15.2整式的乘法[上学期]
文档属性
| 名称 | 15.2整式的乘法[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 76.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-12-21 11:13:00 | ||
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文档简介
§15．2 整式的乘法
课时安排
6课时
从容说课
整式的乘法包括四大块内容：一是同底数幂的乘法；二是幂的乘方；三是积的乘方；四是整式的乘方，它包括单项式与单项式的乘积、单项式与多项式的乘积、多项式与多项式的乘积．其中四是一、二、三的综合应用．整式乘法是学生在掌握数的乘法、数乘运算法则的基础上进行字母、整式运算，它是思维的进一步深化，是对特殊──一般──特殊的认知规律的进一步理解．
本节内容按6课时完成，探究呈步步深入状态，学法有类似之处，所以教学时，以问题形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，使学生在学习过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，体验创新的乐趣．
本节教学的重点应放在正确理解“运算法则”上，教学中应给学生足够的时间，进行探索、归纳、发现、总结，从而理解运算法则，以至灵活运用法则解决问题，而不是包办代替，直接给出运算法则，让学生死记硬背，机械应用．通过本节学习，要使学生在对知识的再创造和再发现的活动中培养创新精神和探索能力．
§15．2．1 同底数幂的乘法
第三课时
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．
（三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
教学重点
正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教具准备
投影片（或多媒体课件）．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
（出示投影片）
提出问题：
（出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
[生]运算次数=运算速度×工作时间
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．
[师]1012×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1012×103=×（10×10×10）==1015．
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
Ⅱ．导入新课
1．做一做
出示投影片：
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
=27=25+2．
因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2．
5m·5n= ×=5m+n．
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
出示投影片
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an=·==am+n
于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n．
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
出示投影片
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
生板演：
（1）解：x2·x5=x2+5=x7．
（2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7．
（3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．
（4）解：xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．
解法一：am·an·ap=（am·an）·ap
=am+n·ap=am+n+p；
解法二：am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p．
解法三：am·an·ap=··
=am+n+p．
评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·am2·…·amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
2×24×23=21+4+3=28．
Ⅲ．随堂练习
出示投影片
1．解：（1）b5·b=b5+1=b6．
（2）10×102×103=101+2+3=106．
（3）-a2·a6=（-1）·（a2·a6）=（-1）·a2+6=（-1）a8=-a8．
（4）y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1．
2．解：（1）×．因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8．
（2）×．x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4．
（3）×．x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算．
（4）×．x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4．
（5）∨．
（6）∨．因为a3·a2-a2·a3=a5-a5=0．
（7）×．a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同．
（8）×．y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7．
Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）．
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
2．计算：
（1）a3·a4 （2）x3·x
（3）y5·y3 （4）105·10·103
（5）x7·x·xn （6）y·y2·y3·y4
3．利用同底数幂相乘的性质进行计算与利用幂的意义进行计算相比较，有什么简便之处？（化幂的乘法运算为指数的加法运算）
Ⅵ．活动与探究
计算（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-4
（2）（x-y）2·（y-x）5
过程：①可以把2a+b、x-y看作一个整体．
②（x-y）2=（y-x）2·（y-x）5=-（x-y）5
③同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
所以（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-4
=（2a+b）2n+1+3+m-4
=（2a+b）2n+m；
（x-y）2·（y-x）5
=（y-x）2·（y-x）5
=（y-x）2+5
=（y-x）7．
结果：（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3（2a+b）m-4=（2a+b）2n+m．
（2）（x-y）2·（y-x）5=（y-x）7．
板书设计
五、小结
备课资料
一、参考例题
[例1]计算：（1）108·102；（2）x2·x3；（3）an+2·an+1·an．
分析：运用同底数幂的运算性质计算．
解答：（1）108·102=108+2=1010；
