活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．1.2　瞬时变化率——导数(3)（有答案）

5．1.2　瞬时变化率——导数(3)
1. 了解导数的背景，理解导数的概念．
2. 通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
3. 进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程，同时又对变量数学的思想方法有新的感悟.
活动一 掌握导数的概念
1. (1) 如何求曲线上任意一点的切线的斜率？
(2) 如何求某一时刻物体运动的瞬时速度？
(3) 如何求某一时刻物体运动的瞬时加速度？
思考1
以上三个问题有哪些共同特征？(从代数式、求解的目标等进行分析)
2. 导数的定义．
思考2
结合上述三个问题探求函数f(x)在x＝x0处的导数．
思考3
试从导数的定义，归纳求函数f(x)在x＝x0处导数的方法．
思考4
导数f′(x0)的几何意义是什么？
活动二 掌握求函数在x＝x0处的导数的方法
例1　已知f(x)＝x2＋2.
(1) 求f(x)在x＝1处的导数f′(1)；
(2) 求f(x)在x＝a处的导数f′(a)．
根据f′(x0)的几何意义及求解过程，体会极限的思想，求得函数f(x)在x＝x0处的导数．
　已知f(x)＝2x2－x，求f(x)在x＝2处的导数．
活动三 掌握导函数的定义及求法
　　3. 导函数的定义：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
思考5
“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”两者之间有哪些区别和联系？
思考6
f′(1) 与f(1) 的含义有什么不同？f′(1) 与f′(x)之间有什么联系？
4. 求导函数：
例2　已知f(x)＝x2－2x，求 f′(x)．
例3　已知f(x)＝2x3－1，f′(x0)＝6，求x0的值．
活动四 掌握导数的几何意义及实际意义
　　思考7
结合导数的定义，探求在曲线上任意一点的切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度与导数有何联系？
例4　(1) 若曲线y＝x2＋2ax与直线y＝2x－4相切，求a的值；
(2) 通过某导体的电量(单位：C)q＝2t2＋3t，求当t＝5 s时的电流强度(单位：A)．
1. 若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则f(2)＋f′(2)的值为(　　)
A. 0 B. 2 C. －4 D. 4
2. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列结论中正确的是(　　)
A. f′(1)B. f′(1)C. f′(2)D. a3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处无切线
B. 函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点
C. 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则 ＝1
D. 若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0
4. 已知函数f(x)可导，若 ＝1，则f′(1)＝________．
5. 已知f(x)＝x3－2，求f′及f′(x)．
参考答案与解析
【活动方案】
1. 略
思考1：代数式都是的形式，其中Δx表示自变量x的改变量，Δy表示相应的函数的改变量．都求的是函数在某一点处的瞬时变化率．
思考2：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
思考3：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率＝；
③令Δx→0，→A，则A即为函数f(x)在x＝x0处的导数，通常也可表示为 ＝A.
思考4：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
例1　 (1) 因为＝＝＝2＋Δx，
所以当Δx→0时，2＋Δx→2，
即 ＝ (2＋Δx)＝2，
故f(x)在x＝1处的导数为2，即f′(1)＝2.
(2) 因为＝＝＝2a＋Δx，
所以当Δx→0时，2a＋Δx→2a，
即 ＝ (2a＋Δx)＝2a，
故f(x)在x＝a处的导数为2a，即f′(a)＝2a.
跟踪训练　因为＝＝＝2Δx＋7，
所以当Δx→0时，2Δx＋7→7，
即 ＝ (2Δx＋7)＝7，
故f(x)在x＝2处的导数为7.
思考5：联系：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
区别：导函数是函数，f(x)在x＝x0处的导数是数值．
思考6：f′(1)表示函数f(x)在x＝1处的导数，f(1)表示函数f(x)在x＝1处的值，f′(1)表示导函数f′(x)在x＝1处的值．
例2　因为＝
＝
＝Δx＋2x－2，
所以当Δx→0时，→2x－2，
即 ＝ (Δx＋2x－2)＝2x－2，
故f′(x)＝2x－2.
例3　因为＝
＝
＝6x＋6x0(Δx)＋2(Δx)2，
所以当Δx→0时，→6x，
即 ＝[6x＋6x0(Δx)＋2(Δx)2]＝6x，
即f′(x0)＝6x.
又f′(x0)＝6，所以x0＝1或x0＝－1.
思考7：曲线上任一点的切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度即为函数在该点的导数．
例4　(1) 因为＝＝2x＋2a＋Δx，　
所以当Δx→0时，→2x＋2a，
即 ＝ (2x＋2a＋Δx)＝2x＋2a，
即f′(x)＝2x＋2a.
设切点为(x0，y0)，
则2x0＋2a＝2，y0＝2x0－4＝x＋2ax0，
解得x0＝±2.
当x0＝2时，a＝－1；
当x0＝－2时，a＝3.
(2) 因为＝＝4t＋3＋2Δt，
所以当Δt→0时，→4t＋3，
即 ＝ (4t＋3＋2Δt)＝4t＋3，
即q′＝4t＋3，
故当t＝5 s时，电流强度为23A.
【检测反馈】
1. C　解析：因为函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝－x－1，所以f(2)＝－2－1＝－3，f′(2)＝－1，所以f(2)＋f′(2)＝－4.
2. B　解析：由图象可知，当x>0时，函数的增长越来越快，故函数图象切线的斜率越来越大．因为＝a，易知f′(1)3. BD　解析：若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处的切线斜率为0，存在切线，故A错误；如函数f(x)＝x3－3x在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)，故B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2.又 ＝－ ＝－f′(1)＝－1≠1，故C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1.又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，切线的斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BD.
4. 3　解析：因为 ＝1，即· ＝1，所以f′(1)＝1，故f′(1)＝3.
5. 因为＝＝2x2＋2x(Δx)＋(Δx)2，所以当Δx→0时，→2x2，
即 ＝2x2，
即f′(x)＝2x2.当x＝－时，f′＝.