乘法公式[上学期]
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文档简介
学科：数学
教学内容：乘法公式
新课指南
1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.
2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.
3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.
4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.
教材解读 精华要义
数学与生活
如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，
(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；
(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？
(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？
思考讨论 由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a2-b2)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢？
知识详解
知识点1 平方差公式及其导出
平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.
这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.
经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.
为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.
归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.
直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.
认识公式的特征至关重要.
平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.
知识规律小结 （1）在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：
(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9；
(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；
(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.
(2)在51×49中，a==50，b==1，
∴51×49=(50+1)(50-1)=502-12=2499.
知识点2 完全平方公式及其推导
探究交流
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)2= ；
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
(4)(m-2)2= .
点拨 两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.
一般地，我们有：
(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
例如：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9，
(3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16.
在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.
说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：
(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2.
同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.
由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，
由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2.
知识点3 添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
【说明】 添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.
知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.
(x+a)(x+b)
=x2+bx+ax+ab
=x2+(a+b)x+ab.
例如：(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6，
(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2×(-3)=x2-x-6.
【注意】 注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.
典例剖析 师生互动
基本知识应用题
本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
例1 运用平方差公式计算.
(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).
(分析) (1)中，把3x看作a，2看作b；(2)中，2 a看作a，b看作b；(3)中，-x看作 a，2y看作b.
解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2
例2 运用完全平方公式计算.
(1)(4m+n)2； (2)(y-)2.
(分析) 主要是正确地应用公式.
解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)(y-)2=y2-2y·+()2=y2-y+.
【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)2=a2±2ab+b2时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a，哪一个是公式中的b.
例3 运用乘法公式计算.
(1)102×98； (2)1022； (3)992.
(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，102×98=(100+2)(100-2)；(2)中，1022=(100+2)2；(3)中，992=(100-1)2，然后利用公式计算即可.
解：(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.
(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.
(3)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.
例4 计算.
(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).
(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的应用.
解：(1)(m-5)(m+3)
=m2+[(-5)+3]m+(-5)·3
=m2-2m-15.
(2)(2x-3)(2x-4)
=(2x)2+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)
=4x2-14x+12.
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.
例5 计算.
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c)2；
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a，(2y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9.
(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
例6 计算.
(1)(b-2)(b2+4)(b+2)； (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).
(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.
解：(1)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)
=(b2-4)(b2+4)=b4-16.
(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a2-b2)-(9a2-4b2)
=4a2-b2-9a2+4b2=-5a2+3b2.
学生做一做 计算.
(1)(-x)(+x2)(x+)； (2)(x+3)2-(x+2)(x-2).
老师评一评 (1)原式=-x4； (2)原式=6x+13.
例7 解方程 2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+x
(分析) 熟练应用整式的乘法公式.
解：2x-4+x2=x2-1+x，
2x+x2-x2-x=-1+4，
∴x=3.
例8 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7).
(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.
解：x2-3x＞x2-49，
x2-3x-x2＞-49，
-3x＞-49，
∴x＜.
探索与创新题
主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.
例9 计算19982-1997×1999.
(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，1997×1999=(1998-1)(1998+1).
解：19982-1997×1999
=19982-(1998-1)(1998+1)
=19982-(19982-1)
=19982-19982+1
=1.
学生做一做 计算.
老师评一评 原式=
=
=
=
=2003.
例10 计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1).
(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.
解：原式=
=(22-1)(22+1)(24+1)…(22n+1)
=(24-1)(24+1)…(22n+1)
=(22n)2-1
=24n-1.
学生做一做 计算.
(1)3·(22+1)(24+1)…(232+1)+1；
(2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
(3)(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).
老师评一评 (1)由例10可以得到提示.
(22+1)(24+1)…(232+1)
=
=[(232)2-1]·
=(264-1).
∴原式=3·(264-1)+1=264-1+1=264.
(2)由平方差公式和等差数列公式Sn=可知，
原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1
=
=5050.
(3)由平方差公式和分数乘法公式可知，
原式=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)·(1-)(1+)(1-)
=××××××…××××
=·
=.
例11 已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值.
(分析)由已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，就目前的知识水平，具体求出a和b的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：
a2+2ab+b2=7，①
a2-2ab+b2=4，②
由①+②可以求出a2+b2，由①-②可以求出ab.
解：由题意可知，
a2+2ab+b2=7，①
a2-2ab+b2=4，②
①+②得2(a2+b2)=11，∴a2+b2=.