（2）x2·x3=x2+3=x5；
（3）an+2·an+1·an=an+2+n+1+n=a3n+3．
方法总结：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
[例2]计算（1）35·（-3）3·（-3）2；
（2）xp·（-x）2p·（-x）2p+1（p为正整数）；
（3）-a2·（-a）4·（-a）3；
（4）32×（-2）2n·（-2）（n为正整数）．
分析：运用符号法则化成底数相同的幂相乘．
解答：（1）35·（-3）3·（-3）2=35·（-33）·32=-310；
（2）xp·（-x）2p·（-x）2p+1=xp·x2p·（-x2p+1）=-xp+2p+2p+1=-x5p+1．
（3）-a2·（-a）4·（-a）3=-a2·a4·（-a3）=a9；
（4）32×（-2）2n·（-2）=25·22n·（-2）=-25+2n+1=-22n+6．
方法总结：①注意：（-1）的奇数次幂为-1，（-1）的偶数次幂为1，在计算过程中要判断准确是奇数次幂还是偶数次幂；②能够化成底数相同的幂尽量化成底数相同的幂进行运算，如32=25，81=34等等．
二、同底数幂的乘法常用的几种恒等变形．
（a-b）=-（b-a）
（a-b）2=（b-a）2
（a-b）3=-（b-a）3
（a-b）2n-1=-（b-a）2n-1（n为正整数）
（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）
§15．2．2 幂的乘方
第四课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探究幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．了解幂的乘方的运算法则，并能解一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在探究幂的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．学习幂的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，提高学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的简洁美．
教学重点
幂的乘方的运算法则及其应用．
教学难点
幂的运算法则的灵活运用．
教学方法
透思探究教学法．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
师提出问题：
一个正方体的棱长是102mm，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？
[生]正方体的体积等于棱长的立方，所以棱长为102mm的正方体的体积V=（102）3mm3；如果棱长扩大为原来的10倍，即棱长变为102×10mm=103mm，此时正方体的体积变为V1=（103）3mm3．
[师]很显然，（102）3、（103）3都不是最简，你能利用幂的意义得出最后结果吗？试试看．
[生]（102）3表示三个102相乘，于是就有（102）3=102×102×102=102+2+2=106；同理（103）3=103×103×103=103+3+3=109，所以V=106mm3，V1=109mm3．
我们还可以算出当这个正方体的棱长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍，即103倍．
也就是说体积扩大的倍数，远远大于棱长扩大的倍数．
[师]是这样的．我们再来看（102）3，（103）3这样的运算，102、103是幂的形式，因此我
们把这样的运算叫做幂的乘方，这也正是我们这节课要探究的运算法则──幂的乘方．
Ⅱ．导入新课
出示投影片
[师]不难发现，这都是幂的乘方运算，可以根据乘方的意义将它转化为同底数幂的乘法的运算，这种化归的方法和温故知新的方法是解决数学问题常用的方法．同学们可以逐渐体会到．现在请大家用我们学过的知识解决上述问题．
[生]（1）（32）3 32×32×32 32+2+2 =36
[师]请说明第(1)步和第(2)步推出的理由．
[生]第(1)步是利用乘方的意义，将幂的乘方运算转化为同底数幂的乘法运算；第(2)步是根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的运算法则而推出结果．
[师]观察上述运算结果，底数没有变，那指数发生了什么变化呢？
[生]我们可以发现2×3=6，刚好是原式子中两个指数的积．
[师]用同样的方法验证（2）、（3），看是不是也有这样的规律．
[生]（2）（a2）3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6；2×3=6．
（3）（am）3=am·am·am=am+m+m=a3m；m·3=3m．
它们也有这样的规律，幂的乘方运算的结果底数不变，指数相乘．
[师]这三个题都是特殊运算，对一般的乘方运算是否成立呢？请同学们构造问题，并尝试解决．
[生]将问题一般化，也就是将幂的乘方中两个指数都用字母表示，看它们是不是还满足底数不变，指数相乘的规律．
设m、n都是正整数．
则（am）n===amn．
即（am）n=amn，它符合这个规律．
[师]通过大家的努力，我们得到了幂的乘方的运算法则．
（出示投影）
在幂的乘方运算中，指数运算也降了一级，也就是将幂的乘方运算转化为指数的乘法运算，使问题简便化．
例题
（出示投影片）
[师]容易发现（1）（2）（3）题都是幂的乘方的直接运算，（4）题在（x4）3前有一个负号，它表示（x4）3的相反数，所以可以先求出（x4）3再写出其相反数即可．请同学们独立完成，看谁算得又准又快．（两名学生板演）
（1）（103）5=103×5=1015
（2）（a4）4=a4×4=a16
（3）（am）2=a2m
（4）-（x4）3=-x4×3=-x12．
[师]大家完成得很好，下面我们继续闯关，看看例2，谈谈自己的想法．
[生]（1）题中可以把2a+b当作一个整体，然后利用乘方运算法则进行；（2）、（3）题是一种混合运算．
[师]能说出是什么样的混合运算吗？
[生]是幂的乘方与同底幂相乘的混合运算，应用这两个运算法则可以进行运算．
[师]运算时有没有先后顺序呢？如果有，应是怎样一个顺序．
[生]有，遇到混合运算应该是先乘方，再乘除，然后才是加减．如果有括号时，先算小括号内，再算中括号内，然后再算大括号内．
[师]你的叙述很有条理，在遇到较复杂的混合运算时，要冷静细心，相信大家能做好，请同学们做完后与同伴交流．（学生做完后拿出一到二份进行投影播放展评）
解：（1）[（2a+b）4]2=（2a+b）4×2=（2a+b）8．
（2）（m2n-1）2·（mn+1）3=m2(2n-1)·m3(n+1)=m4n-2·m3n+3=m4n-2+3n+3=m7n+1．
（3）3（a2）4·（a3）3-（-a）·（a4）4+（-a）3·（a4）2·（a2）3
=3·a2×4·a3×3+a·a4×4-a3·a4×2·a2×3
=3·a8+9+a1+16-a3+8+6
=3a17+a17-a17
=3a17．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P169练习．
2．练一练．
（出示投影片）
[师]我们首先来回顾一下（am）n=amn（m、n都是正整数）是怎样推出来的．
[生]（am）n表示n个am相乘，根据乘方的意义（am）n=，再根据同底数幂的乘法的运算性质，可由==amn．
[师]我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们就来完成“练一练”
[生]1．解：（1）（104）4=104×4=1016；
（2）-（a2）5=-a2×5=-a10；
（3）（x3）4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14；
（4）[（-x）2]3=（-x）2×3=（-x）6=x6；
（5）（-a）2·（a2）2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6；
