一 知识梳理
知识点一 子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
2.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
知识点二 空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
二 专题训练
一、单选题
1．（2022高一上·黑龙江月考）已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为，所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，所以集合的个数为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合子集的定义和子集的个数求解公式，进而得出满足要求的集合M的个数。
2．（2021高一上·驻马店期中）已知集合，、、为非零实数 ，则的子集个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为集合，、、为非零实数 ，
所以当都是正数时，；
当都是负数时，；
当中有一个是正数，另两个是负数时，，
当中有两个是正数，另一个是负数时，，
所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，
故答案为：D.
【分析】 讨论x、y、z的符号，得到集合M的元素，然后根据子集的公式可求出 的子集个数 .
3．（2022高一上·南阳月考）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A，C A，正方形是矩形，所以C B。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合几何图形的关系，再利用集合间的包含关系，从而找出正确的选项。
4．（2022·南平三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由可得.
故答案为：D.
【分析】直接由求解即可.
5．（2022·潍坊）已知集合，，若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】对于A，当集合时，，故此选项错误；
对于B，当集合时，，故此选项错误；
对于C，当集合时，，故此选项错误；
对于D，因为，，且，所以，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】由已知可得集合B，再逐项进行判断，可得答案.
6．（2022·徐州）已知集合 ， ，若 ，则实数 组成的集合为（ ）
A．{0} B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ， 或 ，解得 ，
当 时， ， ， ，满足题意.
当 时， ，不满足集合的互异性.
当 时， ， ，若 ，满足题意.
当 时， ， ，若 ，满足题意.
故答案为：C.
【分析】 若 得 或 ，解出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素满足互异性可得答案。
7．（2022·来宾）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：因为集合，
所以根据子集的定义可知，
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合子集的定义，即可得出答案。
8．（2021高一上·郑州期中）下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】① ，正确；
② ，因为 ，所以错误；
③ ，正确；
④ ，因为 表示集合中有一个元素，是“0”，但是 表示集合中一个元素也没有，所以错误.
故答案为：B
【分析】利用已知条件，结合集合与集合关系，元素与集合的关系即可判断。
二、多选题
9．（2022高一上·潮阳月考）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】当时，，即，此时，符合题意，
当时，，即，
由可得或，
因为，所以或，可得或，
因为，所以，
所以实数的取值范围为或，
所以ABC符合题意，D不正确；
故答案为：ABC.
【分析】 分和两种情况，求出，然后由子集的定义分析求解出实数的取值范围 .
10．（2022高一上·汕尾期末）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】B,C,D
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或，
故答案为： BCD
【分析】先求出集合A，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案.
11．（2021高一上·湖北月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．集合 有两个子集
B．若 ，则
C．集合 里面有6个元素
D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为
【答案】A,D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的表示法；子集与真子集
【解析】【解答】A： ，则有2个子集，正确；
B：当 ，则 ，故错误；
C： 的自然数元素有 ，而 ，共有无数个元素，错误；
D：若点坐标为 ，第二象限的点有 ，第四象限的点有 ，故第二、四象限的点的集合可以表示为 ，正确.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合子集的定义、元素与集合的关系、象限的点所表示的集合，从而找出真命题的选项。
12．（2021高一上·重庆月考）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,D
【知识点】集合的相等
【解析】【解答】对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；
对于B，因为 ，所以 ，正确；
对于C，
，
显然 ，C不符合题意；
对于D，因为
故 ，D符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法，从而选出两集合相等的选项。
三、填空题
13．（2021高一上·宁德期中）设集合，，若，则实数 .
【答案】-1
【知识点】集合的相等
【解析】【解答】∵，
∴，，
此时，满足题意，
∴。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合集合相等的判断方法，从而求出实数a的值。
14．（2021高一上·河南月考）2021年是中国共产党成立100周年，某校为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的3倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有 人.
【答案】14
【知识点】元素与集合关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】设高一年级选手人数 高二年级选手人数 高三年级选手人数 教师选手人数分别为 ，
且 为正整数，
则 ，从而 ，解得
故选手至少有 人.
【分析】由已知条件设出高一年级选手人数 高二年级选手人数 高三年级选手人数 教师选手人数分别为 ，结合题意即可得出不等式组，由此得到a、b、c、d之间的关系，从而得到a、b、c、d的取值范围，由已知条件即可求出答案。
15．（2021高一上·桂林月考）已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为 ．
【答案】{0，-1，1}
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由已知 ，又 中至多一个元素，
若 ，则 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
故答案为：{0，-1，1}．
【分析】根据题意即可得出集合N中的元素个数，再由二次函数的性质即可求出a的值，由此得出答案。
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、 ∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号）
【答案】①④
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断；集合的分类；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：当a=b时，a-b=0、a b =1∈P，故可知①正确．
当a=1，b=2， Z不满足条件，故可知②不正确．
对③当M中多一个元素i则会出现1+i M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．
根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确。
故答案为①④。
【分析】利用已知条件结合数域的定义，再利用元素与集合的关系和集合间的包含关系，再由无限集的定义，从而找出正确命题的序号。
四、解答题
17．（2022高一上·连州月考）已知
（1）当时，写出集合的所有子集，共有多少个？
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
所以集合的子集有，
所以共有8个子集.
（2）解：因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合元素与集合的关系和子集的定义，进而写出集合的所有子集，并结合子集个数求解公式求出集合A的子集个数。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
18．（2020高一上·福建月考）已知集合 .
（1）若 ， ，求实数m的取值范围；
（2）若 ， ，求实数m的取值范围；
【答案】（1）解：因为 ， ，
若 ，当 时， ，解得 ，满足 ，
当 时， ，解得 ，
综上所述：实数m的取值范围是 .
（2）解：若 ，则 ， 解得 ，即 ，
所以实数m的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合集合间的包含关系，从而结合分类讨论的方法，借助数轴求出实数m的取值范围。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，从而结合分类讨论的方法，借助数轴求出实数m的取值范围。一 知识梳理
知识点一 子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的_____元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素_________，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的_____元素都是集合B的元素，同时集合B的_____元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
2.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
知识点二 空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
二 专题训练
一、单选题
1．（2022高一上·黑龙江月考）已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2021高一上·驻马店期中）已知集合，、、为非零实数 ，则的子集个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
3．（2022高一上·南阳月考）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·南平）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·潍坊）已知集合，，若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·徐州）已知集合 ， ，若 ，则实数 组成的集合为（ ）
A．{0} B．
C． D．
7．（2022·来宾）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高一上·郑州期中）下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．（2022高一上·潮阳月考）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·汕尾期末）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
11．（2021高一上·湖北月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．集合 有两个子集
B．若 ，则
C．集合 里面有6个元素
D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为
12．（2021高一上·重庆月考）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2021高一上·宁德期中）设集合，，若，则实数 .
14．（2021高一上·河南月考）2021年是中国共产党成立100周年，某校为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的3倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有 人.
15．（2021高一上·桂林月考）已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为 ．
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、 ∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号）
四、解答题
17．（2022高一上·连州月考）已知
（1）当时，写出集合的所有子集，共有多少个？
（2）若，求实数的取值范围．
18．（2020高一上·福建月考）已知集合 .
（1）若 ， ，求实数m的取值范围；
（2）若 ， ，求实数m的取值范围；
.