①-②得4ab=3.∴ab=.
小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.
(2)由平方差公式，也可以进行变形.例如：已知a2-b2=14，a+b=7，那么a-b=2.
例12 观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
根据前面各式的规律可得：
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)= .(其中n为正整数)
(分析)由已知各式可以发现：
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=xn+1-1.
小结 与上例类似地有：
由(a-b)(a+b)=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4
……
可以得出(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+bn)=an+1-bn+1
学生做一做 观察下列各式：
1·2·3·4+1=52
2·3·4·5+1=112
3·4·5·6+1=192
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)计算2000·2001·2002·2003+1.(用一个最简式子表示)
老师评一评 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2，推导如下：
∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.
(2)当n=2000时，
(n2+3n+1)2=(20002+3×2000+1)2=40060012，
∴2000·2001·2002·2003+1=40060012.
易错与疑难题
例13 计算.
(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)；
(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b).
错解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)
=[2x+(y-z+10)][2x-(y-z+10)]
=4x2-(y-z+10)2.
(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b)
=[(a+b)(a-b)]2-[(a2)2-(b2)2]
=(a2-b2)2-(a4-b4)
=(a4-b4)-(a4-b4)
=0.
(分析) 第(1)小题的两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y及-z与z都互为相反数，分组结合后可利用平方差公式.
第(2)小题中，(a+b)2(a-b)2在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a2+b2)(a-b)，则需利用多项式的运算法则计算.
正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)
=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]
=(2x+10)2-(y-z)2
=4x2-y2-z2+10x+2yz+100.
(2)(a+b)2(a-b)2-( a2+b2)(a-b)
=[(a+b)(a-b)]2-(a3+ab2-a2b-b3)
=(a2-b2)2-a3-ab2+a2b+b3
=a4-a3-2a2b2+a2b-ab2+b3+b4.
小结 错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是只凭想象而无根据地用a4-b4代替(a2-b2)2，其实这二者并不相等；二是计算(a2+b2)(a-b)时，在不具备使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.
应该牢固地掌握公式的特征，解题时每一步都必须有理有据，包括严防发生符号错误.
中考展望 点击中考
中考命题总结与展望
本节知识在中考中多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方程、解不等式和函数知识结合在一起的综合题.
中考试题预测
例1 (2004·北京)若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立，则a的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
(分析)因为x2+4x+a=(x+2)2-1，所以x2+4x+a=x2+4x+3，因此，a=3，故正确答案为C项.
例2 (2004·山西)已知x+y=1，那么x2+xy+y2的值为 .
(分析) 由x2+xy+y2得x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)= (x+y)2.又由于x+y=1，所
以x2+xy+y2=(x+y)2=×12=.
答案：
例3 (2004·黑龙江)若+(xy-6)2=0，则x2+y2的值为( )
A.13 B.26 C.28 D.37
(分析) 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得
∴
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×6=13.因此，正确答案为A项.
例4 (2004·南昌)如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )
A.x+y=7 B.x-y=2 C.4xy+4=49 D.x2+y2=25
(分析)由图示可以发现：
(x+y)2=4xy+(x-y)2，
并且(x+y)2=49，(x-y)2=4.
所以x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，
而x2+y2=[(x+y)2+(x-y)2]=(49+4)=×53≠25.
故关系式不正确的是D.
答案：D
例5 (2004·广州)方程组的解为 .
(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用.
因为x2-y2=(x+y)(x-y)，且x+y=5，所以x-y=3.
所以原方程组可以化为所以
∴原方程组的解为
课堂小结 本节归纳
1.本节主要学习了：
(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；
(2)整式乘法的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.
2.一定要掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，通过学习达到能够熟练、灵活地运用乘法公式的程度.
习题选解 课本习题
课本第184～185页
习题15.3
1.(1)原式=x2-y2； (2)原式=x2y2-1； (3)原式=4a2-9b2；
(4)原式=25-4b2； (5)原式=3999999； (6)原式=999996.
2.(1)原式=4a2+20ab+25b2； (2)原式=16x2-24xy+9y2；
(3)原式=4m2+4m+1； (4)原式=a2-2ab+b2；
(5)原式=3969； (6)原式=9604.
3.(1)原式=5x2-58x-24； (2)原式=x2+2xy+y2-1；
(3)原式=4x2+y2+9-4xy-12x+6y； (4)原式=x4-8x2+16.
