一知识梳理
知识点一 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
知识点二 充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
二专题训练
一、单选题
1．（2022高一上·嘉善月考）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若，则为假命题，
所以“”是“”的不充分条件；
若，则为真命题，
所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“”是“”的必要不充分条件。
2．（2022高一上·南阳月考）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】已知，x>a，， 若是的充分条件，根据小范围推大范围得到。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而求出实数a的取值范围。
3．（2022高一上·南阳月考）“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件。
4．（2022高一上·邢台月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，
所以，即，
所以，所以，即，
若，则满足，而此时，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】利用不等式的基本性质结合充分条件 、必要条件的定义可得答案.
5．（2022高一上·连州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若，则，即成立，
若则，则或或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出“”是“”的充分不必要条件。
6．（2022高一上·杭州期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由可得，或，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】由可得，或， 利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
7．（2022高一上·怀仁期末）已知集合A＝{x∈R|－1A．m≥2 B．m≤2 C．m>2 D．－2【答案】A
【知识点】集合的包含关系判断及应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，
所以A B，
所以3≤m＋1，即m≥2.
故答案为：A.
【分析】结合题意由集合之间的关系，由不等式的性质结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
8．（2022高一上·台州期末）设，则“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由不能推出，例如，，故充分性不成立；
由不能推出，例如，故必要性不成立；
则“是“”的既不充分也不必要条件。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“是“”的既不充分也不必要条件。
二、多选题
9．（2022高一上·南京月考）已知， ，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于，解得
对于，得.
时，解得；
时，解得；
因为是的一个必要不充分条件，所以A.
时，有，解得.
时， 有，解得.
综上所述，可得.故只要实数的取值集合是集合的真子集即可.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而求出实数a的取值范围。
10．（2022高一上·浙江月考）设，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解不等式，得或，
则不等式的解集为或，
因此，不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是集合的真子集，A，C，D符合。
故答案为：ACD．
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而求出 “”成立的一个充分不必要条件。
11．（2021高一上·费县期中）下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A：由，得，或，，故不是的充要条件，A不符合题意；
对于B：由，则，若则，故是的充要条件，B符合题意；
对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，C符合题意；
对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故不是的充要条件，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出是的充要条件的选项。
12．（2020高一上·黄冈期末）下列各题中， 是 的充要条件的有（ ）
A． ：四边形是正方形； ：四边形的对角线互相垂直且平分
B． ：两个三角形相似； ：两个三角形三边成比例
C． ： ； ： ， ；
D． ： 是一元二次方程 的一个根； ：
【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A选项，p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以 推不出 ，所以p不是q的充要条件；
B选项，p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 能等价互推，所以p是q的充要条件.
C选项， ， ， ，因为 时， ， 不一定成立，也可能 ， ，所以 推不出 ，所以p不是q的充要条件；
D选项， 是一元二次方程 的一个根， .
将 代入方程 得， ，即 “若p，则q” 为真命题，若 ，则 时，方程左式 ，即 适合方程， 是一元二次方程 的一个根，故“若q，则p”均为真命题，即 能等价互推，所以p是q的充要条件.
所以BD中，p是q的充要条件.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而找出 是 的充要条件的选项。
三、填空题
13．（2022高一上·浙江月考）已知，其中，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，得，解得，
当时，由，得，
当时，由，得，
因为是的充分条件，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，或，
即实数的取值范围为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法得出命题p，再利用一元二次不等式求解方法得出命题q，再利用充分条件判断方法和分类讨论的方法，进而得出实数m的取值范围。
14．（2021高一上·潍坊期中）已知函数 ．写出满足“ ”的一个必要不充分条件为 ．(注：写出一个满足条件的即可)
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 可理解为 始终在 上方或恰好重合，已知 ，当且仅当 时取到等号， 对称轴为 ，当 ，即 时， ，显然 恒成立，如图，
不妨取“ ”的一个必要不充分条件为 ，即 ，但 。
故答案为： （答案不唯一）。
【分析】若 可理解为 始终在 上方或恰好重合，再利用均值不等式求最值的方法，得出 ，当且仅当 时取到等号，再利用二次函数的图象的对称性结已知条件，从而求出实数b的取值范围，进而求出函数的最大值的取值范围，显然 恒成立，再利用两函数f(x)和g(x)的图像结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出 满足“ ”的一个必要不充分条件。
15．（2021高一上·驻马店期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
【答案】m＞3
【知识点】集合的包含关系判断及应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为“m＞3”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，所以m＞3，
故答案为m＞3.
