活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.1.1　平均变化率（有答案）

5.1.1　平均变化率
1. 了解平均变化率的定义， 通过平均变化率体会如何用数学模型刻画变量的变化快慢．
2. 了解函数y＝f(x)在区间[a，b]上的平均变化率．
3. 会从运动的观点理解实际问题，进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程．
活动一 了解平均变化率的概念
情境1：我们先来观察如图所示的气温曲线图(以3月18日作为第一天)．
思考1
从曲线图中，你能发现什么？A→B，B→C，哪一段的气温变化快？
思考2
“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(从形与数两个方面给予解释情境1)
情境2：同学们基本都爬过山，那么平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？这是什么原因？
情境3：在跑步的时候，在相同的时间内，跑得快累，还是跑得慢累？这是什么原因呢？
思考3
(1) 上述三个情境问题有什么共同点？
(2) 数学上用什么量来刻画变化的快慢？
1. 平均变化率．
思考4
结合上述问题总结平均变化率的概念．
思考5
试再举例说明平均变化率．
思考6
如果把上述三个情境问题都看成一个量为x，一个量为y，两者之间都有一个函数关系y＝f(x)，请用代数式子来表示平均变化率．
2. 函数的平均变化率．
思考7
试给出函数的平均变化率的概念．
解决函数平均变化率问题的关键是：
(1) 函数的解析式；
(2) 自变量的变化区间.
活动二 理解平均变化率的实际意义
例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
例2　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e－0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10 s内V的平均变化率．
活动三 了解函数y＝f(x)在区间[a，b]上的平均变化率的求法
例3　已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1) [1，3]；　　　　
(2) [1，2]；
(3) [1，1.1];
(4) [1，1.001]．
例4　已知函数f(x)＝－4x＋1，g(x)＝－2x分别计算在区间[－3，－1]和[0，5]上函数f(x)及g(x)平均变化率．
思考8
(1) 若将区间改为[1，1＋Δx]，结果如何？
(2) 一次函数在不同区间上的平均变化率有何特征？
活动四 了解平均变化率的几何意义
例5　已知曲线f(x)＝x3上的两点P(1，1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)，求直线PQ的斜率，并求当Δx＝0.1 时直线PQ的斜率．
1. 函数f(x)＝x2＋c(c∈R)区间上的平均变化率为(　　)
A. 2 B. 4 C. c D. 2c
2. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(　　)
A. v2＝v3B. v1C. v1D. v23. (多选)甲工厂八年来某种产品的年产量y与时间x(单位：年)的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 前四年该产品产量的增长速度越来越快
B. 前四年该产品产量的增长速度越来越慢
C. 第四年后该产品停止生产
D. 第四年后该产品的年产量保持不变
4. 函数y＝2x2－4在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．
5. 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉．登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受．下面是一段登山路线图，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释．
参考答案与解析
【活动方案】
思考1：容易看出点B，C之间的曲线比点A，B之间的曲线更加“陡峭”．B→C段的气温变化快．
思考2：从形的角度：B→C段的曲线较A→B段更陡峭；从数的角度：气温在区间[1，32]上的平均变化率约为0.5；气温在区间[32，34]上的平均变化率为7.4.
情境2：平缓的山好攀登．因为山越陡峭，当爬山移动的水平距离变化量一定时，垂直距离的变化量越大，从而在陡峭的山攀登平均变化量就越大．
情境3：跑得快累．因为当时间变化量一定时，跑得快的位移变化量就大，从而在这时间内的平均变化量就大．
思考3：(1) 都和平均变化率有关．
(2) 平均变化率．
思考4：量化两点间陡峭程度，并称该比值为平均变化率．
思考5：略
思考6：y＝f(x)＝.
思考7：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
例1　从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为＝1(kg/月)，
从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为＝＝0.4(kg/月)．
例2　 在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为≈＝－0.316 1(cm3/s)，
即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 1 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)．
例3　(1) 函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝4.
(2) 函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为＝3.
(3) 函数f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝2.1.
(4) 函数f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率为＝2.001.
例4　函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝－4，
函数f(x)在区间[0，5]上的平均变化率为＝－4；
函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝－2；
函数g(x)在区间[0，5]上的平均变化率为＝－2.
思考8：(1) 函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－4，
函数g(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－2.
综上可知，结果保持不变．
(2) 一次函数在不同区间上的平均变化率等于斜率．
例5　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
所以直线PQ的斜率k＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
设当Δx＝0.1时，直线PQ的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.
【检测反馈】
1. B　解析：＝＝＝4.
2. C　解析：由题意，得v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA3. BD　解析：设y＝f(x)，由题图可知前四年该产品产量的增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确．故选BD.
4. 4＋2Δx　解析：＝＝＝4＋2Δx.
5. 从A处到B处高度的平均变化率为＝＝，从B处到C处高度的平均变化率为＝＝.
由>，知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭，
故从A处到B处会感觉比较轻松，从B处到C处会感觉比较吃力．