4.原式=12xy+10y2，当x=，y=-时，原式=.
5.解：设原正方形的边长为xcm，由题意可知，
(x+3)2=x2+39，∴x=5.
答：原正方形的边长为5cm.
6.解：剩下钢板的面积为π[(a+b)]2-π·(a)2-π·(b)2=πab.
答：剩下钢板的面积为πab.
7.解：将公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形为a2+b2=(a+b)2-2ab，
∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.
8.x＜
9.
自我评价 知识巩固
1.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( )
A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6
C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)
2.(2003·泰州)下列运算正确的是( )
A.x2+x2=2x4 B.a2·a3= a5
C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2
3.(2003·河南)下列计算正确的是( )
A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x
B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3
C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2
D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2
4.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )
A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x4
5.19922-1991×1993的计算结果是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )
A.4 B.3 C.5 D.2
7.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b2
8.99×101=( )( )= .
9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2.
10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .
11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )，
a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ .
12.计算.
(1)(a+b)2-(a-b)2；
(2)(3x-4y)2-(3x+y)2；
(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2；
(4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；
(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.
13.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值
14.已知a+=4，求a2+和a4+的值.
15.已知(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值.
16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).
17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
18.(2003·郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.
19.已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值.
20.化简(x+y)+(2x+)+(3x+)+…+(9x+)，并求当x=2，y=9时的值.
21.若f(x)=2x-1(如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求的值.
22.观察下面各式：
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2
22+(2×2)2+32=(2×3+1)2
32+(3×4)2+42=(3×4+1)2
……
(1)写出第2005个式子；
(2)写出第n个式子，并说明你的结论.
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.1-5a 2x+3 -2a2+5b 8.100-1 100+1 9999 9.x-y z-(x-y) x-y 10.±10 11.4ab - 2ab 2ab
12.(1)原式=4ab；(2)原式=-30xy+15y；(3)原式=-8x2+99y2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y2.
13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.
∵m2+n2-6m+10n+34=0，
∴(m2-6m+9)+(n2+10n+25)=0，
即(m-3)2+(n+5)2=0，
由平方的非负性可知，
∴ ∴m+n=3+(-5)=-2.
14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.
∵a+=4,∴(a+)2=42.
∴a2+2a·+=16，即a2++2=16.
∴a2+=14.同理a4+=194.
15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t2+116t)看作一个整体.
∵(t+58)2=654481，∴t2+116t+582=654481.
∴t2+116t=654481-582.
∴(t+48)(t+68)
=(t2+116t)+48×68
=654481-582+48×68
=654481-582+(58-10)(58+10)
=654481-582+582-102
=654481-100
=654381.
16.x＜
17.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.
∴a2+b2+c2-ab-ac-be
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)
=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)]
=[(a-b2)+(b-c)2+(c-a)2]
=[(-1)2+(-1)2+22]
=(1+1+4)
=3.
18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，
∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63，
∴(2a+2b)2-1=63，∴(2a+2b)2=64，
∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4，
∴a+b的值为4或一4.
19.a2+b2=70，ab=-5.
20.提示：去括号后合并同类项，然后应用Sn=与解决问题.
原式=x+y+2x++3x++…+9x+
=(x+2x+3x+…+9x)+(y+++…+)
=(1+2+3+…+9)x+(1+++…+)y
=·x+(1+1-+-+…+-+-)y
=45x+(1-)y
=45x+y.
当x=2，y=9时，原式=45×2+×9=107.
21.∵f(x)=2x-1，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)
=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2×2003-1)
=(2×1+2×2+2×3+…+2×2003)-1×2003
=2(1+2+3+…+2003)-2003
=2×-2003
=20032+2003-2003
=20032
∴原式==2003.
22.解：(1)当n=1时，12+(1×2)2+22=(1×2+1)2；
当n=2时，22+(2×3)2+32=(2×3+1)2；
当n=3时，32+(3×4)2+42=(3×4+1)2；
……
第2005个式子即当n=2005时，有
20052+(2005×2006)2+20062=(2005×2006+1)2.
(2)第n个式子为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.证明如下：
∵n2+[n(n+1)]2+(n+1)2
=n2+n2(n+1)2+(n2+2n+1)
=n2+n2(n2+2n+1)+(n2+2n+1)
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
且[n(n+1)+1]2
=[n(n+1)2]+2[n(n+1)]·1+12
=n2(n+1)2+2n(n+1)+1
=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
∴n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.
