【全程同步】2013-2014学年高中数学必修一：第三章 函数的应用 单元质量评估试题（含解析，人教）

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单元质量评估(三)
第三章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列四个结论:①函数f(x)=3x-6的零点是2;②函数f(x)=x2+4x+4的零点是-2;③函数f(x)=log3(x-1)的零点是1;④函数f(x)=2x-1的零点是0.其中正确的个数为(　　)
A.1　　　 　B.2　　　 　C.3　　　 　D.4
2.实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足a为(　　)
A.2 B.奇数 C.偶数 D.至少2个
3.函数f(x)=ax+b的零点是-1(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是(　　)
A.-1 B.0 C.-1和0 D.1和0
4.已知函数f(x)=ex-x2+8x,则在下列区间中f(x)必有零点的是(　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
5.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点
6.(2012·临沂高一检测)设函数f(x)=
则方程f(x)=的解为(　　)
A. B.3 C.3或 D.无解
7.当x∈(2,4)时,下列关系正确的是(　　)
A.x2<2x B.log2xC.log2x< D.2x8.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是(　　)
9.已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0A.恒为正值 B.等于0
C.不大于0 D.恒为负值21世纪教育网
10.已知函数f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为(　　)
A.y=2 B.y=4-
C.y=log3(x+1) D.y=
11.(2013·南安高一检测)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且一个零点是2,则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-2,2)
12.设函数f(x)=log4x-()x,g(x)=lox-()x的零点分别为x1,x2,则(　　)
A.C.x1x2=2 D.x1x2≥2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是　　　　.
①有三个实根;②x>1时恰有一实根;③当014.函数f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(4-x),若方程f(x)=0恰有两个不同的实根,则这两个根的和是　　　　.
15.某工程由A,B,C,D四道工序完成,完成它们需用的时间依次为2,5,x,4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工,若完成该工程总时间数为9天,则完成工序C需要的天数x最大为　　　　　.
16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)方程x2-=0在(-∞,0)内是否存在实数解 并说明理由.
18.(12分)若二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1,一个零点大于3,求实数a的取值范围.
19.(12分)(2012·临沂高一检测)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.
(1)求f(x).
(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.
20.(12分)(2013·龙岩高一检测)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过15万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过15万元时,若超过部分为A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励,没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式.
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
21.(12分)截至2012年底,已知某市人口数为80万,若今后能将人口年平均递增率控制在1%,经过x年后,此市人口数为y(万).
(1)求y与x的函数关系y=f(x).
(2)求函数y=f(x)的定义域.
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数
22.(12分)(能力挑战题)已知函数f (x)=x-1+x2-2,试利用基本初等函数的图象判断f(x)有几个零点;并利用零点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1).
答案解析
1.【解析】选C.当log3(x-1)=0时,x-1=1,∴x=2,故③错,其余都对.
2.【解析】选D.由f(a)·f(b)<0知,y=f(x)在(a,b)上至少有一零点,由f(c)·f(b)<0知,y=f(x)在(b,c)上至少有一零点,故y=f(x)在(a,c)上至少有2个零点.
【变式备选】若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根,则f(0)·f(4)的值(　　)
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.无法判断
【解析】选D.如图(1)和(2)都满足题设条件.
3.【解析】选C.由条件知f(-1)=0,∴b=a,∴g(x)=ax2+bx=ax(x+1),其零点为-1和0.
4.【解析】选B.f(-1)=-9<0,f(0)=e0=1>0,f(x)是连续函数,故f(x)在(-1,0)上有一零点.
5.【解析】选D.因为f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则f(1),f(2),f(4)恰有一负两正或三个都是负的,函数的图象与x轴相交有多种可能.例如,
所以函数f(x)必在区间(0,4)内有零点.
6.【解析】选B.当x≤1时,2-x=,∴x=(舍).
当x>1时,log81x=,∴x=3.
7.【解析】选B.当x∈(2,4)时,x2∈(4,16),2x∈(4,16),log2x∈(1,2),∈(,),显然C,D不正确,对于选项A,若x=3时,x2=9>23,故A也不正确.
8.【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.
9.【解析】选A.由题意f(x)=()x-log2x在(0,+∞)上为减函数.又f(x0)=0,所以当0f(x0)=0,故选A.
10. 【解析】选B.由于过(1,2)点,排除C,D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即排除A,∴选B.
11.【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2,则还有一个零点为-2.又函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,则f(x)<0的x的取值范围是(-2,2).
【变式备选】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y -24 -10 0 6 8 6 0 -10 -24 …
则使ax2+bx+c>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(-10,-1)∪(1,+∞)
B. (-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(0,+∞)
【解析】选C.由表可知,f(x)的两个零点为-1和3,当-1∴使ax2+bx+c>0成立的x的取值范围是(-1,3).
12.【解析】选A.f(1)=log41-()1=-<0,
f(2)=log42-()2=>0,
故f(x)在(1,2)内有一零点,即1g(1)=lo1-()1=-<0,
g()=lo-(=1->0,故g(x)在(,1)内有一零点,即由①②可知13.【解析】f(x)的图象是将函数y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移0.01个单位得到的,故f(x)的图象与x轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),(0,)和(,1)内,故只有①⑤正确.
答案:①⑤
14.【解析】由f(4+x)=f(4-x)知此函数y=f(x)关于x=4对称,设f(x)=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=8.21世纪教育网
答案:8
15.【解析】由题意画出工序图为
→D(4天)
设工程所用总天数为f(x),21世纪教育网
则由题意得:
当x≤3时,f(x)=5+4=9,
当x>3时,f(x)=2+x+4=6+x,
∵工程所用总天数f(x)=9,
∴x≤3,∴x最大值为3.
答案:3
16.【解析】由f(1)·f(2)<0, x≥0时,y=f(x)是单调递减的,知y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.
答案:2
【一题多解】本题也可以画出函数大致图象求解,如图:
由图象知有2个零点.
17.【解析】不存在.因为当x<0时,->0,
∴x2->0恒成立,故不存在x∈(-∞,0),21世纪教育网
使x2-=0.
18.【解析】因为二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的图象开口向下,且在区间
(-∞,-1),(3,+∞)内各有一个零点,所以
即
即解得a>.
19.【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,
所以即
解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12.
所以值域为[12,18].
20.【解析】(1)由题意,
得y=
(2)∵x∈(0,15]时,0.1x≤1.5,
又y=5.5>1.5,∴x>15,
所以1.5+2log5(x-14)=5.5,x=39.
答:老张的销售利润是39万元.
21.【解析】(1)由题设条件知,经过x年后此市人口总数为80(1+1%)x(万),21世纪教育网
∴y=f(x)=80(1+1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间,
∴此函数的定义域是N*.
(3)y=f(x)=80(1+1%)x是指数型函数,
∵1+1%>1,∴y=80(1+1%)x是增函数.
22.【解题指南】把一个不易作出的函数图象转化为两个容易作出的图象,本题考查数形结合思想和零点的判断方法.
【解析】由f(x)=0,得x-1=-x2+2,令y=x-1,y=-x2+2,其中抛物线顶点为(0,2),与x轴交于点(-2,0),(2,0).
如图所示y=x-1,y=-x2+2的图象有3个交点,从而函数f(x)有3个零点.
由f(x)知x≠0,f(x)图象在(-∞,0),(0,+∞)上分别是连续不断的,
且f(-3)=>0,f(-2)=-<0,f()=>0,f(1)=-<0,f(2)=>0,
即f(-3)·f(-2)<0,f()·f(1)<0,
f(2)·f(1)<0,
∴三个零点分别在区间(-3,-2),(,1),(1,2)内.
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