活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.2.1　基本初等函数的导数（含答案）

5.2.1　基本初等函数的导数
1. 能根据定义求常见函数的导数，加深对导数概念的理解，并熟悉具体的求解步骤．
2. 进一步体会由特殊到一般的数学方法，培养归纳和探究一般规律的能力．
3. 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展思维能力.
活动一 函数y＝xn的求导公式的推导
1. 回忆导数的定义及利用定义求导数的过程．
2. 探求函数y＝xn的求导公式．
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数：
①f(x)＝kx＋b(k，b为常数); ②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.
问题3：通过以上几个函数的求导过程，你有什么发现？
(C)′＝________(C为常数)，
(xn)′＝________(n为常数).
活动二 掌握函数y＝(xn)′的导数公式的应用
例1　求下列函数的导数：
(1) y＝x12；(2) y＝；(3) y＝.
例2　若f(x)＝x2，求f′(2) 和(f(2))′.
活动三 掌握基本初等函数的求导公式
　　3. 求导公式：
(1) (xα)′＝________(α为常数)；
(2) (ax)′＝________(a>0，且a≠1)；
(3) (logax)′＝________＝________(a>0，且a≠1)；
(4) (ex)′＝________；
(5) (lnx)′＝________；
(6) (sinx)′＝________；
(7) (cosx)′＝________.
例3　求下列函数的导函数：
(log2x)′＝________，(3x)′＝________，
(cosx)′＝________，()′＝________，
′＝________，(log3x)′＝________．　
活动四 利用求导公式解决问题
例4　若直线y1＝－x＋b是函数y2＝图象的切线，求常数b及切点的坐标．
求切线问题的一般步骤：
(1) 找切点；(2) 求导数；(3) 求斜率；(4) 写方程．
　求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程．
　求曲线y＝x3过点(1，1)的切线方程．
　已知直线y＝x－1，P为函数y＝x2图象上的任意一点，求点P到直线距离最短时的坐标．
1. 已知f(x)＝lnx，则f′(e)的值为(　　)
A. 0 B. C. 1 D. e
2. 下列求导运算中，正确的是(　　)
A. (cosx)′＝sinx B. (3x)′＝3xlog3e
C. (lgx)′＝ D. (x－2)′＝－2x－1
3. (多选)下列求导运算中，正确的是(　　)
A. ′＝ B. ()′＝
C. (xa)′＝axa－1(a为常数) D. (logax)′＝′＝
4. 曲线y＝ex(其中e＝2.718 28…)在x＝1处的切线方程为__________．
5. 若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值．
参考答案与解析
【活动方案】
1. 略
2. 问题1：常数函数的导数是0.
问题2：①因为＝＝k，
所以 ＝k，故f′(x)＝k.
②因为＝＝2x＋Δx，
所以 ＝2x，故f′(x)＝2x.
③因为＝＝3x2＋3x(Δx)＋(Δx)2，
所以 ＝3x2，故f′(x)＝3x2.
④因为＝＝－，
所以 ＝－，故f′(x)＝－.
⑤因为＝＝，
所以 ＝，故f′(x)＝.
问题3：0　nxn－1
例1　(1) y′＝(x12)′＝12x11.
(2) y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3) y′＝()′＝(x)′＝x－.
例2　由题意，得f′(x)＝2x，则f′(2)＝4.
因为f(2)＝4，所以(f(2))′＝0.
3. (1) αxα－1　(2) axlna　(3) logae　　(4) ex
(5) 　(6) cosx　(7) －sinx
例3　　3xln3　－sinx　　－3x－4　
例4　由题意，得y′2＝－，切线的斜率k＝－1，
则－＝－1，解得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，切点坐标为(1，1)，
所以1＝－1＋b，解得b＝2；
当x＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，
所以－1＝1＋b，解得b＝－2.
跟踪训练1　由题意，得y′＝2x，且点(1，1)在曲线上，
则切线斜率k＝2，
故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
跟踪训练2　由题意，得y′＝3x2.
若(1，1)是切点，则切线的斜率k＝3，
故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
若(1，1)不是切点，设切点为(m，m3)(m≠1)，
则切线的斜率k＝3m2＝，
解得m＝－或m＝1(舍去)，
故切点为，
则切线方程为3x－4y＋1＝0.
综上，曲线过点(1，1)的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
跟踪训练3　设与直线y＝x－1平行且与函数y＝x2图象相切的直线方程为y＝x＋m，
则切点即为到直线距离最短的点P.
由题意，得y′＝2x，
当2x＝1时，解得x＝，
故点P的坐标为.
【检测反馈】
1. B　解析：由题意，得f′(x)＝，则f′(e)＝.
2. C　解析：(cosx)′＝－sinx，故A错误；(3x)′＝3xln3，故B错误；(lgx)′＝，故C正确；(x－2)′＝－2x－3，故D错误．
3. BCD　解析：′＝－，故A错误；()′＝(x)′＝×x－＝，故B正确；(xa)′＝axa－1(a为常数)，故C正确；(logax)′＝′＝，故D正确．故选BCD.
4. ex－y＝0　解析：当x＝1时，y＝e.又y′＝ex，故切线的斜率为e，所以所求的切线方程为ex－y＝0.
5. 因为y＝x－，所以y′＝－x－，
所以曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
所以切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a.
因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，且由题意，得a>0，
所以S＝·3a·a－＝a＝18，
解得a＝64.