第三讲 因式分解的应用
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．
因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．
因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．
例题求解
【例1】若，则的值为 ．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式．
注：
在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．
代数式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；
(3)整体代入求值．
【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则的值( )
A．恒正 B．恒负C．可正可负D．非负
(大原市竞赛题)
思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
【例3】计算下列各题：
（1）；
（2）
思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
【例4】已知 n是正整数，且n4—16n2+100是质数，求n的值．
( “希望杯’邀请赛试题)
思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程的整数解；
(上海市竞赛题)
(2)设x、y为正整数，且，求的值．
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．
解题思路的获得，一般要经历三个步骤：
(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；
(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；
(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．
不定方程(组)的基本解法有：
(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．
运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．
学力训练
1．已知x+y＝3，，那么的值为 ．
2．方程的整数解是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
3．已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝ ．
4．对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是 ．
(四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．4l，47
6，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，则的值是( )
A． 2， B．2 C． D．－2，
7．a、b、c是正整数，a>b，且a2-ac+bc=7，则a—c等于( )
A．一2 B．一1 C．0 D． 2
(江苏省竞赛题)
8．如果，那么的值等于( )
A．1999 B．2001 C．2003 D．2005
（武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：
10．若a是自然数，则a4－3a+9是质数还是合数 给出你的证明．
(“五城市”联赛题)
11．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b－9，则c＝ ． (江苏省竞赛题)
12．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)
13．整数a、b满足6ab＝9a—l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知，且，则的值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
15．设aA．x16．若x+y=－1，则的值等于( )
A．0 B．－1 C．1 D． 3
( “希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p、q满足下列关系 ：，，m是适当的整数，那么的数值是( )
A．4004006 B．3996005 C．3996003 D．4004004
18．设n为某一自然数，代入代数式n3－n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A．5814 B．5841 C．8415 D．845l (陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)
21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．
(美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)第二讲 分解方法的延拓
——配方法与待定系数法
在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：
1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解．
例题求解
【例1】分解因式：= ．
(2002年重庆市竞赛题)
思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．
注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．
配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．
【例2】如果有两个因式x+1和x+2，则a+b＝( )．
A．7 B．8 C．15 D．2l
(2001年武汉市选拔赛试题)
思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．
【例3】把下列各式分解因式：
(1)； (“祖冲之杯”邀请赛试题)
（2）； (哈尔滨市竞赛题)
(3)； (扬州市竞赛题)
(4) (河南省竞赛题)
思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．
【例4】为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积
(天津市竞赛题)
思路点拨 因为二次项系数，故不宜从二次项入手，而，可得多项式必为的形式．
【例5】 如果多项式能分解成两个一次因式、的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少
(江苏省竞赛题)
思路点拨 由待定系数法得到关于b、c、a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b、c、a的值．
学历训练
1．(1)完成下列配方问题：
（江西省中考题）
（2）分解因式：的结果是 ．(郑州市竞赛题)
2．若有一个因式是x+1，则＝ ．
3．若是完全平方式，则= ．
(2003年青岛市中考题)
4．已知多项式可以i分解为的形式，那么 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
5．已知，则的值为( )
A．3 B． C． D．
6．如果 a、b是整数，且是的因式．那么b的值为( )
A．－2 B．－l C．0 D．2
(江苏省竞赛题)
7．d分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
(北京市竞赛题)
8．把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)；
（4）； (昆明市竞赛题)
(5)； （“祖冲之杯”邀请赛试题）
（6） (重庆市竞赛题)
9．已知是的一个因式，求的值．
（第15届“希望杯”邀请赛试题）
10．已知是多项式的因式，则＝ ．
(第15届江苏省竞赛题)
11．一个二次三项式的完全平方式是，那么这个二次三项式是 ．
(重庆市竞赛题)
12．已知，则= ．
(北京市竞赛题)
13．已知为正整数，且是一个完全平方数，则的值为 ．
14．设m、n满足，则=( )
A．(2，2)或(－2，－2) B．(2，2)或(2，－2)
C．(2，－2)或(－2，2) D．(－2，－2)或(－2，2)
15．将因式分解得( )
A． B．
C． D．
16．若 a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
17．把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5) (2003年河南省竞赛题)
18．已知关于x、y的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求m的值． (大原市竞赛题)
19．证明恒等式： (北京市竞赛题)
20．一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a＝20012+20012× 20022十20022，求证：a是一个完全平方数．(希望杯题)第一讲 分解方法的延拓
——换元法与主元法
因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．
一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．
所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．
例题求解
【例1】 分解因式：= ．
( “五羊杯”竞赛题)
思路点拨 视为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．
【例2】 多项式因式分解后的结果是( )．
A．(y－z)(x+y)(x－z) B．(y－z)(x－y)(x＋z)
C． (y+z)(x一y)(x+z) D．(y十z)(x+y)(x一z)
(上海市竞赛题)
思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．
【例3】把下列各式分解因式：
(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市竞赛题)
(2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重庆市竞赛题)
(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2； (“希望杯”邀请赛试题)
(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－125(x－y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)
思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．
【例4】把下列各式分解因式：
(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b)；
(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．
思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．
【例5】证明：对任何整数 x和y，下式的值都不会等于33．
x5+3x4y－5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5．
(莫斯科奥林匹克八年级试题)
思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．
注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：
（1）按字母分组：
(2)按次数分组；
(3)按系数分组．
为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：
（1）；
(2)
学力训练
1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝ ．
2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12= ．
3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y= ． (重庆市中考题)
4．已知二次三项式在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 ．
5．将多项式分解因式，结果正确的是（ ）．
A． B．C． D．
(北京中考题)
6．下列5个多项式：
①；②；③；④ ；⑤
其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．
A．①、②、③ B．②、③ 、④ C．①③ 、④、⑤ D．①、②、④
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．
A． B． C．D．
(“希望杯”邀请赛试题)
8．若，，则的值为( )．
A． B． C． D．0 (大连市“育英杯”竞赛题)
9．分解因式
（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；
(2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；
(3)x4+2001x2+2000x+2001；
(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2；
(5)；
(6)． (“希望杯”邀请赛试题)
10．分解因式：= ．
11．分解因式：= ．
12．分解因式：= ．（ “五羊杯”竞赛题）
13．在1~100之间若存在整数n，使能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有 个． (北京市竞赛题)
14．的因式是( )
A． B． C． D． E．
15．已知，M=，N=，则M与N的大小关系是( )
A．M N C．M＝N D．不能确定
(第 “希望杯”邀请赛试题)
16．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)； (湖北省黄冈市竞赛题)
(3)； (天津市竞赛题)
(4)；（“五羊杯”竞赛题）
(5)． (天津市竞赛题)
17．已知乘法公式：
；
．
利用或者不利用上述公式，分解因式： (“祖冲之杯”邀请赛试题)
18．已知在ΔABC中，(a、b、c是三角形三边的长)．
求证： (天津市竞赛题)
