北师大版数学九年级上册 2.1 第1课时 一元二次方程 课件（共18张PPT）

(共19张PPT)
2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
1.了解一元二次方程的概念;（重点）
2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）. （重点）
3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难点）
学习目标
导入新课
复习引入
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
想一想：什么叫一元二次方程呢？
一元二次方程的相关概念
一
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗（列出方程即可）？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程：
(8 - 2x)
(5 - 2x)
x
x
(8 – 2x)
x
x
(5 – 2x)
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　
根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1
x+2
x+3
x+4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m ,
根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
6
x+6
72 + (x + 6)2 = 102.
化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
10m
8m
1m
xm
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0.
1.只含有一个未知数;
2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
讲授新课
观察与思考
方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
练一练
1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　　时,是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 　 　　 时,是一元二次方程.当k 　　　时,是一元一次方程．
≠3
≠±1
=-1
典例精析
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2)(a－1)x ∣ a ∣ +1 －2x－7=0
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0,所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
1.下列方程哪些是一元二次方程 为什么
(1)7x2 - 6x = 0
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
(3)
(4)
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
√
方程中同时出现x、y两个未知数
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
当堂练习
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方　程 一般形式 二次项
系数 一次项
系数 常数项
3x2= 5x - 1
(x + 2) (x - 1)=6
4 - 7x2=0
3x2 - 5x + 1 = 0
x2 + x - 8 = 0
3
-5
1
1
1
-8
7x2 - 4 = 0
7
0
-4
3.如图,有一块矩形铁皮,长19cm,宽15cm．在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2 ,那么铁皮各角应切去多大的正方形？列出方程，并将其化为一般式.
解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm,则纸盒底面的长方形的长为（19 -2x）cm ,宽为（15 - 2x）cm.
依题意得：
(19 - 2x) (15 - 2x) = 81.
x2 - 17x + 51 = 0 (一般式).
xcm
xcm
一元二次方程
只含有一个未知数x的整式方程，并且
都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式.
概念
ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.
bx 称为一次项,b 称为一次项系数
c 称为常数项.
课堂小结
一般式