第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章《一元二次方程》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．若方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+（c﹣a）＝0是关于x的一元二次方程，则必有（　　）
A．a＝b＝c B．一根为1 C．一根为﹣1 D．以上都不对
2．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3或﹣2 B．3 C．﹣2 D．﹣3或2
3．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值为（　　）
A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣1
4．已知方程x2+px+q＝0的两个根分别是2和﹣3，则x2﹣px+q可分解为（　　）
A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6. 已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，则m2＋n2的值为(　　)
A. －4或2 B .－2或4 C. 4 D. 2
7.如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(　　)
A.k＞－ B.k＞－且k≠0
C.k＜－ D.k≥－且k≠0
8.已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(　　)
A.7 B.7或6 C.6或－7 D.6
9.如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动.运动下列时间后，能使△PBQ的面积为15 cm2的是(　　)
图1
A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s
10.疫情期间，有1人染上“新冠肺炎”，如果不及时治疗，那么经过两轮传染后共有361人染上“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染的人数为(　　)
A.14 B.16 C.18 D.20
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一个根为﹣2，则2a﹣b＝　 　．
12．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　．
13．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为　 　．
14．若x，y都是实数，且满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 　 　秒时，△BPQ的面积是6cm2．
18．已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为 　 　．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2（5x﹣1）2＝5（5x﹣1）；
（3）（x+3）2﹣（2x﹣3）2＝0； （4）3x2﹣4x﹣1＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23、某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元．
24、某地2019年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2021年在2019年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2019年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2021年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
参考答案与试题解析
选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C B B C C B
二．填空题（共8小题）
11．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一个根为﹣2，
∴4a﹣2b+1＝0，
∴4a﹣2b＝﹣1，
∴2a﹣b＝﹣，
故答案为：﹣．
12．解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，
∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，
∴|x1﹣x2|＝7，
故答案为：7．
13．解：x2﹣10x+24＝0，
解得x＝6或x＝4．
所以菱形的面积为：（6×4）÷2＝12．
故答案为：12．
14．解：设x2+y2＝t，
原方程变形为t（t﹣1）＝12，
t2﹣t＝12
（t﹣4）（t+3）＝0，
t1＝4，t2＝﹣3，
∵x2+y2＞0，
∴t＝4
∴x2+y2＝4，
故答案为4．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．解：设运动时间为t 秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，
依题意得：（10﹣2t）t＝6，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．
故答案为：2或3．
18．解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
∵2+2＝4，
∴三角形三边为4、4、2，
∴△ABC的周长为10，
故答案为：10．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
可得x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程整理得：2（5x﹣1）2﹣5（5x﹣1）＝0，
分解因式得：（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣5]＝0，
可得5x﹣1＝0或10x﹣7＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.7；
（3）分解因式得：（x+3+2x﹣3）（x+3﹣2x+3）＝0，
可得3x＝0或﹣x+6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2x1＝﹣6，解得x1＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23、（1）20%;（2）60元
【分析】
（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24、（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．
【详解】
（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.