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专题05 图形的初步知识 高频考点（13个）（精讲）
高频考点1 直线、射线、线段、 角的基本概念
【解题技巧】熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。
例1．（2022·浙江·九年级专题练习）如果AB＝9，AC＝4，BC＝5，则（ ）
A．点C在线段AB上 B．点C在线段AB的延长线上
C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
【答案】A
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．
【详解】解：如图：
从图中我们可以发现AC+BC＝AB，所以点C在线段AB上．故选：A．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，在未画图类问题中，正确画图很重要，所以能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维．
变式1．（2022·浙江·七年级阶段练习）下列说法：①射线与射线是同一条射线；②线段是直线的一部分；③延长线段到，使；④射线与射线的公共部分是线段．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法进行判断即可．
【详解】①射线与射线不是同一条射线；故①错误；
②线段是直线的一部分；故②正确；
③延长线段到，则AC>AB；故③错误；
④射线与射线的公共部分是线段；故④正确；
综上：正确的有②④，共两个；故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义和表示方法，熟练地掌握相关知识是解题的关键．注意射线是有方向的．
变式2．（2022·山东烟台·期中）下列关于直线的表示方法，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】用直线的表示方法解答，通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示．
【详解】∵通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示，例直线AB，直线a．
故①用直线A表示错误；②直线AB表示正确；③直线Ab表示错误；④直线ab表示错误；故选：B．
【点睛】本题考查了几何中直线的表示方法，熟记直线的表示方法是解题的关键．
变式3．（2022·广东汕头初一期末）下列说法：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线；（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段；其中正确的有（ ）
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【答案】C
【分析】（1）根据线段的性质即可求解；（2）根据直线的性质即可求解；（3）余角和补角一定指的是两个角之间的关系，同角的补角比余角大90°；（4）根据两点间的距离的定义即可求解．
【解析】（1）两点之间线段最短是正确的；（2）两点确定一条直线是正确的；
（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°是正确的；
（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段的长度，原来的说法是错误的．故选C．
【点睛】本题考查了补角和余角、线段、直线和两点间的距离的定义及性质，是基础知识要熟练掌握．
高频考点2 角的表示、换算及比较大小
【解题技巧】角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．
角的比较方法：(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)叠合法：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.
例1．（2022·海南鑫源高级中学七年级期末）12.3°=________°______′；=_________°．
【答案】 12 18 15.5
【分析】由角度的单位换算进行计算，即可求出答案．
【详解】解：； ；故答案为：12；18；15.5．
【点睛】本题考查了角度的单位换算，解题的关键是掌握角度的单位换算法则进行计算．
变式1．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠β+∠AOB＝∠AOC D．∠AOC也可用∠O来表示
【答案】D
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项不符合题意；
B、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选不符合题意；
C、∠β表示的是∠BOC，∠β+∠AOB=∠AOC，正确，故本选项不符合题意；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
变式2．（2022·山东省泰安南关中学期中）若∠A＝45.3°，∠B＝45°12'，则这两个角的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＝∠B C．∠A＜∠B D．无法确定
【答案】A
【分析】先换算单位，再根据角的大小关系解决此题．
【详解】解：∵，，∴∠A＞∠B，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查角的大小关系、度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算、角的大小关系是解决本题的关键．
变式3．（2022·山东泰安·期中）把化为用度表示，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据1°等于60′，1′等于60″计算即可．
【详解】40°12′36″中的12′36″化为秒为12×60″+36″=756″，756″÷3600=0.21°，
即40°12′36″用度表示为：40.21°，故选：B．
【点睛】本题考查了角的单位于角度制的知识，掌握度分秒之间时60进制是解答本题的关键．
高频考点3 直线、射线、线段的实际生活中的应用
【解题技巧】主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可
例1．（2022·浙江）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为___________．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故答案是：两点确定一条直线．
【点睛】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，掌握直线的性质是解题的关键．
变式1．（2022山西吕梁初一期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．
【答案】喜羊羊．
【分析】根据直线的性质，可得答案．
【解析】解：在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．我认为喜羊羊同学的说法是正确的，故答案为：喜羊羊．
【点睛】本题考查了直线的公理：两点确定一条直线，要与线段的公理：两点之间线段最短，区分开来，不要混淆．
变式2．（2022·浙江丽水·七年级期末）小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识：两点之间，线段最短．选A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
变式3．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图，从到有多条道路，人们往往走中间的直路，这是因为（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点的距离的概念 C．两点确定一条直线 D．它最直
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：根据图形，人们往往走中间的直路，这是因为两点之间，线段最短．故选A．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，掌握线段的性质是解题的关键．
