苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.2.1 基本初等函数的导数课时小练（含解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.2.1 基本初等函数的导数课时小练（含解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 16.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-25 14:15:51 | ||
图片预览
文档简介
5.2.1 基本初等函数的导数
一、 单项选择题
1. 函数y＝－在点处的切线方程是( )
A. y＝4x B. y＝4x－4 C. y＝4x＋4 D. y＝2x－4
2. (2022·牡丹江第三高级中学期末)已知函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. (2021·江西科技学院附属中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f(e)等于( )
A. － B. －1 C. 1 D. e
4. (2021·重庆第二外国语学校月考)若函数f(x)＝cosx，则f′＋f的值为( )
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
5. 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( )
A. (－2，－8)
B. (2，8)
C. (－2，8)
D. (－2，－8)或(2，8)
6. 已知直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A. 2 B. ln2＋1 C. ln2－1 D. ln2
二、 多项选择题
7. (2021·重庆綦江中学月考)下列结论中，正确的为( )
A. 若y＝ln2，则y′＝
B. 若f(x)＝，则f′(3)＝－
C. 若y＝2x，则y′＝2xln2
D. 若y＝log5x，则y′＝
8. 已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )
A. f(x)＝x2 B. f(x)＝2x＋1 C. f(x)＝lnx D. f(x)＝
三、 填空题
9. 已知f(x)＝lnx且f′(x0)＝，则x0＝________．
10. 已知f(x)＝2x，则f′＝________．
11. 过曲线xy＝4上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是________．
12. 过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为__________．
四、 解答题
13. (1) 已知曲线y＝lnx，P(e，1)是曲线上的一点，求曲线在点P处的切线方程；
(2) 求曲线y＝lnx过点O(0，0)的切线方程．
14. 设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若直线l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，求线段KQ的长．
参考答案与解析
1. B 解析： 因为y′＝x－2，所以切线的斜率k＝＝4，所以切线方程为y＋2＝4，即y＝4x－4.
2. A 解析：由题意，得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
3. B 解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx得f′(x)＝2f′(e)＋，当x＝e时，f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，所以f(x)＝＋lnx，f(e)＝＋lne＝－1.
4. A 解析：因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，所以f′＋f＝－sin＋cos＝－＋＝0.
5. A 解析：因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A(2，8)或(－2，－8)．又因为点(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，符合题意，故点A的坐标为(－2，－8)．
6. C 解析：因为y＝lnx的导数为y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点坐标为(2，ln2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.
7. BCD 解析：常函数的导函数为0，故A错误；根据幂函数的求导规则，f′(x)＝－，所以f′(3)＝－，故B正确；C，D显然正确．故选BCD.
8. ABCD 解析：对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，解得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝2x＋1，则f′(x)＝2，则2x＋1＝2，解得x＝，故B符合要求；对于C，若f(x)＝lnx，则f′(x)＝，则lnx＝.由两函数图象可知该方程存在实数解，故C符合要求；对于D，若f(x)＝，则f′(x)＝－，则＝－，解得x＝－1，故D符合要求．故选ABCD.
9. 1 解析：由题意，得f′(x)＝，所以f′(x0)＝＝，所以x0＝1.
10. eln 2 解析：因为f′(x)＝2xln 2，所以f′＝f′(log2e)＝2log2e·ln 2＝eln 2.
11. 8 解析：由题意，得y＝(x≠0)，则y′＝－，则曲线上任意点处的切线方程为y－＝－ (x－x0)，与两坐标轴的交点分别为(2x0，0)，，所以该切线与两坐标轴构成的三角形的面积为·|2x0|·||＝8.
12. (1，e) 解析：设切点为(x0，y0)，则切线方程为 y＝ex0x.又y0＝ex0且y0＝ex0x0，解得x0＝1，y0＝e，所以切点的坐标为(1，e)．
13. (1) 因为y′＝，
所以在点P(e，1)处的切线的斜率k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
(2) 因为O(0，0)不在曲线y＝lnx上，所以设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，所以＝，解得x0＝e，
所以切点为Q(e，1)，所以k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
14. 设点P(x0，y0)．
因为y＝，所以y′＝，
所以kl1＝.
又l1⊥l2，所以kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．
因为点P在曲线y＝上，所以y0＝.
在直线l2的方程中，当y＝0时，x＝＋x0，
即xQ＝＋x0.