教学内容：乘法公式
新课指南
1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.
2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.
3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.
4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.
教材解读 精华要义
数学与生活
如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，
(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；
(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？
(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？
思考讨论 由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a2-b2)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢？
知识详解
知识点1 平方差公式及其导出
平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.
这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.
经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.
为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.
归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.
直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.
认识公式的特征至关重要.
平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.
知识规律小结 （1）在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：
(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9；
(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；
(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.
(2)在51×49中，a==50，b==1，
∴51×49=(50+1)(50-1)=502-12=2499.
知识点2 完全平方公式及其推导
探究交流
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)2= ；
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
(4)(m-2)2= .
点拨 两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.
一般地，我们有：
(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
例如：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9，
(3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16.
在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.
说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：
(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2.
同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.
由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，
由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2.
知识点3 添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
【说明】 添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.
知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.
(x+a)(x+b)
=x2+bx+ax+ab
=x2+(a+b)x+ab.
例如：(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6，
(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2×(-3)=x2-x-6.
【注意】 注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.
典例剖析 师生互动
基本知识应用题
本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
例1 运用平方差公式计算.
(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).
(分析) (1)中，把3x看作a，2看作b；(2)中，2 a看作a，b看作b；(3)中，-x看作 a，2y看作b.
解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2
例2 运用完全平方公式计算.
(1)(4m+n)2； (2)(y-)2.
(分析) 主要是正确地应用公式.
解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)(y-)2=y2-2y·+()2=y2-y+.
【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)2=a2±2ab+b2时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a，哪一个是公式中的b.
例3 运用乘法公式计算.
(1)102×98； (2)1022； (3)992.
(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，102×98=(100+2)(100-2)；(2)中，1022=(100+2)2；(3)中，992=(100-1)2，然后利用公式计算即可.
解：(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.
(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.
(3)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.
例4 计算.
(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).
(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的应用.
解：(1)(m-5)(m+3)
=m2+[(-5)+3]m+(-5)·3
=m2-2m-15.
(2)(2x-3)(2x-4)
=(2x)2+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)
=4x2-14x+12.
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.
例5 计算.
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c)2；
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a，(2y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9.
(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
例6 计算.
(1)(b-2)(b2+4)(b+2)； (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).
(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.
解：(1)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)
=(b2-4)(b2+4)=b4-16.
(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a2-b2)-(9a2-4b2)
=4a2-b2-9a2+4b2=-5a2+3b2.
学生做一做 计算.
(1)(-x)(+x2)(x+)； (2)(x+3)2-(x+2)(x-2).
老师评一评 (1)原式=-x4； (2)原式=6x+13.
例7 解方程 2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+x
(分析) 熟练应用整式的乘法公式.
解：2x-4+x2=x2-1+x，
2x+x2-x2-x=-1+4，
∴x=3.
例8 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7).
(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.
解：x2-3x＞x2-49，
x2-3x-x2＞-49，
-3x＞-49，
∴x＜.
探索与创新题
主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.
例9 计算19982-1997×1999.
(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，1997×1999=(1998-1)(1998+1).
解：19982-1997×1999
=19982-(1998-1)(1998+1)
=19982-(19982-1)
=19982-19982+1
=1.
学生做一做 计算.
老师评一评 原式=
=
=
=
=2003.
例10 计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1).
(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.
解：原式=
=(22-1)(22+1)(24+1)…(22n+1)
=(24-1)(24+1)…(22n+1)
=(22n)2-1
=24n-1.
学生做一做 计算.
(1)3·(22+1)(24+1)…(232+1)+1；
(2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
(3)(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).
老师评一评 (1)由例10可以得到提示.
(22+1)(24+1)…(232+1)
=
=[(232)2-1]·
=(264-1).
∴原式=3·(264-1)+1=264-1+1=264.
(2)由平方差公式和等差数列公式Sn=可知，
原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1
=
=5050.
(3)由平方差公式和分数乘法公式可知，
原式=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)·(1-)(1+)(1-)
=××××××…××××
=·
=.
例11 已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值.
(分析)由已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，就目前的知识水平，具体求出a和b的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：
a2+2ab+b2=7，①
a2-2ab+b2=4，②
由①+②可以求出a2+b2，由①-②可以求出ab.
解：由题意可知，
a2+2ab+b2=7，①
a2-2ab+b2=4，②
①+②得2(a2+b2)=11，∴a2+b2=.