高频考点4 线段、角度中的计数问题
例1．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【答案】6 ，10，，6，，20
【分析】问题：根据线段的定义解答；
知识迁移：根据角的定义解答；
学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．
【详解】解：问题：根据题意，则；；；
知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有
1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角；
学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数×5×4=10，
需要车票的种数：10×2=20（种）．
故答案为：6 ，10，，6，，20；
【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
变式1．（2022·河北秦皇岛·七年级期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（ ）种不同的车票
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
【分析】把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，先求出线段条数，再乘以2即是车票的种类．
【详解】解：把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，如图，
∴线段一共有（条），而，
∴需要准备20种不同的车票，故选D
【点睛】本题主要考查运用数学知识解决生活中的问题；关键是需要掌握正确数线段的方法．
变式2．（2022·山东青岛·七年级期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出m、n的值即可．
【详解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．
变式3．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有______个角．
【答案】
【分析】首先分析在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2个角，引2条线段，有1+2+3个角，···进而得出引n条线段，有角的个数，得出答案即可．
【详解】在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2=3（个）角，
引2条线段，有1+2+3=6（个）角，···
引n条线段，有（个）角，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数角的个数，掌握数字变化规律式解题的关键．
高频考点5 作图问题
【解题技巧】（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。
例1．（2022·河北承德·七年级期末）（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；②画射线DC交直线AB于点E；③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF=BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为______，草坪的面积为________；
②若长方形的长为，宽为，圆形的半径为，铺设每平方m草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（）．
【答案】（1）见解析；（2）①πR2；ab-πR2．②铺设草坪大约共需支付47000元．
【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义画出图形即可．
（2）①利用圆的面积公式可求得花卉区的面积，根据草坪的面积等于长方形的面积减去花卉区的面积即可求解；
②根据题①的结论，将相应的数代入计算即可得．
【详解】解：（1）①直线AB如图所示：
②如图所示；③如图所示；
（2）①花卉区的面积为πR2；
草坪的面积=长方形的面积-花卉区的面积=ab-πR2，故答案为：πR2；ab-πR2．
②当a=100m，b=50m，R=10m时，草坪的面积=100×50-π×102=5000-100π（m2），
铺设草坪大约共需支付10×(5000-100π)≈47000(元) ．∴铺设草坪大约共需支付47000元．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段的定义以及列代数式、代数式求值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，依据题意，正确列出代数式．
变式1．（2022·河北保定·七年级期末）如图，在平面内有三点．(1)画直线，射线，线段；(2)在线段上任取一点D（不同于），连接，并延长至E，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)数一数，此时图中线段共有___条．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8条
【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；
（2）根据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD，并延长AD至点E，使DE=AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）图中有线段AB、AC、AD、AE、DE、BC、BD、CD，一共8条．
【点睛】考查了直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段定义．
变式2．（2022·新疆·七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图：
(1)画射线PA；(2)在直线AB上求作线段AC，使AC＝AB－PB；
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；（2）在线段BA上截取BC，使得BC=BP，线段AC即为所求．
（1）解：如图，射线PA即为所求；
（2）解：如图，线段AC即为所求．
【点睛】本题考查了画射线，作线段等于已知线段，掌握基本作图是解题的关键．
变式3．（2022·山东烟台·期中）作图题：如图，已知点，，，，请按要求利用直尺和圆规作出图形．要求：不写作图步骤，要保留作图痕迹．
(1)作直线和射线；(2)连接，在线段上作出一点，使得；
(3)在直线上作出一点，使最短．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据直线，射线的定义作出图形即可；
（2）以点A为圆心，线段AC为半径画弧，交AD于点E，则点E即为所作；
（3）连接CD交AB于点P，则点P即为所作．
（1）如图，直线和射线即为所求作：
（2）如图，点E即为所作；（3）如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图直线，射线的定义，两点之间线段最短，及线段的和差等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义．
高频考点6 与线段有关的计算
【解题技巧】线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
例1．（2022·浙江浙江省·七年级期末）如图，线段是线段上一点，M是的中点，N是的中点．（1），求线段的长；（2）若线段，线段，求的长度（用含的代数式表示）．
【答案】（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）
【分析】（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即可；
（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．
【详解】解：（1），是的中点，，
，；
，，是的中点，是的中点，
，，；
（2），，，
是的中点，是的中点，，，
