4.2 第2课时 线段的长短比较 课件(共30页)

(共30张PPT)
第4章 图形的认识
4.2 线段、射线、直线
第2课时 线段的长短比较
湘教版七年级上册
1.会用尺规画一条线段等于已知线段.
教学目标
2.会比较两条线段的长短. (重点)
3.掌握线段的和、差、倍、分关系，能根据这种关系求线段的长度. (重点、难点)
4.理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用. (难点).
新课导入
下面我们就学习线段长短的比较.

新知探究
一、作一条线段等于已知线段
作法：
①用直尺作射线 AE；
②用圆规在射线 AE 上截取 AB = a.
线段 AB 即为所求.
已知：线段 a.
求作：一条线段 AB，使 AB=a.
a
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
作一条线段等于已知线段是基本作图.
比较两条线段的长短
二
议一议
下图中哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？与同伴进行交流.
1
3
5
4
6
7
2
8
0
1
3
5
4
6
7
2
8
0
讲授新课
思考：怎样比较两条线段的长短 ？
(1) 度量法
(2) 叠合法
将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上.
用刻度尺量出它们的长度，再进行比较.
A B
C D
a
b
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法结论：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 CD 的延长线上，那么 AB
CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
例1 如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB.
(1)作射线A'C'；
(2)用圆规在射线A'C'上截取A'B'=AB.
(3)线段A'B'为所求作的线段.
A' C'
B'
A
B
解：作图步骤如下：
典例精析
这样仅用圆规和没有刻度的支持作图的方法叫尺规作图.
新知探究
三、线段的和、差、倍、分


类似地，还有线段三等分点（图③），
③
四等分点（图④）
④

①

②
如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
做一做
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
A
B
M
A
B
M
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
A
a
a
M
B
M 是线段 AB 的中点
几何语言：因为M 是线段 AB 的中点
所以 AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
反之也成立：因为 AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 AB )
所以 M 是线段 AB 的中点
知识要点
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
例2　如图，在直线上有A，B，C三点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度.
解：因为AB＝4 cm，BC＝3 cm，
所以AC＝AB＋ BC＝7 cm.
因为点O是线段AC的中点，
所以OC＝ AC＝3.5 cm.
所以OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm).
(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．
计算线段长度的一般方法：
(2)整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段．
归纳总结
变式：如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是（　　）
A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5或1
【解析】本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
AC＝AB－BC，
又∵AB＝6，BC＝4，
∴AC＝6－4＝2，
∵D是AC的中点，
∴AD＝1；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
AC＝AB＋BC，
又∵AB＝6，BC＝4，
∴AC＝6＋4＝10，
∵D是AC的中点，
∴AD＝5.故选D.
方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.
例3 如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：
（1）AD的长；
（2）AB∶BE.
解：（1）设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，
由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由E为AD的中点，得ED＝ AD＝ x.
由线段的和差得，CE＝DE－CD＝ x－4x＝ ＝2.
解得x＝4.
∴AD＝9x＝36（cm）.
（2）AB∶BE.
解：AB＝2x＝8，BC＝3x＝12.
由线段的和差，
得BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）.
∴ AB∶BE＝8∶10＝4∶5.
方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答.
两点之间线段最短
三
合作探究


A
B
如图,从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你在图上画出最短路线.
发现：两点之间的所有连线中，线段最短
2.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
1.上述发现可以总结为：
两点之间，线段最短
知识要点
两点之间线段最短
1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程
改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何
设计线路？请在图中画出，并说明理由.
想一想
.
B
A
.
2. 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长
度有什么变化？
A
B
A，B 两地间的河道长度变短.
典例精析
[解析] 在MN上任选一点P，它到A，B的距离即线段PA与PB的长，结合两点之间线段最短可求．
例4 如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
解：连接AB，交MN于点P，则这个货站应建在点P处.
P
P
(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．
(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”．
归纳总结
课堂小测
1.如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
2.如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b.
作法：
①作射线 AE；



课堂小结
线段的长短比较
线段的长短比较
线段的和、差、倍、分
尺规作图
两点之间线段最短
谢谢
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