①-②得4ab=3.∴ab=.
小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.
(2)由平方差公式，也可以进行变形.例如：已知a2-b2=14，a+b=7，那么a-b=2.
例12 观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
根据前面各式的规律可得：
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)= .(其中n为正整数)
(分析)由已知各式可以发现：
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=xn+1-1.
小结 与上例类似地有：
由(a-b)(a+b)=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4
……
可以得出(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+bn)=an+1-bn+1
学生做一做 观察下列各式：
1·2·3·4+1=52
2·3·4·5+1=112
3·4·5·6+1=192
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)计算2000·2001·2002·2003+1.(用一个最简式子表示)
老师评一评 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2，推导如下：
∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.
(2)当n=2000时，
(n2+3n+1)2=(20002+3×2000+1)2=40060012，
∴2000·2001·2002·2003+1=40060012.
易错与疑难题
例13 计算.
(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)；
(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b).
错解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)
=[2x+(y-z+10)][2x-(y-z+10)]
=4x2-(y-z+10)2.
(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b)
=[(a+b)(a-b)]2-[(a2)2-(b2)2]
=(a2-b2)2-(a4-b4)
=(a4-b4)-(a4-b4)
=0.
(分析) 第(1)小题的两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y及-z与z都互为相反数，分组结合后可利用平方差公式.
第(2)小题中，(a+b)2(a-b)2在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a2+b2)(a-b)，则需利用多项式的运算法则计算.
正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)
=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]
=(2x+10)2-(y-z)2
=4x2-y2-z2+10x+2yz+100.
(2)(a+b)2(a-b)2-( a2+b2)(a-b)
=[(a+b)(a-b)]2-(a3+ab2-a2b-b3)
=(a2-b2)2-a3-ab2+a2b+b3
=a4-a3-2a2b2+a2b-ab2+b3+b4.
小结 错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是只凭想象而无根据地用a4-b4代替(a2-b2)2，其实这二者并不相等；二是计算(a2+b2)(a-b)时，在不具备使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.
应该牢固地掌握公式的特征，解题时每一步都必须有理有据，包括严防发生符号错误.
中考展望 点击中考
中考命题总结与展望
本节知识在中考中多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方程、解不等式和函数知识结合在一起的综合题.
中考试题预测
例1 (2004·北京)若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立，则a的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
(分析)因为x2+4x+a=(x+2)2-1，所以x2+4x+a=x2+4x+3，因此，a=3，故正确答案为C项.
例2 (2004·山西)已知x+y=1，那么x2+xy+y2的值为 .
(分析) 由x2+xy+y2得x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)= (x+y)2.又由于x+y=1，所
以x2+xy+y2=(x+y)2=×12=.
答案：
例3 (2004·黑龙江)若+(xy-6)2=0，则x2+y2的值为( )
A.13 B.26 C.28 D.37
(分析) 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得
∴
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×6=13.因此，正确答案为A项.
例4 (2004·南昌)如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )
A.x+y=7 B.x-y=2 C.4xy+4=49 D.x2+y2=25
(分析)由图示可以发现：
(x+y)2=4xy+(x-y)2，
并且(x+y)2=49，(x-y)2=4.
所以x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，
而x2+y2=[(x+y)2+(x-y)2]=(49+4)=×53≠25.
故关系式不正确的是D.
答案：D
例5 (2004·广州)方程组的解为 .
(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用.
因为x2-y2=(x+y)(x-y)，且x+y=5，所以x-y=3.
所以原方程组可以化为所以
∴原方程组的解为
课堂小结 本节归纳
1.本节主要学习了：
(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；
(2)整式乘法的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.
2.一定要掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，通过学习达到能够熟练、灵活地运用乘法公式的程度.
习题选解 课本习题
课本第184～185页
习题15.3
1.(1)原式=x2-y2； (2)原式=x2y2-1； (3)原式=4a2-9b2；
(4)原式=25-4b2； (5)原式=3999999； (6)原式=999996.
2.(1)原式=4a2+20ab+25b2； (2)原式=16x2-24xy+9y2；
(3)原式=4m2+4m+1； (4)原式=a2-2ab+b2；
(5)原式=3969； (6)原式=9604.
3.(1)原式=5x2-58x-24； (2)原式=x2+2xy+y2-1；
(3)原式=4x2+y2+9-4xy-12x+6y； (4)原式=x4-8x2+16.