【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解，即可求出 的取值范围 .
16．（2020高一上·昭阳期末）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号)．
⑴如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
⑵如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
⑶如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
⑷如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
【答案】⑴⑵⑶
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】（1）开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出说法正确的序号。
四、解答题
17．（2022高一上·南阳期末）已知集合，．
（1），求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，
．
，
且，或，或，
．
实数的取值范围是．
（2）解：命题，命题，是的必要不充分条件，
，推不出，即是的真子集，
，解得：．
实数的取值范围为．
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】(1)分别求解一元二次不等式化简A与B，把 转化为两集合端点值间的关系求解出 实数的取值范围；
(2)由p是q的必要不充分条件，列出不等式组求解即可求出实数的取值范围．
18．（2021高一上·肥城期中）设 证明： 的充要条件是 .
【答案】证明：(1)充分性：如果 ，
那么 ，
.
(2)必要性：如果 ，
那么 ，
， .
由(1)(2)知， 的充要条件是 .
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而证出 的充要条件是 。
19．（2022高一上·宁德期末）设集合，，．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）解：时，，
又
故
（2）解：由题意知：“”是“”的充分条件，即
当时，，，满足题意；
当时，，欲满足
则必须解之得
综上得的取值范围为或
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】(1)m=3时，求出集合A、B， ，由此能求出 ；
(2)由 “”是“”的充分条件得 ，当 时，m-1>2m，当 时， ，由此能求出m的取值范围.
20．（2021高一上·怀仁期中）已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，即 ，当 时， ．
所以 ，
所以 或 ，
所以 ；
（2）解：若“ ”是“ ”的必要不充分条件，
则 真包含于 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴实数 的取值范围是 ．
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用m的值求出集合B，再利用指数函数的单调性求出集合A，再结合交集、并集和补集的运算法则，从而求出集合 ， 。
（2）利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出实数m的取值范围。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：67分
分值分布 客观题（占比） 28.0(41.8%)
主观题（占比） 39.0(58.2%)
题量分布 客观题（占比） 12(60.0%)
主观题（占比） 8(40.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 4(20.0%) 4.0(6.0%)
解答题 4(20.0%) 35.0(52.2%)
多选题 4(20.0%) 12.0(17.9%)
单选题 8(40.0%) 16.0(23.9%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (45.0%)
2 容易 (50.0%)
3 困难 (5.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 集合的包含关系判断及应用 3.0(4.5%) 7,15
2 补集及其运算 10.0(14.9%) 19
3 交、并、补集的混合运算 10.0(14.9%) 20
4 交集及其运算 20.0(29.9%) 17,19
5 必要条件、充分条件与充要条件的判断 67.0(100.0%) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
6 不等式的基本性质 2.0(3.0%) 4一知识梳理
知识点一 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
知识点二 充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
二专题训练
一、单选题
1．（2022高一上·嘉善月考）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2022高一上·南阳月考）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·南阳月考）“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高一上·邢台月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高一上·连州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（2022高一上·杭州期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高一上·怀仁期末）已知集合A＝{x∈R|－1A．m≥2 B．m≤2 C．m>2 D．－28．（2022高一上·台州期末）设，则“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2022高一上·南京月考）已知， ，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高一上·浙江月考）设，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
11．（2021高一上·费县期中）下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
12．（2020高一上·黄冈期末）下列各题中， 是 的充要条件的有（ ）
A． ：四边形是正方形； ：四边形的对角线互相垂直且平分
B． ：两个三角形相似； ：两个三角形三边成比例
C． ： ； ： ， ；
D． ： 是一元二次方程 的一个根； ：
三、填空题
13．（2022高一上·浙江月考）已知，其中，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
14．（2021高一上·潍坊期中）已知函数 ．写出满足“ ”的一个必要不充分条件为 ．(注：写出一个满足条件的即可)
15．（2021高一上·驻马店期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
16．（2020高一上·昭阳期末）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号)．
⑴如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
⑵如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
⑶如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
⑷如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
四、解答题
17．（2022高一上·南阳期末）已知集合，．
（1），求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（2021高一上·肥城期中）设 证明： 的充要条件是 .
19．（2022高一上·宁德期末）设集合，，．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
20．（2021高一上·怀仁期中）已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
