4.1.1 n次方根与分数指数幂 第一课时(共31张PPT)

(共31张PPT)
人教2019A版必修 第一册
4.1.1 n次方根与分数指数幂
第四章 指数函数与对数函数
1.掌握n次根式及根式的概念；（重点）
2.正确运用指数的运算性质进行运算.(难点）
通过根式概念的形成过程，培养数学抽象的核心素养,通过分数指数幂的化简求值，培养数学运算的核心素养
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”.
同学们能认出图片中的叶子和果实是什么树的吗？
复习引入
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多万年前就存在的吗
树干化石
树叶化石
复习引入
【3】 负数没有偶次方根.
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 ，
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用表示.两者也可以合并成 .
例如
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
什么是根式？
根指数
被开方数
探究新知
【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，叫做被开方数.
根据n次方根的定义，可得：，比如：
【1】一般读作“n次根号”
【2】 当＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义.
【3】 当 有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于.
探究新知
【探究】表示 的n次方根，一定成立吗？
【结论】①当n为奇数时， ②当n为偶数时，
是实数的n次方，在有意义的前提下，实数的
取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于.
是实数的n次方根，恒有意义，不受的正负限制.但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定等于，当n为奇数时，；当n为偶数时，
和
有什么区别？
典例引领
【1】求下列各式的值.
(1) (2) (3) (4)
【解】(1)
(2)
(3)
(4)
变式训练
变式训练
变式训练
结论:an开奇次方根,则有
结论:an开偶次方根,则有
5.求下列各式的值
变式训练
正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根.
探究新知
我们知道，如果，那么叫做的平方根.例如，±2就是4的平方根. 如果，那么叫做的立方根.如2就是8的立方根.
类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根.
一般地，如果，那么叫做的n次方根，n＞1，且n∈N*
探究新知
【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道；，也就是说，当根式的被开方数(看 成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为
分数指数幂的形式呢？
【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式,
我们希望整数指数幂的运算性质，如：，对分数指数幂同样适用.
探究新知
【定义】由此，我们规定，正数的分数指数幂的意义是：
于是，在条件下，根式都可以写成分数
指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
我们规定，
例如，
我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
探究新知
【问题1】可以理解为个相乘吗？
不可以.显然不是半个相乘，它的实质是根式的另一种写法，如
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了 ，而在实数范围内无意义.
探究新知
时运算法则不一定成立.研究的一般性要求：
，此时法则一定成立.
【解】
典例引领
例2 求下列各式的值.
(1) (2)
(1)
(2)
典例引领
例3 求用分数指数幂表示下列式子 ( ).
(1) (2)
(1)
(2)
【解】
例4.计算下列各式（式中字母都是正数）：
解析：
熟记运算性质
典例引领
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
幂指数 定 义 底数的取值范围 正整数 指数 零指数 负整数 指数 正分数 指数
负分数 指数
an=a·a·…·a
n个
a∈R
a0=1
a∈R且a≠0
a∈R且a≠0
m为奇数
a∈R
m为偶数
a≥0
m为奇数
m为偶数
a∈R且a≠0
a>0
底数的要求不同哦
小结提升
课后作业
课本107页1,2,3