因为PK⊥x轴，所以xK＝xP＝x0，
所以KQ＝|x0－－x0|＝，
故线段KQ的长为.
一、 单项选择题
1. 函数y＝－在点处的切线方程是( )
A. y＝4x B. y＝4x－4 C. y＝4x＋4 D. y＝2x－4
2. (2022·牡丹江第三高级中学期末)已知函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. (2021·江西科技学院附属中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f(e)等于( )
A. － B. －1 C. 1 D. e
4. (2021·重庆第二外国语学校月考)若函数f(x)＝cosx，则f′＋f的值为( )
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
5. 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( )
A. (－2，－8)
B. (2，8)
C. (－2，8)
D. (－2，－8)或(2，8)
6. 已知直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A. 2 B. ln2＋1 C. ln2－1 D. ln2
二、 多项选择题
7. (2021·重庆綦江中学月考)下列结论中，正确的为( )
A. 若y＝ln2，则y′＝
B. 若f(x)＝，则f′(3)＝－
C. 若y＝2x，则y′＝2xln2
D. 若y＝log5x，则y′＝
8. 已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )
A. f(x)＝x2 B. f(x)＝2x＋1 C. f(x)＝lnx D. f(x)＝
三、 填空题
9. 已知f(x)＝lnx且f′(x0)＝，则x0＝________．
10. 已知f(x)＝2x，则f′＝________．
11. 过曲线xy＝4上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是________．
12. 过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为__________．
四、 解答题
13. (1) 已知曲线y＝lnx，P(e，1)是曲线上的一点，求曲线在点P处的切线方程；
(2) 求曲线y＝lnx过点O(0，0)的切线方程．
14. 设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若直线l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，求线段KQ的长．
参考答案与解析
1. B 解析： 因为y′＝x－2，所以切线的斜率k＝＝4，所以切线方程为y＋2＝4，即y＝4x－4.
2. A 解析：由题意，得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
3. B 解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx得f′(x)＝2f′(e)＋，当x＝e时，f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，所以f(x)＝＋lnx，f(e)＝＋lne＝－1.
4. A 解析：因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，所以f′＋f＝－sin＋cos＝－＋＝0.
5. A 解析：因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A(2，8)或(－2，－8)．又因为点(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，符合题意，故点A的坐标为(－2，－8)．
6. C 解析：因为y＝lnx的导数为y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点坐标为(2，ln2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.
7. BCD 解析：常函数的导函数为0，故A错误；根据幂函数的求导规则，f′(x)＝－，所以f′(3)＝－，故B正确；C，D显然正确．故选BCD.
8. ABCD 解析：对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，解得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝2x＋1，则f′(x)＝2，则2x＋1＝2，解得x＝，故B符合要求；对于C，若f(x)＝lnx，则f′(x)＝，则lnx＝.由两函数图象可知该方程存在实数解，故C符合要求；对于D，若f(x)＝，则f′(x)＝－，则＝－，解得x＝－1，故D符合要求．故选ABCD.
9. 1 解析：由题意，得f′(x)＝，所以f′(x0)＝＝，所以x0＝1.
10. eln 2 解析：因为f′(x)＝2xln 2，所以f′＝f′(log2e)＝2log2e·ln 2＝eln 2.
11. 8 解析：由题意，得y＝(x≠0)，则y′＝－，则曲线上任意点处的切线方程为y－＝－ (x－x0)，与两坐标轴的交点分别为(2x0，0)，，所以该切线与两坐标轴构成的三角形的面积为·|2x0|·||＝8.
12. (1，e) 解析：设切点为(x0，y0)，则切线方程为 y＝ex0x.又y0＝ex0且y0＝ex0x0，解得x0＝1，y0＝e，所以切点的坐标为(1，e)．
13. (1) 因为y′＝，
所以在点P(e，1)处的切线的斜率k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
(2) 因为O(0，0)不在曲线y＝lnx上，所以设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，所以＝，解得x0＝e，
所以切点为Q(e，1)，所以k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
14. 设点P(x0，y0)．
因为y＝，所以y′＝，
所以kl1＝.
又l1⊥l2，所以kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．
因为点P在曲线y＝上，所以y0＝.
在直线l2的方程中，当y＝0时，x＝＋x0，
即xQ＝＋x0.
因为PK⊥x轴，所以xK＝xP＝x0，
所以KQ＝|x0－－x0|＝，
故线段KQ的长为.