．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、AN的长．
变式1．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．
甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．
【详解】解：甲同学：点C在线段AB上，且，
，，甲同学正确．
乙同学：点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点，有两种情况，
①当时，，②当时，，乙同学错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可．
变式2．（2022·汉川市实验中学七年级期末）如图，是线段的中点，在线段上，，，则的长是___________．
【答案】1
【分析】先根据C是线段AB的中点得出BC的长，再由CD=BC-BD即可得出结论．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，AD=5，DB=3，
∴BC=（AD+DB）=4，∴CD=BC-BD=4-3=1．故答案为：1．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
变式3．（2022·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学七年级开学考试）如图，线段 CD在线段 AB上，且 CD=1，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD=1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：
AC+CD+DB+AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD，
∵CD=1，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，∴长度之和减1是3的倍数，而只有4-1=3是3的倍数，故选A．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差，解题的关键是数形结合，找出所求问题需要的条件．
变式4．（2022·华中科技大学同济医学院附属中学）已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）如图1，若，，求的长；（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）
【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=AC=2，CE=BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=，CE=，则，所以，再利用的中点，得到，于是可计算出，即有．
【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF ，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，
∴AC=10CF，∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，∴，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，
∴AC=6CF，∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，∴，综上所述，的值为或．
（3）如图，
设AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中点为 ，CE的中点为，
∴，∴，
∵的中点为 ，∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．
高频考点7 实际背景下的线段计算
【解题技巧】根据题意结合实际背景，再利用线段的相关知识解答即可。
例1．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
【答案】C C与D之间
【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论．
【详解】解：如图，
∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；
若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；
若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，
∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短．
如果工作台由5个改为6个，如图，
位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE；
位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE；
位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD；
位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD；
位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE；
∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
变式1．（2022·北京海淀区·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
【答案】B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），
因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000（m），因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
变式2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（ ）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关
变式3．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米．
【答案】A，B两市相距600千米．
【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到，，，由计算即可得出结果．
【详解】如图，由题意可知，千米，，，
∴ （千米）
∴ （千米） 答：A，B两市相距600千米．
【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键．
高频考点8 钟面上的角度问题
【解题技巧】常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形。
例1．（2022·江苏仪征市初一期中）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.
（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；
（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
【答案】（1）120°；（2）120°，10°；（3）44
【分析】（1）根据8：00这一时刻时针在8上，分针在12上，之间共有4个大格，列式计算即可得解；（2）根据分针共转过4个大格子，每一个大格子是30°列式计算即可得解；时针在8到9之间转过20分钟，转完整个大格子需要60分钟，然后列式计算即可得解；（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了，然后根据分针的速度是时针的速度的12倍，列出方程求解即可．
【解析】解：（1）30°×4=120°；
（2）分针转过4×30°=120°，时针转过：×30°=10°；故答案（1）120°；（2）120°，10°；
（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了则（12-1）××30°=8×30°，
解得x=≈44，∴小明从离开家到回到家的时间为44分钟.