（6）x·x4-x2·x3=x1+4-x2+3=x5-x5=0．
[师]2．（1）（x3）3=x6不正确，因为（x3）3表示三个x3相乘即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9．或直接根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，得（x3）3=x3×3=x9．
（2）a6·a4=a24不正确．因为a6·a4=（a·a·a·a·a·a）（a·a·a·a）==a10或根据同底数幂乘法的运算性质：底数不变，指数相加，得a6·a4=a6+4=a10．
[师]我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆．通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯地记忆．
Ⅳ．课时小结
温故知新是一种很好的学习方法，在数学中常体现在化归思想上，通过本节学习同学应掌握下列知识：
（出示投影片）
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（3）、（4），9题．
2．反思做题过程，对自己出现错误的地方加以改正，并写入成长记录中．
3．预习“§15．2．3 积的乘方”一节内容．
Ⅵ．活动与探究
观察下列等式：
1×2=×1×2×3，
1×2+2×3=×2×3×4，
1×2+2×3+3×4=×3×4×5，
1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6，
……
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=________（n为自然数）．
过程：解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法。数学史上许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得．猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律较为明显．
结论：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）
关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然．
板书设计
§15．2．3 积的乘方
第五课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．
教学重点
积的乘方运算法则及其应用．
教学难点
幂的运算法则的灵活运用．
教学方法
自学─引导相结合的方法．
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
Ⅱ．导入新课
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
出示投影片
学生探究的经过：
1．（1）（ab）2 =（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出（2）、（3）题．
（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3；
（3）（ab）n==·=anbn
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：
（ab）n=an·bn（n是正整数）
3．正方体的体积V=（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V=（1.1×103）3=1.13×（103）3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109（cm3）
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
（ab）n=an·bn（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an·bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·bn=（a·b）n（n为正整数）的证明如下：
an·bn=·──幂的意义
=──乘法交换律、结合律
＝（a·b）n ──乘方的意义
5．[例3]计算
（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·bn（n为正整数）．
2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·bn·cn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·bn=（ab）n，an·bn·cn=（abc）n，（n为正整数）．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P170练习
[生]解：（1）（ab）4=a4·b4
（2）（-2xy）3=（-2）3·x3·y3=-8x3y3
（3）（-3×102）3=（-3）3×（102）3=-27×106
（4）（2ab2）3=23·a3·（b2）3=8a3b6．
2．出示投影
（由学生板演或口答）
1．解：（1）（-3n）3=（-3）3·n3=-27n3；
（2）（5xy）3=53x3y3=125x3y3；
（3）-a3+（-4a）2a=-a3+（-4）2a2a=-a3+16a3=15a3．
2．（1）×，积的乘方的运算性质是每个因式分别乘方的积，即（ab）4=a4b4；
（2）×，应为（3ab2）2=32a2（b2）2=9a2b4；
（3）×，应为（-x2yz）2=（-1）2（x2）2y2z2=x4y2z2；
（4）×，应为（xy2）2=（）2x2（y2）2=x2y4；
（5）∨ （6）∨
3．解：22×3×52
=（22×52）×3 ──乘法交换律、结合律
=（2×5）2×3 ──积的乘方运算性质逆用
=3×102=300；
24×32×53=（23×2）×32×53 ──同底数幂乘法逆用
=（23×53）×（2×32） ──乘法运算律
=（2×5）3×2×9 ──积的乘方运算性质逆用
=18000．
补充例题，加深巩固．
[例]已知10m=4，10n=5．求103m+2n的值．
[师生共析]要求103m+2n的值，需将103m+2n用10m与10n来表示，所以要逆用同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则．
解答：103m+2n=103m·102n=（10m）3·（10n）2=43×52=64×25=1600．
方法总结：①公式的逆用是数学解题中的一个重要的方法．如本题先逆用幂的乘法，即am+n=am·an；后逆用幂的乘方，即am·n=（an）m；②值得注意的是：有的同学容易将同底数幂的乘法混淆为“加法”，而错解为103m+2n=103m+102n，也可能与幂的乘方性质混淆而错解为103m+2n=（103m）2n．
Ⅳ．课时小结
[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
[生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义．
[生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
[生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用．
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（5）、（6），2，3题．
2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误．
3．预习“15．2．4 整式的乘法”一节．
Ⅵ．活动与探究
