15.3乘法公式[上学期]
文档属性
| 名称 | 15.3乘法公式[上学期] |
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| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 186.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-12-22 00:00:00 | ||
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文档简介
§15．3 乘法公式
课时安排 3课时
从容说课
学习乘法公式，是在学习整式乘法的基础上进行的，是由一般到特殊的体现，所以教学时，可以安排学生计算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在学生计算的基础上引导学生导出公式，并进一步揭示公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础．为了揭示公式特征，教学中要紧紧地采取对比的方式．紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式的特征．尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可以发现特征不变，仍符合公式特征，从而根据公式解决问题．
运用乘法公式计算，有时需要添括号，在已学过去括号法则的基础上，本节还安排了添括号法则．它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础．学习它可以和去括号法则对比进行．
在对比中学，在对比中用，在对比中再进行比较，从基本类型的题目到变化多端的题目，从单一题型到复杂题型，从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式、法则的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能做到运用自如的效果．
§15．3．1 平方差公式
第九课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
（二）能力训练要求
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
2．培养学生观察、归纳、概括的能力．
（三）情感与价值观要求
在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．
教学重点
平方差公式的推导和应用．
教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学方法
探究与讲练相结合．
通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
Ⅱ．导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
=x2+5y·x-x·5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式． 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
Ⅲ．随堂练习
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．
（3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．
（4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2
=（a+2b）（a+2b）-4c2
=a2+a·2b+2b·a+（2b）2-4c2
=a2+4ab+4b2-4c2
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
=（a2-b2）（a2+b2）
=（a2）2-（b2）2=a4-b4．
优胜组总结发言：
这些运算都可以通过变形后利用平方差公式．其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式．关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想．
Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
Ⅴ．课后作业
1．课本P179练习1、2．
2．课本P182～P183习题15．3─1题．
Ⅵ．活动与探究
1．计算：1234567892-123456788×123456790
2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．
过程：
1．看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算．
2．方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简．
结果：
1．1234567892-123456788×123456790
=1234567892-（123456789-1）（123456789+1）
=1234567892-（1234567892-1）
=1234567892-1234567892+1
=1．
2．原方程可化为： 5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2
∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2
即5x+54x2-24-54x2+6=2
移项合并同类项得5x=20
∴x=4．
板书设计
备课资料
[例1]利用平方差公式计算：
（1）（a+3）（a-3）（a2+9）；
（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．
分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1）
解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）
=（a2）2-92=a4-81；
（2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）
=[（2x）2-12]（4x2+1）
=（4x2-1）（4x2+1）
=（4x2）2-1=16x4-1．
方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算．这是这类试题的计算原则．
[例2]计算：
（1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式．于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算．事实上，这是可行的．
解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
=100+99+98+97+…+2+1
=（100+1）+（99+2）+…+（51+50）
=50×101=5050；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
=（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）
=××××××…××××
＝×=．
方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用．
§15．3．2完全平方公式
第十课时
教学目标
（一）教学知识点
1．完全平方公式的推导及其应用．
2．完全平方公式的几何解释．
（二）能力训练要求
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
（三）情感与价值观要求
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．
教学重点
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
教学方法
自主探索法
有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们探究下列问题：
（出示投影片）
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
[师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
[生]可以．我们知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
（出示投影片）
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现（1）结果中的2p=2·p·1，（2）结果中4m=2·m·2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
（出示投影片）
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
应用举例：
出示投影片：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2
（a+b）2=a2+2·a·b+b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y-）2=y2-2·y·+（）2
（a-b）2=a2-2·a·b+b2
=y2-y+
方法二：（y-）2
=[y+（-）]2=y2+2·y·（-）+（-）2
（a+b）2=a2+2·a·b+b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