【点睛】本题考查了钟面角问题，求出时针与分针的夹角问题，通常需要考虑夹角中的大格子和小格子两个部分，也可以利用分针的转速是时针的转速的12倍考虑求解．
变式1．（2022·山东单县·）钟表上1时20分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】A
【分析】钟表里，每一大格所对的圆心角是30°，每一小格所对的圆心角是6°，根据这个关系计算即可．
【详解】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上1时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20＝10°，分针在数字4上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴1时20分钟时分针与时针的夹角90°﹣10°＝80°．故选：A．
【点睛】本题考查了钟表时针与分针的夹角，熟记钟面上每个时刻的角度是解题的关键．
变式2．（2022·浙江七年级期末）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，乘以走的时间即可求解
【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于 度/分钟，时针转动的速度等于 度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了 度，分针转了 度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是 度．
故答案为：20；240；20
【点睛】本题考查钟面角，需注意一开始时针与分针的位置不一定重合
变式3．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）时钟在时分时，时针与分针的夹角等于______ ．
【答案】##75度
【分析】时钟在3时30分的时候，时针在3和4中间，分针则指向6，根据钟面上每一格的度数可得到结果．
【详解】解：时钟在3时30分时，时针在3和4中间，分针指向6，
∵钟面上每一格的度数为：，
∴，∴时针与分针的夹角等于，故答案为：．
【点睛】本题考查了钟面角的含义和求法，解题的关键是找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
高频考点9 方位角问题
【解题技巧】方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向．
仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角
例1．（2022·浙江七年级期中）小红和小丽是同班同学，经过他们两家和学校的街道都可近似看成是直线，小红家在学校的西南方向，小丽家在学校的北偏西方向上，放学后两人都从学校直接回家，则两人行走的方向夹角为__．
【答案】
【分析】将G点作为参照点学校，小红家在学校的西南方向，即∠FGC=45°，小丽家在学校的北偏西75°方向上，即∠AGE=75°，计算∠EGF即可．
【详解】
∵小红家在学校的西南方向，∴∠FGC=45°，∴∠DGF=45°，∵小丽家在学校的北偏西75°方向，
∵∠AGE=75°，∴∠DGE=15°，∴∠EGF=60°故答案为：60°．
【点睛】本题考察了方位角的概念，做题的关键是理解西南方向和北偏西75°方向的位置，计算即可．
变式1．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．
【详解】解：如图：∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．
【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
变式2．（2022·河南鹿邑县·七年级期中）如图所示，小明在操场上点B处看位于点A处小亮的位置时，下列说法正确的是（ ）
A．点A在点B的北偏东40°的方向25m处 B．点A在点B的南偏东50°的方向25m处
C．点A在点B的南偏西40°的方向25m处 D．点A在点B的南偏西50°的方向25m处
【答案】D
【分析】根据观察发现点B位于点A的北偏东50°方向25m处，则点A位于点B南偏西50°方向25m处，即可解答．
【详解】解：观察发现点B位于点A的北偏东50°方向25m处，则点A位于点B南偏西50°方向25m处．故选：D．
【点睛】本题主要考查了方向角，熟练掌握用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边是解题的关键．
变式3．（2022·河北沧州市·）如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
【答案】①商场在小明家西偏北60°方向，距离2.5cm位置，学校在小明家东偏北45°方向，距离2cm位置，公园在小明家东偏南30°方向，距离2cm位置，停车场在小明家东偏南30°方向，距离4cm位置；②800m
【分析】①根据方向角定义及图中线段的长度即可得知；②根据学校距离小明家400m而图中对应线段OA＝2cm可知图中1cm表示200m，再根据OB、OP的长即可得．
【详解】解：①商场在小明家西偏北60°方向，距离2.5cm位置，学校在小明家东偏北45°方向，距离2cm位置，公园在小明家东偏南30°方向，距离2cm位置，停车场在小明家东偏南30°方向，距离4cm位置；
②∵学校距离小明家400m，且OA＝2cm，∴图中1cm表示200m，
∴商场距离小明家2.5×200＝500m，停车场距离小明家4×200＝800m．
【点睛】本题主要考查方向角的概念，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
高频考点10 一副直角三角形板中的角度问题
【解题技巧】该内容主要考查角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键．
例1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；②；③；④．
其中不正确的是_________．（写出序号）
【答案】①③④
【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．
【详解】解：∵，，
∴当时， ，故①不正确；
∵∴②正确；
∵∴③不正确；
∵，，∴∴④不正确；
综上所述：不正确的是①③④，故答案为：①③④
【点睛】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．