若2a=3，4b=6，8c=12，试确定a、b、c之间的数量关系式．
过程：可以发现3×12=62，所以
2a·8c=（4b）2，这是一个有关幂相等的式子．所以，尝试化为同底数幂．
因为8=23，4=22
所以2a·8c=2s·（23）c=2a·23c=2a+3c．
（4b）2=42b=（22）2b=24b
所以2a+3c=24b
于是得a+3c=4b．
结果：a+3c=4b．
板书设计
备课资料
参考练习
1．下列计算正确的是（ ）
A．（6x6y2）2=12x12y4 B．（x2）3+（-x3）2=0
C．（3×104）（2×103）=6×1012 D．-（3×2）3=（-3×2）3
2．计算[（-a）4]n·[-（-a5）]n的正确结果是（ ）
A．a9n B．a2n+9 C．-a9n D．-a2n+9
3．若m，n，p为正整数，则（am·an）p等于（ ）
A．am·anp B．amp·an C．amnp D．amp+np
4．若n是正整数，当a=-1时，-（-a2n）2n+1等于（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．1或-1
5．计算-[-（-2a）2]3等于（ ）
A．8a5 B．64a6 C．-64a6 D．256a8
6．计算：0.3756×（-）6等于（ ）
A．0 B．1 C．-5 D．
7．下列各式中错误的是（ ）
A．[（a+b）2]3=（a+b）6 B．[（x+y）2n]5=（x+y）2n+5
C．[（x+y）m]n=（x+y）mn D．[（x+y）m+1]n=（x+y）mn+n
8．下列各式计算正确的是（ ）
A．（-3xy）3=-9x3y3 B．（-2xy）4=8x4y4
C．（an+1）3=a3n+1 D．[（-3xy）]3=-27x3y3
9．下列命题中，正确的个数是（ ）
①m为正奇数时，一定有等式（-4）m=-4m成立；
②等式（-2）m=2m，无论m为何值时都不成立；
③三个等式：（-a2）3=a6，（-a3）2=a6，[-（-a2）]3=a6都不成立；
④两个等式（-2x3y4）m=-2mx3my4m，（-2x3y4）n=2nx3ny4n都不一定成立．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列各式与a3m+1相等的是（ ）
A．（a3）m+1 B．（am+1）3 C．a（a3）m D．aa3am
11．计算（）100×5101等于（ ）
A． B．5 C．1 D．5201
12．a14不可以写成（ ）
A．（a7）7 B．a3·a4·a5·a2
C．a5（a3）3 D．（-a）（-a）2（-a）3（-a）8
13．如果（an·bmb）3=a9b15，那么m，n的值等于（ ）
A．m=9，n=-4 B．m=3，n=4
C．m=4，n=3 D．m=9，n=6
14．下列等式中不可能成立的是（ ）
A．am+3·a·an-1=am+n·a·a2 B．（ab）m+3=am+1·（ab2）2·bm-1
C．[（x-a）3]5·[（x+a）3]2=[（a-x）2（x+a）2]3
D．[（m-n）3]5=[（n-m）2]5（n-m）5
参考答案
1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．D 9．B 10．C 11．B 12．A 13．C 14．C。
计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
[例1]计算：
（1）x2·x5 （2）a·a6
（3）2×24×23 （4）xm·x3m+1
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
1．课本P166练习：计算
（1）b5·b （2）10×102×103
（3）-a2·a6 （4）y2n·yn+1
2．补充练习：
判断（正确的打“∨”，错误的打“×”）
（1）x3·x5=x15 （ ）
（2）x·x3=x3 （ ）
（3）x3+x5=x8 （ ）
（4）x2·x2=2x4 （ ）
（5）（-x）2·（-x）3=（-x）5=-x5 （ ）
（6）a3·a2-a2·a3=0 （ ）
（7）a3·b5=（ab）8 （ ）
（8）y7+y7=y14 （ ）
§15．2．1 同底数幂的乘法
一、计算机运算次数：1012×103
计算1012×103=×（10×10×10）==10
二、算一算，找规律
1．25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
==27；
2．a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5；
3．5m·5n=×==5m+n
三、同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an=am+n（m、n都是正整数）
四、例题讲解：（由学生板演）
探究：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：
（1）（32）3=32×32×32=3( )
（2）（a2）3=a2·a2·a2=a( )
（3）（am）3=am·am·am=a( )（m是正整数）．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（am）n=amn （m、n都是正整数）．
[例1]计算：（1）（103）5 （2）（a4）4 （3）（am）2 （4）-（x4）3
[例2]计算：（1）[（2a+b）4]2 （2）（m2n-1）2·（mn+1）3
（3）3（a2）4·（a3）3-（-a）·（a4）4+（-a）3·（a4）2·（a2）3．
1．计算：
（1）（104）4；（2）-（a2）5；（3）（x3）4·x2；
（4）[（-x）2]3；（5）（-a2）（a2）2；（6）x·x4-x2·x3．
2．判断下面计算是否正确？如有错误请改正：
（1）（x3）3=x6；（2）a6·a4=a24．
1．幂的乘方法则：
语言叙述______________
符号叙述______________
2．幂的乘方法则可以逆用，即：
amn=（am）n=___________
3．多重乘方也具有这一性质，如：
[（am）n]p=__________
（其中m、n、p都是正整数）
§15．2．2 幂的乘方
一、提出问题：（102）3、（103）3如何算？
二、温故知新，发现规律：
（102）3=102×102×102=102+2+2=106=102×3
（103）3=103×103×103=103+3+3=10+9=103×3
（32）3=32×32×32=32+2+2=36=32×3
（a2）3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3
（am）3=am·am·am=am+m+m=a3m
（am）n===amn
三、幂的乘方的运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（am）n=amn （m、n都是正整数）．
四、例题
五、小结
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )
（2）（ab）3=______=_______=a( )b( )
（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
5．完成课本P170例3．
1．计算：
（1）（-3n）3；（2）（5xy）3；（3）-a3+（-4a）2a．
2．判断题
（1）（ab）4=ab4 （ ）
（2）（3ab2）2=3a2b4 （ ）
（3）（-x2yz）2=-x4y2z2 （ ）
（4）（xy2）2=x2y4 （ ）
（5）（-a2bc3）2=a4b2c6 （ ）
（6）（-）5（）5=（-×）5=-1 （ ）
3．不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
22×3×52，24×32×53
§15．2．3 积的乘方
一、自学提纲
二、积的乘方法则
