x|0由题知，
且
(当且仅当m=n 时取等号).
因为f(x)是增函数,
【解答】解：(1)由题意知总成本为(20000+100x)元，
当0≤x≤400时
当x=300时f(x)取得最大值25000;
当x>400时x)=60000-100x是减函数。 所以f(x)<20 000.
.当x=300时f(x)取得最大值25 000.
即当总产量为300台时，公司所获利润最大，为25000元