变式1．（2022·山东威海·期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
变式2．（2022·山东烟台·期中）如图，将一副三角板与的直角顶点O重合在一起，若，为的平分线，则的度数为（ ）
A．72° B．73° C．75° D．76°
【答案】A
【分析】先推出∠AOD+∠BOC=180°，结合∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE=∠COD-∠COE即可解答．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，∴∠COE=∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD ∠COE=90° 18°=72°，故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算及数形结合的数学思想，根据图中的数量关系求出∠BOC=36°是解答本题的关键．
变式3．（2022·新疆·七年级期末）把一副三角板按照如图所示的位置摆放，使其中一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的边上，形成的两个夹角分别为，，若，则的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【答案】A
【分析】根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，则，故选：A
【点睛】此题考查了涉及三角板的有关计算，解题的关键是掌握三角板中有关角的度数．
高频考点11 与角平分线（角的和差）有关的计算
【解题技巧】
1）角的和、差：由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．
2）角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA.
例1．（2022·浙江·七年级期中）如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD．（1）如图1，若∠COE＝20°，则∠DOB的度数为 °；（2）将图1中的∠COD放置图2的位置，其他条件不变，探究∠COE和∠DOB之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）40；（2）∠DOB＝2∠COE，理由见解析
【分析】（1）根据∠COD是直角，∠COE＝20°可得∠EOD＝70°，由OE平分∠AOD，可得∠AOD＝140°，从而可得∠DOB＝40°．（2）先根据∠COE与∠AOD之间的关系转化出∠AOD＝180°﹣2∠COE，再根据∠DOB＝180°﹣∠AOD这一关系代入化简即可得出∠DOB＝2∠COE．
【详解】解：（1）∵∠COD是直角，∠COE＝20°，∴∠EOD＝70°，
又∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝140°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝40°．故答案为：40．
（2）∠DOB＝2∠COE．
∵∠COD是直角，OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOD，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠AOD，∴∠AOD＝180°﹣2∠COE，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2∠COE）＝2∠COE．
【点睛】本题主要考查角度的计算和角平分线的定义，正确进行角度之间的转化是解题的关键．
变式1．（2022·湖北黄梅县·）如图，已知，平分，平分．
（1）若是直角，，求的度数；（2）若，则是多少度？
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据平分，求出，根据平分，求出，即可求出的度数；（2）根据角平分线的定义可得，由，可得，整理可得的度数．
【详解】解：（1）∵，∴．
∵平分，∴．
∵平分，∴．
∵，∴．
（2）∵平分，平分，
∴，，
∴．
又∵，∴，
∴=∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确识图是解答本题的关键．
变式2．（2022·江苏七年级课时练习）如图，OM是的平分线，ON是的平分线．
（1）如图1，当是直角，时， ______，_____ ，______；
（2）如图2，当，时，猜想：与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当， （为锐角）时，猜想：与 有数量关系吗 如果有，请写出结论，并说明理由．
【答案】（1），，；（2），理由见解析；（3）有，，理由见解析．
【分析】（1）观察图形，结合角平分线的定义可得，，即可求解；
（2）观察图形，结合角平分线的定义可得，，即可求解；
（3）观察图形，结合角平分线的定义可得，，即可求解；
【详解】解：（1）∵ON 平分，∴，
∴，
∵OM是的平分线，∴，
∴；故答案为：，，；
（2）．理由：，OM是的平分线，
，因为ON平分，
所以，；
（3）．理由：因为ON平分，所以，
又因为，OM是的平分线，
所以，．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是掌握角平分线的定义并通过观察图形找到角与角之间的关系．
变式3．（2022·山东乳山市·期中）（问题回顾）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得．（不用求解）
（问题改编）点O在直线上，，OE平分．
（1）如图2，若，求的度数；（2）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由．
【答案】（1）25°；（2），见解析
【分析】（1）先求，利用角平分线定义再求，最终求的度数；
（2）设，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系，从而可得结论．
【详解】解：（1）∵，∴．
∵，∴．∴．
∵平分，∴．
∴．
（2）设．则．
∵平分，∴．
∵，
∴
∴按图3所示的位置放置时，与度数间的等量关系为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平角的定义，角的和差关系，熟练运用平角，角平分线探究角与角之间的关系是解题的关键.