[生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
[师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
Ⅲ．随堂练习
课本P181练习1、2．
1．解：（1）（x+6）2
=x2+2x·6+62=x2+12x+362
（2）（y-5）2
=y2-2y·5+52=y2-10y+252
（3）（-2x+5）2
=（-2x）2+2·（-2x）·5+52
=4x2-20x+25
（4）（x-y）2
=（x）2-2·x·y+（y）2
=x2-xy+y2
2．（1）（a+b）2≠a2+b2
应该是（a+b）2=a2+2ab+b2．
（2）（a-b）2≠a2-b2
应该是（a-b）2=a2-2ab+b2．
Ⅳ．课堂小结（略）
Ⅴ．课后作业
课本P183习题15．3─2、4、7题．
Ⅵ．活动与探究
按下列图中所示的两种方式分割正方形，你能分别得到什么结论？
过程：对于（1）正方形ABCD的面积等于正方形AEOH的面积加上矩形EBFO和矩形HDGO的面积再加上正方形GOFC的面积．也就是：
（a+b）2=a2+2ab+b2．
对于（2）大正方形面积减去小正方形的面积等于四个全等矩形的面积之和，并且小正方形的边长是x-y，所以说：
（x+y）2-（x-y）2=4xy．
结果：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）（x+y）2-（x-y）2=4xy．
板书设计
备课资料
1、 杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家，在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多．
他著名的数学书共五种二十一卷．著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》三卷（1275年）．
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌诀，如九归口诀．他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形成的“纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究．杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．
他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献．
二、参考练习
1．填空题
（1）（-3x+4y）2=_________．
（2）（-2a-b）2=_________．
（3）x2-4xy+________=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+_________．
（5）a2+______+9b2=（a+3b）2．
（6）（a-2b）2+（a+2b）2=_________．
2．选择题
（1）下列计算正确的是（ ）
A．（m-1）2=m2-1 B．（x+1）（x+1）=x2+x+1
C．（x-y）2=x2-xy-y2 D．（x+y）（x-y）（x2-y2）=x4-y4
（2）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么m的值是（ ）
A．4 B．-4 C．±4 D．±8
（3）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了（ ）
A．36cm2 B．12acm2 C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
3．用乘法公式计算
（1）（x-y）2
（2）（x2-2y2）2-（x2+2y2）2
（3）29×31×（302+1）
（4）9992
答案：
1．（1）9x2-24xy+16y2 （2）4a2+4ab+b2 （3）4y2 （4）-2ab （5）3ab
（6）2a2+8b2
2．（1）D （2）C （3）C
3．（1）x2-xy+y2 （2）-8x2y2 （3）809999 （4）998001
§15．3．1 平方差公式
一、1．用简便方法计算
（1）2001×1999 （2）998×1002
2．计算：
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
二、探究、归纳规律──平方差公式；
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2
三、应用、升华：
1．例1： 例2：
2．闯关练习
四、小结
§15．3．2．1 完全平方公式（一）
一、1．提出问题：（a+b）2-a2+b2=？
2．探究公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
3．完全平方公式的几何意义：
二、应用举例：利用完全平方公式计算：
[例1]（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
[例2]（1）1022 （2）992
三、巩固练习
四、小结
课时安排 3课时
从容说课
学习乘法公式，是在学习整式乘法的基础上进行的，是由一般到特殊的体现，所以教学时，可以安排学生计算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在学生计算的基础上引导学生导出公式，并进一步揭示公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础．为了揭示公式特征，教学中要紧紧地采取对比的方式．紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式的特征．尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可以发现特征不变，仍符合公式特征，从而根据公式解决问题．
运用乘法公式计算，有时需要添括号，在已学过去括号法则的基础上，本节还安排了添括号法则．它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础．学习它可以和去括号法则对比进行．
在对比中学，在对比中用，在对比中再进行比较，从基本类型的题目到变化多端的题目，从单一题型到复杂题型，从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式、法则的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能做到运用自如的效果．
§15．3．1 平方差公式
第九课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
（二）能力训练要求
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
2．培养学生观察、归纳、概括的能力．
（三）情感与价值观要求
在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．
教学重点
平方差公式的推导和应用．
教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学方法
探究与讲练相结合．
通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
Ⅱ．导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
=x2+5y·x-x·5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式． 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
Ⅲ．随堂练习
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．
（3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．
（4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2
=（a+2b）（a+2b）-4c2
=a2+a·2b+2b·a+（2b）2-4c2
=a2+4ab+4b2-4c2
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
=（a2-b2）（a2+b2）
=（a2）2-（b2）2=a4-b4．
优胜组总结发言：
这些运算都可以通过变形后利用平方差公式．其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式．关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想．
Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
Ⅴ．课后作业
1．课本P179练习1、2．
2．课本P182～P183习题15．3─1题．
Ⅵ．活动与探究
1．计算：1234567892-123456788×123456790
2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．
过程：
1．看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算．
2．方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简．
结果：
1．1234567892-123456788×123456790
=1234567892-（123456789-1）（123456789+1）
