3.2.2双曲线的几何性质---巩固提升训练
一、选择题
1.已知双曲线：，则该双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3.双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左、右焦点为，，虚轴的上、下端点为，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线左右焦点分别为，过的直线交双曲线的左支于两点，且，若的周长为，则双曲线的实轴长是( )
A. B. C. D.
7(多选).已知双曲线，则不因改变而变化的是( )
A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程
8.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点
如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率等于 .
10.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为 .
11.已知双曲线，两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 .
12.一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳与这颗彗星的距离分别是亿千米和亿千米的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为和，则这颗彗星与太阳的最近距离是 ．
三、解答题
13.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，求双曲线的离心率．
14.已知双曲线的中心为，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，求双曲线的离心率.
15.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，若，求双曲线的离心率.3.2.2双曲线的几何性质---巩固提升训练
一、选择题
1.已知双曲线：，则该双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：双曲线C：，即，则，实轴长．
故选B．
注：对于双曲线的标准方程，被减数分母为.
2.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：双曲线方程：化为标准方程：.
a=2，b=2，焦点在x轴上.
渐近线方程:
故选C．
3.双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：双曲线方程：变形为标准方程形式，则，.
，b=2a，即，.
故选：．
注：方程转化为标准式，能给解题带来方便.
4.已知双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：，得.
，则. 焦点在x轴上.
双曲线的渐近线方程:，
故选C．
5.已知双曲线的左、右焦点为，，虚轴的上、下端点为，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：根据方程结构，可知焦点在横轴上.
，，=3.
四边形是菱形，其面积S===12.
故选B．
注：虚轴的端点不在双曲线上.
6.已知双曲线左右焦点分别为，过的直线交双曲线的左支于两点，且，若的周长为，则双曲线的实轴长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：如图.
的周长=4a+2，4a+2=24，，.
故选：．
注：题中结论“的周长=4a+2”，最好记住.
7(多选).已知双曲线，则不因改变而变化的是( )
A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程
【答案】BD
解析：双曲线方程：，化为标准方程：.
，，，.
对于A选项，焦距2c=2，不是定值. 错误；
对于B选项，离心率为. 正确；
对于C选项，顶点坐标为，，不是确定的. 错误；
对于D选项，渐近线方程为，正确．
故选：BD．
8.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点
如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：设的长轴长为，的实轴长为.
设光速为，则的周长，的周长.
，.
在图中，由椭圆的定义知，，即；
由双曲线的定义知，.
①－②，得=－，即－.
的周长=，即.
=3(－)，，：：.
故选：．
二、填空题
9.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】．
解析：，，.
．
答案：．
10.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为 .
【答案】．
解析：，，，，a=2b.
焦点在y轴上，渐近线方程为，
答案：．
11.已知双曲线，两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 .
【答案】 或
解析：如图.两条渐近线的夹角为，情况分两种.
①右上图，，，
=，=2；
②右下图，，
=，.
综上，或．
答案：或
12.一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳与这颗彗星的距离分别是亿千米和亿千米的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为和，则这颗彗星与太阳的最近距离是 ．
【答案】亿千米
解析：如图所示：设双曲线方程为.
点F为太阳的位置，双曲线左支为彗星的运行轨迹.根据题意，
由，=3，.
= 6，，c==.
中，=3，=，=2c=2.
根据余弦定理，得，即
=9+4()－22，
412+9=9+4+24－6，化简，得=2，.
c==4，这颗彗星与太阳的最近距离．
注：与椭圆一样，过焦点且垂直于焦点轴的弦叫通径，通径长为2.
三、解答题
13.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，求双曲线的离心率．
解析：直线的方程：.
，直线的方程:.
联立，解得，即点.
点在渐近线上，，.
双曲线的离心率为．
14.已知双曲线的中心为，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，求双曲线的离心率.
解析：如图.连接MP、MQ，作，垂足为.，
，，
整理，得，则.
，渐近线方程：，即.
点到渐近线的距离.
Rt中，，.
RtOMN中，=a，=5=5 . ，，
代入①式，整理，得．
15.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，若，求双曲线的离心率.
解析：情况分两种.
①右上图，Rt中，.
，.
中，.
=，
，得，；
②右下图，，则．
中，.
=，
，，．
综上，离心率的值为或．