高频考点12 余角、补角的相关计算
【解题技巧】1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
3）余角（补角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
例1．（2022·浙江金华·七年级期末）一张小凳子的结构如图所示，，，则( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据和互为补角，得，根据三角形内角和为，，得，即可求出的角度．
【详解】∵和互为补角∴
∵∴
又∵在中，，
∴∴故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、补角的知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、补角的性质．
变式2．（2022·安徽合肥·七年级期末）若∠1与∠3互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1与∠2互余 C．∠1与∠2互补 D．∠2－∠1＝90°
【答案】D
【分析】根据余解和补角的定义求解即可．
【详解】解：∠1与∠3互余，
∠1＋∠3＝90°，
∠3＝90°－∠1．
∠2与∠3互补，
∠2＋∠3＝180°，
∠2＋90°－∠1＝180°，
即∠2－∠1＝90°．故选：D．
【点睛】本题考查余角和补角定义，两角的和等于90度，这两角和互为余角；两角和为180度，则这两角互为补角．
变式3．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，直线相交于点O，
(1)写出图中与互补的角；(2)若，，求和的度数．
【答案】(1)，(2)30°，150°
【分析】（1）根据邻补角的定义进行求解即可；
（2）根据余角的定义，求出，再根据邻补角的定义求出．
（1）解：的补角有，．
（2）解：∵，，∴，
∵与互补，∴∴．
【点睛】本题考查了余角和邻补角的定义，熟练掌握余角以及邻补角的定义并结合图形找到角的和差关系是解决问题的关键．
高频考点13 七巧板相关问题
例1．（2022·山东青岛·七年级期末）把一幅七巧板按如图所示方式进行编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块．如果编号⑤的面积比编号③的面积小6，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积为_________．
【答案】32
【分析】根据七巧板，可知小正方形的面积等于2个小三角形面积，中等三角形的面积等于2个小三角形面积，小平行四边形面积等于2个小三角形面积，一个大三角形面积等于4个小三角形面积求解即可．
【详解】解：设编号⑤对应的面积等于，编号③对应的面积等于，
编号⑤的面积比编号③的面积小6，，，
∴这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．故答案为：．
【点睛】本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键．
变式1．（2022·山东城阳区·）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于___________cm2．
【答案】80
【分析】将七巧板进行分割，分成16个面积相等的三角形，从而计算即可．
【详解】解：如图，将七巧板进行如下分割，可将七巧板分成16个面积相等的三角形，
其中编号5对应的面积为5cm2，∴由这个七巧板拼成的正方形的面积为：16×5=80cm2，
则拼成的“房子”的面积为80cm2，故答案为：80．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，七巧板的性质，解题的关键是明确七巧板的构成，以及每块的面积与整个七巧板的关系．
变式2．（2022·河南中原区·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（ ）
A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2
【答案】C
【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的面积，再根据牛头所占面积为正方形面积的可得答案．
【详解】解：∵图1的正方形的边长为8cm，∴正方形的面积是64cm2，
由牛的拼法可知，牛的头部占正方形的，∴牛头部所占的面积是64×=16cm2，
故选：C．
【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力．
变式3．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（ ）
A．②⑥ B．④⑥⑦ C．⑤⑥⑦ D．④⑤⑥
【答案】A
【分析】根据七巧板拼凑的方法及拼图的线条即可求解．
【详解】解：图2中“帆”的部分由两块大三角形组成，即图1中的①③④，左侧船体是一块小三角形，即③，右侧船体由于帆有一些重合，但根据线条形状不难看出是一个平行四边形，即⑥⑦，所以拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是④、⑥和⑦，故选：A．
【点睛】本题考查了七巧板的运用，熟练掌握七巧板的拼凑方法是解题的关键．
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专题05 图形的初步知识 高频考点（13个）（精讲）
高频考点1 直线、射线、线段、 角的基本概念
【解题技巧】熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。
例1．（2022·浙江·九年级专题练习）如果AB＝9，AC＝4，BC＝5，则（ ）
A．点C在线段AB上 B．点C在线段AB的延长线上
C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
变式1．（2022·浙江·七年级阶段练习）下列说法：①射线与射线是同一条射线；②线段是直线的一部分；③延长线段到，使；④射线与射线的公共部分是线段．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2022·山东烟台·期中）下列关于直线的表示方法，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
变式3．（2022·广东汕头初一期末）下列说法：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线；（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段；其中正确的有（ ）
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
高频考点2 角的表示、换算及比较大小
【解题技巧】角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．