1．积的乘方等于每一个因数乘方的积，即（ab）n=an·bn（n为正整数）．
三、闯关练习（学生口答或板演）
四、例题讲解：
103m+2n=103m·102n=（10m）3·（10n）2=43×52=64×25=1600．
五、小结
课时安排
6课时
从容说课
整式的乘法包括四大块内容：一是同底数幂的乘法；二是幂的乘方；三是积的乘方；四是整式的乘方，它包括单项式与单项式的乘积、单项式与多项式的乘积、多项式与多项式的乘积．其中四是一、二、三的综合应用．整式乘法是学生在掌握数的乘法、数乘运算法则的基础上进行字母、整式运算，它是思维的进一步深化，是对特殊──一般──特殊的认知规律的进一步理解．
本节内容按6课时完成，探究呈步步深入状态，学法有类似之处，所以教学时，以问题形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，使学生在学习过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，体验创新的乐趣．
本节教学的重点应放在正确理解“运算法则”上，教学中应给学生足够的时间，进行探索、归纳、发现、总结，从而理解运算法则，以至灵活运用法则解决问题，而不是包办代替，直接给出运算法则，让学生死记硬背，机械应用．通过本节学习，要使学生在对知识的再创造和再发现的活动中培养创新精神和探索能力．
§15．2．1 同底数幂的乘法
第三课时
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．
（三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
教学重点
正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教具准备
投影片（或多媒体课件）．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
（出示投影片）
提出问题：
（出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
[生]运算次数=运算速度×工作时间
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．
[师]1012×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1012×103=×（10×10×10）==1015．
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
Ⅱ．导入新课
1．做一做
出示投影片：
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
=27=25+2．
因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2．
5m·5n= ×=5m+n．
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
出示投影片
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an=·==am+n
于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n．
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
出示投影片
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
生板演：
（1）解：x2·x5=x2+5=x7．
（2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7．
（3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．
（4）解：xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．
解法一：am·an·ap=（am·an）·ap
=am+n·ap=am+n+p；
解法二：am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p．
解法三：am·an·ap=··
=am+n+p．
评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·am2·…·amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
2×24×23=21+4+3=28．
Ⅲ．随堂练习
出示投影片
1．解：（1）b5·b=b5+1=b6．
（2）10×102×103=101+2+3=106．
（3）-a2·a6=（-1）·（a2·a6）=（-1）·a2+6=（-1）a8=-a8．
（4）y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1．
2．解：（1）×．因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8．
（2）×．x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4．
（3）×．x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算．
（4）×．x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4．
（5）∨．
（6）∨．因为a3·a2-a2·a3=a5-a5=0．
（7）×．a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同．
（8）×．y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7．
Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）．
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
2．计算：
（1）a3·a4 （2）x3·x
（3）y5·y3 （4）105·10·103
（5）x7·x·xn （6）y·y2·y3·y4
3．利用同底数幂相乘的性质进行计算与利用幂的意义进行计算相比较，有什么简便之处？（化幂的乘法运算为指数的加法运算）
Ⅵ．活动与探究
计算（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-4
（2）（x-y）2·（y-x）5
过程：①可以把2a+b、x-y看作一个整体．
②（x-y）2=（y-x）2·（y-x）5=-（x-y）5
③同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
所以（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-4
=（2a+b）2n+1+3+m-4
=（2a+b）2n+m；
（x-y）2·（y-x）5
=（y-x）2·（y-x）5
=（y-x）2+5
=（y-x）7．
结果：（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3（2a+b）m-4=（2a+b）2n+m．
（2）（x-y）2·（y-x）5=（y-x）7．
板书设计
五、小结
备课资料
一、参考例题
[例1]计算：（1）108·102；（2）x2·x3；（3）an+2·an+1·an．
分析：运用同底数幂的运算性质计算．
解答：（1）108·102=108+2=1010；
（2）x2·x3=x2+3=x5；
（3）an+2·an+1·an=an+2+n+1+n=a3n+3．
方法总结：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