=1234567892-（1234567892-1）
=1234567892-1234567892+1
=1．
2．原方程可化为： 5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2
∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2
即5x+54x2-24-54x2+6=2
移项合并同类项得5x=20
∴x=4．
板书设计
备课资料
[例1]利用平方差公式计算：
（1）（a+3）（a-3）（a2+9）；
（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．
分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1）
解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）
=（a2）2-92=a4-81；
（2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）
=[（2x）2-12]（4x2+1）
=（4x2-1）（4x2+1）
=（4x2）2-1=16x4-1．
方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算．这是这类试题的计算原则．
[例2]计算：
（1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式．于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算．事实上，这是可行的．
解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
=100+99+98+97+…+2+1
=（100+1）+（99+2）+…+（51+50）
=50×101=5050；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
=（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）
=××××××…××××
＝×=．
方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用．
§15．3．2完全平方公式
第十课时
教学目标
（一）教学知识点
1．完全平方公式的推导及其应用．
2．完全平方公式的几何解释．
（二）能力训练要求
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
（三）情感与价值观要求
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．
教学重点
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
教学方法
自主探索法
有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们探究下列问题：
（出示投影片）
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
[师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
[生]可以．我们知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
（出示投影片）
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现（1）结果中的2p=2·p·1，（2）结果中4m=2·m·2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
（出示投影片）
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
应用举例：
出示投影片：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2
（a+b）2=a2+2·a·b+b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y-）2=y2-2·y·+（）2
（a-b）2=a2-2·a·b+b2
=y2-y+
方法二：（y-）2
=[y+（-）]2=y2+2·y·（-）+（-）2
（a+b）2=a2+2·a·b+b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
[生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
[师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
Ⅲ．随堂练习
课本P181练习1、2．
1．解：（1）（x+6）2
=x2+2x·6+62=x2+12x+362
（2）（y-5）2
=y2-2y·5+52=y2-10y+252
（3）（-2x+5）2
=（-2x）2+2·（-2x）·5+52
=4x2-20x+25
（4）（x-y）2
=（x）2-2·x·y+（y）2
=x2-xy+y2
2．（1）（a+b）2≠a2+b2
应该是（a+b）2=a2+2ab+b2．
（2）（a-b）2≠a2-b2
应该是（a-b）2=a2-2ab+b2．
Ⅳ．课堂小结（略）
Ⅴ．课后作业
课本P183习题15．3─2、4、7题．
Ⅵ．活动与探究
按下列图中所示的两种方式分割正方形，你能分别得到什么结论？
过程：对于（1）正方形ABCD的面积等于正方形AEOH的面积加上矩形EBFO和矩形HDGO的面积再加上正方形GOFC的面积．也就是：
（a+b）2=a2+2ab+b2．
对于（2）大正方形面积减去小正方形的面积等于四个全等矩形的面积之和，并且小正方形的边长是x-y，所以说：
（x+y）2-（x-y）2=4xy．
结果：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）（x+y）2-（x-y）2=4xy．
板书设计
备课资料
1、 杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家，在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多．
他著名的数学书共五种二十一卷．著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》三卷（1275年）．
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌诀，如九归口诀．他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形成的“纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究．杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．
他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献．
二、参考练习
1．填空题
（1）（-3x+4y）2=_________．
（2）（-2a-b）2=_________．
（3）x2-4xy+________=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+_________．
（5）a2+______+9b2=（a+3b）2．
（6）（a-2b）2+（a+2b）2=_________．
2．选择题
（1）下列计算正确的是（ ）
A．（m-1）2=m2-1 B．（x+1）（x+1）=x2+x+1
C．（x-y）2=x2-xy-y2 D．（x+y）（x-y）（x2-y2）=x4-y4
（2）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么m的值是（ ）
A．4 B．-4 C．±4 D．±8
（3）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了（ ）
A．36cm2 B．12acm2 C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
3．用乘法公式计算
（1）（x-y）2
（2）（x2-2y2）2-（x2+2y2）2
（3）29×31×（302+1）
（4）9992
答案：
1．（1）9x2-24xy+16y2 （2）4a2+4ab+b2 （3）4y2 （4）-2ab （5）3ab
（6）2a2+8b2
2．（1）D （2）C （3）C
3．（1）x2-xy+y2 （2）-8x2y2 （3）809999 （4）998001
§15．3．1 平方差公式
一、1．用简便方法计算
（1）2001×1999 （2）998×1002
2．计算：
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
二、探究、归纳规律──平方差公式；
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2
三、应用、升华：
1．例1： 例2：
2．闯关练习
四、小结
§15．3．2．1 完全平方公式（一）
一、1．提出问题：（a+b）2-a2+b2=？
2．探究公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
3．完全平方公式的几何意义：
二、应用举例：利用完全平方公式计算：
[例1]（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
[例2]（1）1022 （2）992
三、巩固练习
四、小结