角的比较方法：(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)叠合法：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.
例1．（2022·海南鑫源高级中学七年级期末）12.3°=________°______′；=_________°．
变式1．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠β+∠AOB＝∠AOC D．∠AOC也可用∠O来表示
变式2．（2022·山东省泰安南关中学期中）若∠A＝45.3°，∠B＝45°12'，则这两个角的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＝∠B C．∠A＜∠B D．无法确定
变式3．（2022·山东泰安·期中）把化为用度表示，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 直线、射线、线段的实际生活中的应用
【解题技巧】主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可
例1．（2022·浙江）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为___________．
变式1．（2022山西吕梁初一期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．
变式2．（2022·浙江丽水·七年级期末）小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线
变式3．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图，从到有多条道路，人们往往走中间的直路，这是因为（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点的距离的概念 C．两点确定一条直线 D．它最直
高频考点4 线段、角度中的计数问题
例1．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
变式1．（2022·河北秦皇岛·七年级期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（ ）种不同的车票
A．4 B．8 C．10 D．20
变式2．（2022·山东青岛·七年级期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
变式3．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有______个角．
高频考点5 作图问题
【解题技巧】（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。
例1．（2022·河北承德·七年级期末）（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；②画射线DC交直线AB于点E；③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF=BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为______，草坪的面积为________；
②若长方形的长为，宽为，圆形的半径为，铺设每平方m草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（）．
变式1．（2022·河北保定·七年级期末）如图，在平面内有三点．(1)画直线，射线，线段；(2)在线段上任取一点D（不同于），连接，并延长至E，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)数一数，此时图中线段共有___条．
变式2．（2022·新疆·七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图：
(1)画射线PA；(2)在直线AB上求作线段AC，使AC＝AB－PB；
变式3．（2022·山东烟台·期中）作图题：如图，已知点，，，，请按要求利用直尺和圆规作出图形．要求：不写作图步骤，要保留作图痕迹．
(1)作直线和射线；(2)连接，在线段上作出一点，使得；
(3)在直线上作出一点，使最短．
高频考点6 与线段有关的计算
【解题技巧】线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
例1．（2022·浙江浙江省·七年级期末）如图，线段是线段上一点，M是的中点，N是的中点．（1），求线段的长；（2）若线段，线段，求的长度（用含的代数式表示）．
变式1．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．
甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
变式2．（2022·汉川市实验中学七年级期末）如图，是线段的中点，在线段上，，，则的长是___________．
变式3．（2022·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学七年级开学考试）如图，线段 CD在线段 AB上，且 CD=1，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式4．（2022·华中科技大学同济医学院附属中学）已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）如图1，若，，求的长；（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
高频考点7 实际背景下的线段计算
【解题技巧】根据题意结合实际背景，再利用线段的相关知识解答即可。
例1．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
变式1．（2022·北京海淀区·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
变式2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（ ）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
变式3．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米．
高频考点8 钟面上的角度问题
【解题技巧】常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形。
例1．（2022·江苏仪征市初一期中）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.