[例2]计算（1）35·（-3）3·（-3）2；
（2）xp·（-x）2p·（-x）2p+1（p为正整数）；
（3）-a2·（-a）4·（-a）3；
（4）32×（-2）2n·（-2）（n为正整数）．
分析：运用符号法则化成底数相同的幂相乘．
解答：（1）35·（-3）3·（-3）2=35·（-33）·32=-310；
（2）xp·（-x）2p·（-x）2p+1=xp·x2p·（-x2p+1）=-xp+2p+2p+1=-x5p+1．
（3）-a2·（-a）4·（-a）3=-a2·a4·（-a3）=a9；
（4）32×（-2）2n·（-2）=25·22n·（-2）=-25+2n+1=-22n+6．
方法总结：①注意：（-1）的奇数次幂为-1，（-1）的偶数次幂为1，在计算过程中要判断准确是奇数次幂还是偶数次幂；②能够化成底数相同的幂尽量化成底数相同的幂进行运算，如32=25，81=34等等．
二、同底数幂的乘法常用的几种恒等变形．
（a-b）=-（b-a）
（a-b）2=（b-a）2
（a-b）3=-（b-a）3
（a-b）2n-1=-（b-a）2n-1（n为正整数）
（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）
§15．2．2 幂的乘方
第四课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探究幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．了解幂的乘方的运算法则，并能解一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在探究幂的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．学习幂的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，提高学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的简洁美．
教学重点
幂的乘方的运算法则及其应用．
教学难点
幂的运算法则的灵活运用．
教学方法
透思探究教学法．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
师提出问题：
一个正方体的棱长是102mm，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？
[生]正方体的体积等于棱长的立方，所以棱长为102mm的正方体的体积V=（102）3mm3；如果棱长扩大为原来的10倍，即棱长变为102×10mm=103mm，此时正方体的体积变为V1=（103）3mm3．
[师]很显然，（102）3、（103）3都不是最简，你能利用幂的意义得出最后结果吗？试试看．
[生]（102）3表示三个102相乘，于是就有（102）3=102×102×102=102+2+2=106；同理（103）3=103×103×103=103+3+3=109，所以V=106mm3，V1=109mm3．
我们还可以算出当这个正方体的棱长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍，即103倍．
也就是说体积扩大的倍数，远远大于棱长扩大的倍数．
[师]是这样的．我们再来看（102）3，（103）3这样的运算，102、103是幂的形式，因此我
们把这样的运算叫做幂的乘方，这也正是我们这节课要探究的运算法则──幂的乘方．
Ⅱ．导入新课
出示投影片
[师]不难发现，这都是幂的乘方运算，可以根据乘方的意义将它转化为同底数幂的乘法的运算，这种化归的方法和温故知新的方法是解决数学问题常用的方法．同学们可以逐渐体会到．现在请大家用我们学过的知识解决上述问题．
[生]（1）（32）3 32×32×32 32+2+2 =36
[师]请说明第(1)步和第(2)步推出的理由．
[生]第(1)步是利用乘方的意义，将幂的乘方运算转化为同底数幂的乘法运算；第(2)步是根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的运算法则而推出结果．
[师]观察上述运算结果，底数没有变，那指数发生了什么变化呢？
[生]我们可以发现2×3=6，刚好是原式子中两个指数的积．
[师]用同样的方法验证（2）、（3），看是不是也有这样的规律．
[生]（2）（a2）3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6；2×3=6．
（3）（am）3=am·am·am=am+m+m=a3m；m·3=3m．
它们也有这样的规律，幂的乘方运算的结果底数不变，指数相乘．
[师]这三个题都是特殊运算，对一般的乘方运算是否成立呢？请同学们构造问题，并尝试解决．
[生]将问题一般化，也就是将幂的乘方中两个指数都用字母表示，看它们是不是还满足底数不变，指数相乘的规律．
设m、n都是正整数．
则（am）n===amn．
即（am）n=amn，它符合这个规律．
[师]通过大家的努力，我们得到了幂的乘方的运算法则．
（出示投影）
在幂的乘方运算中，指数运算也降了一级，也就是将幂的乘方运算转化为指数的乘法运算，使问题简便化．
例题
（出示投影片）
[师]容易发现（1）（2）（3）题都是幂的乘方的直接运算，（4）题在（x4）3前有一个负号，它表示（x4）3的相反数，所以可以先求出（x4）3再写出其相反数即可．请同学们独立完成，看谁算得又准又快．（两名学生板演）
（1）（103）5=103×5=1015
（2）（a4）4=a4×4=a16
（3）（am）2=a2m
（4）-（x4）3=-x4×3=-x12．
[师]大家完成得很好，下面我们继续闯关，看看例2，谈谈自己的想法．
[生]（1）题中可以把2a+b当作一个整体，然后利用乘方运算法则进行；（2）、（3）题是一种混合运算．
[师]能说出是什么样的混合运算吗？
[生]是幂的乘方与同底幂相乘的混合运算，应用这两个运算法则可以进行运算．
[师]运算时有没有先后顺序呢？如果有，应是怎样一个顺序．
[生]有，遇到混合运算应该是先乘方，再乘除，然后才是加减．如果有括号时，先算小括号内，再算中括号内，然后再算大括号内．
[师]你的叙述很有条理，在遇到较复杂的混合运算时，要冷静细心，相信大家能做好，请同学们做完后与同伴交流．（学生做完后拿出一到二份进行投影播放展评）
解：（1）[（2a+b）4]2=（2a+b）4×2=（2a+b）8．
（2）（m2n-1）2·（mn+1）3=m2(2n-1)·m3(n+1)=m4n-2·m3n+3=m4n-2+3n+3=m7n+1．
（3）3（a2）4·（a3）3-（-a）·（a4）4+（-a）3·（a4）2·（a2）3
=3·a2×4·a3×3+a·a4×4-a3·a4×2·a2×3
=3·a8+9+a1+16-a3+8+6
=3a17+a17-a17
=3a17．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P169练习．
2．练一练．
（出示投影片）
[师]我们首先来回顾一下（am）n=amn（m、n都是正整数）是怎样推出来的．
[生]（am）n表示n个am相乘，根据乘方的意义（am）n=，再根据同底数幂的乘法的运算性质，可由==amn．
[师]我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们就来完成“练一练”
[生]1．解：（1）（104）4=104×4=1016；
（2）-（a2）5=-a2×5=-a10；
（3）（x3）4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14；
（4）[（-x）2]3=（-x）2×3=（-x）6=x6；
（5）（-a）2·（a2）2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6；
（6）x·x4-x2·x3=x1+4-x2+3=x5-x5=0．
