活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．1.2　瞬时变化率——导数(1)（有答案）

5．1.2　瞬时变化率——导数(1)
1. 掌握 “以直代曲”的逼近方法．
2. 理解导数的几何意义，能熟练地求出曲线上一点处的切线方程．
活动一 了解导数的几何意义
1. 前面学习了函数的平均变化率，了解了平均变化率的含义，那么曲线上某点处有什么变化趋势？如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势？
2. 已知函数f(x)＝x3，点P(1，1)，Q(1＋Δx，1＋Δy)在曲线y＝f(x)上．
(1) 分别求在下列条件下直线PQ的斜率．
①Δx＝2; ②Δx＝1; ③Δx＝0.5; ④Δx＝0.1.
(2) 割线的概念：
(3) 试画出曲线及相应的割线PQ，哪条割线在点P附近更逼近曲线？
(4) 在点P附近你能作出一条比上述割线更加逼近点P处曲线的直线l吗？
(5) 用直线l的什么量来刻画曲线经过点P时上升或下降的变化趋势？
(6) 切线的概念：
思考1
曲线的切线与曲线一定有一个公共点吗？
(7) 求当Δx无限趋近于0时，PQ斜率的值．
思考2
结合上述问题，试给出曲线上某一点处的切线的斜率的定义．
活动二 理解切线斜率的定义
例1　已知l为经过曲线y＝x2上点P和点Q的直线．
(1) 若点P(1，1)，Q(3，9)，求直线l的斜率；
(2) 当点Q沿曲线向点P靠近时，直线l的斜率变大还是变小？
例2　已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率．
活动三 掌握曲线的切线方程的求法
　例3　求曲线f(x)＝2x2＋1在x＝2处的切线方程．
求曲线的切线方程的一般步骤：
(1) 求出点P的坐标；
(2) 求出过点P的切线斜率；
(3) 利用点斜式求出切线方程.
例4　已知曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4，求切点的坐标，并求这条切线的方程．
1. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一种方案是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是(　　)
A B C D
2. 若函数f(x)在x＝1处的切线斜率为1，则当Δx无限趋近于0时，的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. 不能确定
3. (多选)已知函数f(x)在x＝1处的切线的斜率为1，当x无限趋近于0时，的值不可能是 (　　)
A. 3 B. － C. D. －
4. 曲线y＝x3＋2在x＝1处的切线方程为____________．
5. 已知曲线y＝x2－2上一点P，求过点P的切线的倾斜角．
参考答案与解析
【活动方案】
1. 将某点附近的曲线放大，可以发现曲线在该点附近将逼近一条直线，因此，在该点附近我们可以用这条直线来代替曲线(即在很小范围内以直代曲)，所以我们可以用这条直线的斜率来刻画曲线在该点处的上升或下降的“变化趋势”．
2. (1) 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
所以直线PQ的斜率为k＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
①当Δx＝2时，k＝22＋3×2＋3＝13.
②当Δx＝1时，k＝12＋3×1＋3＝7.
③当Δx＝0.5时，k＝0.52＋3×0.5＋3＝4.75.
④当Δx＝0.1时，k＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.
(2) 设Q为曲线上不同于点P的一点，直线PQ称为曲线的割线．
(3) 图略；当Δx＝0.1时，割线在点P附近更逼近曲线．
(4) 能，图略．
(5) 用直线l的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的变化趋势．
(6) 设Q为曲线上不同于点P的一点，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
思考1：曲线的切线与曲线一定有一个公共点．
(7) 当Δx无限趋近于0时，PQ的斜率无限趋近于常数3.
思考2：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于点P处的切线的斜率．
例1　(1) 直线l的斜率为kPQ＝＝4.
(2) 变小．
例2　设点P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，
则割线PQ的斜率为kPQ＝＝4＋Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，
所以曲线y＝f(x)在点P(2，4)处的切线的斜率为4.
例3　设点P(2，9)，Q(2＋Δx，2(2＋Δx)2＋1)，
则割线PQ的斜率为kPQ＝＝8＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数8，
所以曲线y＝f(x)在点P(2，9)处的切线斜率为8，
则曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程为y－9＝8(x－2)，即y＝8x－7.
例4　设切点为P(a，a2)，另一点Q(a＋Δx，(a＋Δx)2)，
则割线PQ的斜率为kPQ＝＝2a＋Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2a，
即曲线y＝f(x)在点P(a，a2)处的切线斜率为2a.
又曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4，
所以2a＝－4，解得a＝－2，所以点P(－2，4)，
则切线方程为y－4＝－4(x＋2)，即y＝－4x－4.
【检测反馈】
1. B　解析：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增大而增大，则曲线是上升的，且越来越陡，故选B.
2. A　解析：当Δx无限趋于0时，函数f(x)在x＝1处的切线斜率k＝＝1.
3. ABC　解析：因为＝×，所以当x无限趋近于0时，就是函数f(x)在x＝1处的切线的斜率，所以当x无限趋近于0时，的值为－.故选ABC.
4. 3x－y＝0　解析：设点P(1，3)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)3＋2)，则kPQ＝＝3＋3Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数3，所以曲线y＝x3＋2在x＝1处的切线斜率为3，所以所求的切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.
5. 设点Q，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝1＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数1，所以曲线y＝f(x)在点P处的切线斜率为1.
又因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)，所以过点P的切线的倾斜角为45°.