（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；
（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
变式1．（2022·山东单县·）钟表上1时20分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
变式2．（2022·浙江七年级期末）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
变式3．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）时钟在时分时，时针与分针的夹角等于______ ．
高频考点9 方位角问题
【解题技巧】方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向．
仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角
例1．（2022·浙江七年级期中）小红和小丽是同班同学，经过他们两家和学校的街道都可近似看成是直线，小红家在学校的西南方向，小丽家在学校的北偏西方向上，放学后两人都从学校直接回家，则两人行走的方向夹角为__．
变式1．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河南鹿邑县·七年级期中）如图所示，小明在操场上点B处看位于点A处小亮的位置时，下列说法正确的是（ ）
A．点A在点B的北偏东40°的方向25m处 B．点A在点B的南偏东50°的方向25m处
C．点A在点B的南偏西40°的方向25m处 D．点A在点B的南偏西50°的方向25m处
变式3．（2022·河北沧州市·）如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
高频考点10 一副直角三角形板中的角度问题
【解题技巧】该内容主要考查角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键．
例1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；②；③；④．
其中不正确的是_________．（写出序号）
变式1．（2022·山东威海·期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
变式2．（2022·山东烟台·期中）如图，将一副三角板与的直角顶点O重合在一起，若，为的平分线，则的度数为（ ）
A．72° B．73° C．75° D．76°
变式3．（2022·新疆·七年级期末）把一副三角板按照如图所示的位置摆放，使其中一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的边上，形成的两个夹角分别为，，若，则的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
高频考点11 与角平分线（角的和差）有关的计算
【解题技巧】
1）角的和、差：由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．
2）角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA.
例1．（2022·浙江·七年级期中）如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD．（1）如图1，若∠COE＝20°，则∠DOB的度数为 °；（2）将图1中的∠COD放置图2的位置，其他条件不变，探究∠COE和∠DOB之间的数量关系，并说明理由．
变式1．（2022·湖北黄梅县·）如图，已知，平分，平分．
（1）若是直角，，求的度数；（2）若，则是多少度？
变式2．（2022·江苏七年级课时练习）如图，OM是的平分线，ON是的平分线．
（1）如图1，当是直角，时， ______，_____ ，______；
（2）如图2，当，时，猜想：与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当， （为锐角）时，猜想：与 有数量关系吗 如果有，请写出结论，并说明理由．
变式3．（2022·山东乳山市·期中）（问题回顾）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得．（不用求解）
（问题改编）点O在直线上，，OE平分．
（1）如图2，若，求的度数；（2）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由．
高频考点12 余角、补角的相关计算
【解题技巧】1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
3）余角（补角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
例1．（2022·浙江金华·七年级期末）一张小凳子的结构如图所示，，，则( )
A． B． C． D．无法确定
变式2．（2022·安徽合肥·七年级期末）若∠1与∠3互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1与∠2互余 C．∠1与∠2互补 D．∠2－∠1＝90°
变式3．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，直线相交于点O，
(1)写出图中与互补的角；(2)若，，求和的度数．
高频考点13 七巧板相关问题
例1．（2022·山东青岛·七年级期末）把一幅七巧板按如图所示方式进行编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块．如果编号⑤的面积比编号③的面积小6，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积为_________．
变式1．（2022·山东城阳区·）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于___________cm2．
变式2．（2022·河南中原区·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（ ）
A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2
变式3．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（ ）
A．②⑥ B．④⑥⑦ C．⑤⑥⑦ D．④⑤⑥
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