苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．1.2 瞬时变化率——导数(1)课时小练（有解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．1.2 瞬时变化率——导数(1)课时小练（有解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-24 16:14:14 | ||
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文档简介
5．1.2 瞬时变化率——导数(1)
一、 单项选择题
1. 已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 135° D. 165°
2. 下列各点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A. (0，0) B. (2，4) C. D.
3. 曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线方程为( )
A. y＝x＋1 B. y＝－2x＋4
C. y＝2x D. y＝4x－2
4. 已知f(x)＝－2x2，若曲线y＝f(x)在x＝a处的切线的斜率为－4，则实数a的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
5. 曲线y＝x2＋x在点P处的切线与直线3x＋y＋4＝0平行，则点P的坐标是( )
A. (2，6) B. (1，2) C. (－2，2) D. (2，6)或(－2，2)
6. 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为1，则当x无限趋近于0时，的值为( )
A. 2 B. C. －2 D. －
二、 多项选择题
7. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标可以是( )
A. (1，1) B. (－1，－1) C. (2，8) D. (－2，－8)
8. 设函数f(x)＝－，则当x无限趋近于a时，的值不可能是( )
A. － B. C. － D.
三、 填空题
9. 曲线y＝在x＝x0处的切线的斜率为________．
10. 若曲线f(x)在x＝－2处的切线斜率为1，则当x无限趋近于0时，＝________．
11. 若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________．
12. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则当Δx无限趋近于0时，＝________．(用数字作答)
四、 解答题
13. 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1) 抛物线与直线的交点坐标；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
14. 求曲线y＝2x－x3在点Q(－1，－1)处的切线方程及该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积．
答案与解析
1. B 解析：设点Q(1＋Δx，(1＋Δx)2－2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝1＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数1，所以曲线在点P处的切线的倾斜角为45°.
2. D 解析：设切点P(x0，y0)，过点P的一条割线交曲线于另一点Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2)，则kPQ＝＝2x0＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2x0，所以2x0＝tan＝1，所以x0＝，y0＝.故选D.
3. C 解析：因为＝＝2＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数2，所以曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线斜率k＝2，则切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
4. A 解析：设点P(a，－2a2)，Q(a＋Δx，－2(a＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－4a－2Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－4a，所以－4a＝－4，解得a＝1.
5. C 解析：设点P(x0，x＋x0)，Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2＋x0＋Δx)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝2x0＋1＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0＋1，所以2x0＋1＝－3，解得x0＝－2，所以点P的坐标为(－2，2)．
6. B 解析：由题意，得当x无限趋近于0时，无限趋近于1，则无限趋近于.
7. AB 解析：设点P(x0，y0)，过点P的一条割线交曲线于另一点Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)3)，则kPQ＝＝3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数3x，所以3x＝3，解得x0＝±1.当x0＝1时，y0＝1；当 x0＝－1时，y0＝－1，故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)．故选AB.
8. ABC 解析：因为＝＝，所以当x无限趋近于a时， ＝，故D正确，A，B，C错误．故选ABC.
9. － 解析：设点M，Q(x0＋Δx，)，则割线MQ的斜率kMQ＝＝.当Δx无限趋近于0时，kMQ无限趋近于－，所以曲线在x＝x0处的切线斜率为－.
10. － 解析：由题意，得当x无限趋近于0时，＝1，所以＝－·＝－.
11. －1 解析：设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0(Δx)＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4x0，所以4x0＝4，所以x0＝1，y0＝3.将点(1，3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1.
12. 1 解析：由函数图象可知，f(x)＝所以＝＝－2，所以＝－·＝－×(－2)＝1.
13. (1) 由题意，得x2＋4＝x＋10，
解得x＝－2或 x＝3.
当x＝－2时，y＝8；当x＝3时，y＝13，
故抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)，(3，13)．
(2) 当(－2，8)为切点时，
＝＝Δx－4，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4，即切线的斜率为－4，则切线方程为y＝－4x.
同理可得当(3，13)为切点时的切线方程为y＝6x－5.
14. 因为点Q(－1，－1)在曲线上，设另一点P(Δx－1，2(－1＋Δx)－(－1＋Δx)3)，
则kPQ＝
＝－1＋3Δx－(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，
所以曲线在点Q(－1，－1)处的切线斜率为－1，
则切线方程为x＋y＋2＝0，
所以该切线与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，－2)，
则该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积为×2×2＝2.