[师]2．（1）（x3）3=x6不正确，因为（x3）3表示三个x3相乘即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9．或直接根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，得（x3）3=x3×3=x9．
（2）a6·a4=a24不正确．因为a6·a4=（a·a·a·a·a·a）（a·a·a·a）==a10或根据同底数幂乘法的运算性质：底数不变，指数相加，得a6·a4=a6+4=a10．
[师]我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆．通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯地记忆．
Ⅳ．课时小结
温故知新是一种很好的学习方法，在数学中常体现在化归思想上，通过本节学习同学应掌握下列知识：
（出示投影片）
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（3）、（4），9题．
2．反思做题过程，对自己出现错误的地方加以改正，并写入成长记录中．
3．预习“§15．2．3 积的乘方”一节内容．
Ⅵ．活动与探究
观察下列等式：
1×2=×1×2×3，
1×2+2×3=×2×3×4，
1×2+2×3+3×4=×3×4×5，
1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6，
……
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=________（n为自然数）．
过程：解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法。数学史上许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得．猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律较为明显．
结论：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）
关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然．
板书设计
§15．2．3 积的乘方
第五课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．
教学重点
积的乘方运算法则及其应用．
教学难点
幂的运算法则的灵活运用．
教学方法
自学─引导相结合的方法．
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
Ⅱ．导入新课
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
出示投影片
学生探究的经过：
1．（1）（ab）2 =（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出（2）、（3）题．
（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3；
（3）（ab）n==·=anbn
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：
（ab）n=an·bn（n是正整数）
3．正方体的体积V=（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V=（1.1×103）3=1.13×（103）3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109（cm3）
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
（ab）n=an·bn（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an·bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·bn=（a·b）n（n为正整数）的证明如下：
an·bn=·──幂的意义
=──乘法交换律、结合律
＝（a·b）n ──乘方的意义
5．[例3]计算
（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·bn（n为正整数）．
2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·bn·cn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·bn=（ab）n，an·bn·cn=（abc）n，（n为正整数）．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P170练习
[生]解：（1）（ab）4=a4·b4
（2）（-2xy）3=（-2）3·x3·y3=-8x3y3
（3）（-3×102）3=（-3）3×（102）3=-27×106
（4）（2ab2）3=23·a3·（b2）3=8a3b6．
2．出示投影
（由学生板演或口答）
1．解：（1）（-3n）3=（-3）3·n3=-27n3；
（2）（5xy）3=53x3y3=125x3y3；
（3）-a3+（-4a）2a=-a3+（-4）2a2a=-a3+16a3=15a3．
2．（1）×，积的乘方的运算性质是每个因式分别乘方的积，即（ab）4=a4b4；
（2）×，应为（3ab2）2=32a2（b2）2=9a2b4；
（3）×，应为（-x2yz）2=（-1）2（x2）2y2z2=x4y2z2；
（4）×，应为（xy2）2=（）2x2（y2）2=x2y4；
（5）∨ （6）∨
3．解：22×3×52
=（22×52）×3 ──乘法交换律、结合律
=（2×5）2×3 ──积的乘方运算性质逆用
=3×102=300；
24×32×53=（23×2）×32×53 ──同底数幂乘法逆用
=（23×53）×（2×32） ──乘法运算律
=（2×5）3×2×9 ──积的乘方运算性质逆用
=18000．
补充例题，加深巩固．
[例]已知10m=4，10n=5．求103m+2n的值．
[师生共析]要求103m+2n的值，需将103m+2n用10m与10n来表示，所以要逆用同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则．
解答：103m+2n=103m·102n=（10m）3·（10n）2=43×52=64×25=1600．
方法总结：①公式的逆用是数学解题中的一个重要的方法．如本题先逆用幂的乘法，即am+n=am·an；后逆用幂的乘方，即am·n=（an）m；②值得注意的是：有的同学容易将同底数幂的乘法混淆为“加法”，而错解为103m+2n=103m+102n，也可能与幂的乘方性质混淆而错解为103m+2n=（103m）2n．
Ⅳ．课时小结
[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
[生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义．
[生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
[生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用．
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（5）、（6），2，3题．
2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误．
3．预习“15．2．4 整式的乘法”一节．
Ⅵ．活动与探究
若2a=3，4b=6，8c=12，试确定a、b、c之间的数量关系式．
过程：可以发现3×12=62，所以
2a·8c=（4b）2，这是一个有关幂相等的式子．所以，尝试化为同底数幂．
因为8=23，4=22