4.原式=12xy+10y2，当x=，y=-时，原式=.
5.解：设原正方形的边长为xcm，由题意可知，
(x+3)2=x2+39，∴x=5.
答：原正方形的边长为5cm.
6.解：剩下钢板的面积为π[(a+b)]2-π·(a)2-π·(b)2=πab.
答：剩下钢板的面积为πab.
7.解：将公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形为a2+b2=(a+b)2-2ab，
∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.
8.x＜
9.
自我评价 知识巩固
1.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( )
A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6
C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)
2.(2003·泰州)下列运算正确的是( )
A.x2+x2=2x4 B.a2·a3= a5
C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2
3.(2003·河南)下列计算正确的是( )
A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x
B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3
C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2
D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2
4.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )
A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x4
5.19922-1991×1993的计算结果是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )
A.4 B.3 C.5 D.2
7.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b2
8.99×101=( )( )= .
9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2.
10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .
11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )，
a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ .
12.计算.
(1)(a+b)2-(a-b)2；
(2)(3x-4y)2-(3x+y)2；
(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2；
(4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；
(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.
13.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值
14.已知a+=4，求a2+和a4+的值.
15.已知(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值.
16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).
17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
18.(2003·郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.
19.已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值.
20.化简(x+y)+(2x+)+(3x+)+…+(9x+)，并求当x=2，y=9时的值.
21.若f(x)=2x-1(如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求的值.
22.观察下面各式：
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2
22+(2×2)2+32=(2×3+1)2
32+(3×4)2+42=(3×4+1)2
……
(1)写出第2005个式子；
(2)写出第n个式子，并说明你的结论.
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.1-5a 2x+3 -2a2+5b 8.100-1 100+1 9999 9.x-y z-(x-y) x-y 10.±10 11.4ab - 2ab 2ab
12.(1)原式=4ab；(2)原式=-30xy+15y；(3)原式=-8x2+99y2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y2.
13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.
∵m2+n2-6m+10n+34=0，
∴(m2-6m+9)+(n2+10n+25)=0，
即(m-3)2+(n+5)2=0，
由平方的非负性可知，
∴ ∴m+n=3+(-5)=-2.
14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.
∵a+=4,∴(a+)2=42.
∴a2+2a·+=16，即a2++2=16.
∴a2+=14.同理a4+=194.
15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t2+116t)看作一个整体.
∵(t+58)2=654481，∴t2+116t+582=654481.
∴t2+116t=654481-582.
∴(t+48)(t+68)
=(t2+116t)+48×68
=654481-582+48×68
=654481-582+(58-10)(58+10)
=654481-582+582-102
=654481-100
=654381.
16.x＜
17.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.
∴a2+b2+c2-ab-ac-be
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)
=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)]
=[(a-b2)+(b-c)2+(c-a)2]
=[(-1)2+(-1)2+22]
=(1+1+4)
=3.
18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，
∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63，
∴(2a+2b)2-1=63，∴(2a+2b)2=64，
∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4，
∴a+b的值为4或一4.
19.a2+b2=70，ab=-5.
20.提示：去括号后合并同类项，然后应用Sn=与解决问题.
原式=x+y+2x++3x++…+9x+
=(x+2x+3x+…+9x)+(y+++…+)
=(1+2+3+…+9)x+(1+++…+)y
=·x+(1+1-+-+…+-+-)y
=45x+(1-)y
=45x+y.
当x=2，y=9时，原式=45×2+×9=107.
21.∵f(x)=2x-1，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)
=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2×2003-1)
=(2×1+2×2+2×3+…+2×2003)-1×2003
=2(1+2+3+…+2003)-2003
=2×-2003
=20032+2003-2003
=20032
∴原式==2003.
22.解：(1)当n=1时，12+(1×2)2+22=(1×2+1)2；
当n=2时，22+(2×3)2+32=(2×3+1)2；
当n=3时，32+(3×4)2+42=(3×4+1)2；
……
第2005个式子即当n=2005时，有
20052+(2005×2006)2+20062=(2005×2006+1)2.
(2)第n个式子为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.证明如下：
∵n2+[n(n+1)]2+(n+1)2
=n2+n2(n+1)2+(n2+2n+1)
=n2+n2(n2+2n+1)+(n2+2n+1)
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
且[n(n+1)+1]2
=[n(n+1)2]+2[n(n+1)]·1+12
=n2(n+1)2+2n(n+1)+1
=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
∴n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.