一、 单项选择题
1. 已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 135° D. 165°
2. 下列各点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A. (0，0) B. (2，4) C. D.
3. 曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线方程为( )
A. y＝x＋1 B. y＝－2x＋4
C. y＝2x D. y＝4x－2
4. 已知f(x)＝－2x2，若曲线y＝f(x)在x＝a处的切线的斜率为－4，则实数a的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
5. 曲线y＝x2＋x在点P处的切线与直线3x＋y＋4＝0平行，则点P的坐标是( )
A. (2，6) B. (1，2) C. (－2，2) D. (2，6)或(－2，2)
6. 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为1，则当x无限趋近于0时，的值为( )
A. 2 B. C. －2 D. －
二、 多项选择题
7. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标可以是( )
A. (1，1) B. (－1，－1) C. (2，8) D. (－2，－8)
8. 设函数f(x)＝－，则当x无限趋近于a时，的值不可能是( )
A. － B. C. － D.
三、 填空题
9. 曲线y＝在x＝x0处的切线的斜率为________．
10. 若曲线f(x)在x＝－2处的切线斜率为1，则当x无限趋近于0时，＝________．
11. 若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________．
12. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则当Δx无限趋近于0时，＝________．(用数字作答)
四、 解答题
13. 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1) 抛物线与直线的交点坐标；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
14. 求曲线y＝2x－x3在点Q(－1，－1)处的切线方程及该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积．
答案与解析
1. B 解析：设点Q(1＋Δx，(1＋Δx)2－2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝1＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数1，所以曲线在点P处的切线的倾斜角为45°.
2. D 解析：设切点P(x0，y0)，过点P的一条割线交曲线于另一点Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2)，则kPQ＝＝2x0＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2x0，所以2x0＝tan＝1，所以x0＝，y0＝.故选D.
3. C 解析：因为＝＝2＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数2，所以曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线斜率k＝2，则切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
4. A 解析：设点P(a，－2a2)，Q(a＋Δx，－2(a＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－4a－2Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－4a，所以－4a＝－4，解得a＝1.
5. C 解析：设点P(x0，x＋x0)，Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2＋x0＋Δx)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝2x0＋1＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0＋1，所以2x0＋1＝－3，解得x0＝－2，所以点P的坐标为(－2，2)．
6. B 解析：由题意，得当x无限趋近于0时，无限趋近于1，则无限趋近于.
7. AB 解析：设点P(x0，y0)，过点P的一条割线交曲线于另一点Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)3)，则kPQ＝＝3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数3x，所以3x＝3，解得x0＝±1.当x0＝1时，y0＝1；当 x0＝－1时，y0＝－1，故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)．故选AB.
8. ABC 解析：因为＝＝，所以当x无限趋近于a时， ＝，故D正确，A，B，C错误．故选ABC.
9. － 解析：设点M，Q(x0＋Δx，)，则割线MQ的斜率kMQ＝＝.当Δx无限趋近于0时，kMQ无限趋近于－，所以曲线在x＝x0处的切线斜率为－.
10. － 解析：由题意，得当x无限趋近于0时，＝1，所以＝－·＝－.
11. －1 解析：设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0(Δx)＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4x0，所以4x0＝4，所以x0＝1，y0＝3.将点(1，3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1.
12. 1 解析：由函数图象可知，f(x)＝所以＝＝－2，所以＝－·＝－×(－2)＝1.
13. (1) 由题意，得x2＋4＝x＋10，
解得x＝－2或 x＝3.
当x＝－2时，y＝8；当x＝3时，y＝13，
故抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)，(3，13)．
(2) 当(－2，8)为切点时，
＝＝Δx－4，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4，即切线的斜率为－4，则切线方程为y＝－4x.
同理可得当(3，13)为切点时的切线方程为y＝6x－5.
14. 因为点Q(－1，－1)在曲线上，设另一点P(Δx－1，2(－1＋Δx)－(－1＋Δx)3)，
则kPQ＝
＝－1＋3Δx－(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，
所以曲线在点Q(－1，－1)处的切线斜率为－1，
则切线方程为x＋y＋2＝0，
所以该切线与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，－2)，
则该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积为×2×2＝2.