所以2a·8c=2s·（23）c=2a·23c=2a+3c．
（4b）2=42b=（22）2b=24b
所以2a+3c=24b
于是得a+3c=4b．
结果：a+3c=4b．
板书设计
备课资料
参考练习
1．下列计算正确的是（ ）
A．（6x6y2）2=12x12y4 B．（x2）3+（-x3）2=0
C．（3×104）（2×103）=6×1012 D．-（3×2）3=（-3×2）3
2．计算[（-a）4]n·[-（-a5）]n的正确结果是（ ）
A．a9n B．a2n+9 C．-a9n D．-a2n+9
3．若m，n，p为正整数，则（am·an）p等于（ ）
A．am·anp B．amp·an C．amnp D．amp+np
4．若n是正整数，当a=-1时，-（-a2n）2n+1等于（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．1或-1
5．计算-[-（-2a）2]3等于（ ）
A．8a5 B．64a6 C．-64a6 D．256a8
6．计算：0.3756×（-）6等于（ ）
A．0 B．1 C．-5 D．
7．下列各式中错误的是（ ）
A．[（a+b）2]3=（a+b）6 B．[（x+y）2n]5=（x+y）2n+5
C．[（x+y）m]n=（x+y）mn D．[（x+y）m+1]n=（x+y）mn+n
8．下列各式计算正确的是（ ）
A．（-3xy）3=-9x3y3 B．（-2xy）4=8x4y4
C．（an+1）3=a3n+1 D．[（-3xy）]3=-27x3y3
9．下列命题中，正确的个数是（ ）
①m为正奇数时，一定有等式（-4）m=-4m成立；
②等式（-2）m=2m，无论m为何值时都不成立；
③三个等式：（-a2）3=a6，（-a3）2=a6，[-（-a2）]3=a6都不成立；
④两个等式（-2x3y4）m=-2mx3my4m，（-2x3y4）n=2nx3ny4n都不一定成立．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列各式与a3m+1相等的是（ ）
A．（a3）m+1 B．（am+1）3 C．a（a3）m D．aa3am
11．计算（）100×5101等于（ ）
A． B．5 C．1 D．5201
12．a14不可以写成（ ）
A．（a7）7 B．a3·a4·a5·a2
C．a5（a3）3 D．（-a）（-a）2（-a）3（-a）8
13．如果（an·bmb）3=a9b15，那么m，n的值等于（ ）
A．m=9，n=-4 B．m=3，n=4
C．m=4，n=3 D．m=9，n=6
14．下列等式中不可能成立的是（ ）
A．am+3·a·an-1=am+n·a·a2 B．（ab）m+3=am+1·（ab2）2·bm-1
C．[（x-a）3]5·[（x+a）3]2=[（a-x）2（x+a）2]3
D．[（m-n）3]5=[（n-m）2]5（n-m）5
参考答案
1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．D 9．B 10．C 11．B 12．A 13．C 14．C。
计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
[例1]计算：
（1）x2·x5 （2）a·a6
（3）2×24×23 （4）xm·x3m+1
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
1．课本P166练习：计算
（1）b5·b （2）10×102×103
（3）-a2·a6 （4）y2n·yn+1
2．补充练习：
判断（正确的打“∨”，错误的打“×”）
（1）x3·x5=x15 （ ）
（2）x·x3=x3 （ ）
（3）x3+x5=x8 （ ）
（4）x2·x2=2x4 （ ）
（5）（-x）2·（-x）3=（-x）5=-x5 （ ）
（6）a3·a2-a2·a3=0 （ ）
（7）a3·b5=（ab）8 （ ）
（8）y7+y7=y14 （ ）
§15．2．1 同底数幂的乘法
一、计算机运算次数：1012×103
计算1012×103=×（10×10×10）==10
二、算一算，找规律
1．25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
==27；
2．a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5；
3．5m·5n=×==5m+n
三、同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an=am+n（m、n都是正整数）
四、例题讲解：（由学生板演）
探究：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：
（1）（32）3=32×32×32=3( )
（2）（a2）3=a2·a2·a2=a( )
（3）（am）3=am·am·am=a( )（m是正整数）．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（am）n=amn （m、n都是正整数）．
[例1]计算：（1）（103）5 （2）（a4）4 （3）（am）2 （4）-（x4）3
[例2]计算：（1）[（2a+b）4]2 （2）（m2n-1）2·（mn+1）3
（3）3（a2）4·（a3）3-（-a）·（a4）4+（-a）3·（a4）2·（a2）3．
1．计算：
（1）（104）4；（2）-（a2）5；（3）（x3）4·x2；
（4）[（-x）2]3；（5）（-a2）（a2）2；（6）x·x4-x2·x3．
2．判断下面计算是否正确？如有错误请改正：
（1）（x3）3=x6；（2）a6·a4=a24．
1．幂的乘方法则：
语言叙述______________
符号叙述______________
2．幂的乘方法则可以逆用，即：
amn=（am）n=___________
3．多重乘方也具有这一性质，如：
[（am）n]p=__________
（其中m、n、p都是正整数）
§15．2．2 幂的乘方
一、提出问题：（102）3、（103）3如何算？
二、温故知新，发现规律：
（102）3=102×102×102=102+2+2=106=102×3
（103）3=103×103×103=103+3+3=10+9=103×3
（32）3=32×32×32=32+2+2=36=32×3
（a2）3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3
（am）3=am·am·am=am+m+m=a3m
（am）n===amn
三、幂的乘方的运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（am）n=amn （m、n都是正整数）．
四、例题
五、小结
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )
（2）（ab）3=______=_______=a( )b( )
（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
5．完成课本P170例3．
1．计算：
（1）（-3n）3；（2）（5xy）3；（3）-a3+（-4a）2a．
2．判断题
（1）（ab）4=ab4 （ ）
（2）（3ab2）2=3a2b4 （ ）
（3）（-x2yz）2=-x4y2z2 （ ）
（4）（xy2）2=x2y4 （ ）
（5）（-a2bc3）2=a4b2c6 （ ）
（6）（-）5（）5=（-×）5=-1 （ ）
3．不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
22×3×52，24×32×53
§15．2．3 积的乘方
一、自学提纲
二、积的乘方法则
1．积的乘方等于每一个因数乘方的积，即（ab）n=an·bn（n为正整数）．
三、闯关练习（学生口答或板演）
四、例题讲解：
103m+2n=103m·102n=（10m）3·（10n）2=43×52=64×25=1600．
五、小结