人教版（2019）必修第一册3.3幂函数同步练习（含解析）

人教版（2019）必修第一册同步练习
3.3 幂 函 数
一、单选题
1．函数的单调递减区间是 （ ）
A． B．
C．和 D．
2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象经过点，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．
5．已知幂函数的图象过点，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
8．下列函数为幂函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的值域为
B．是单调函数
C．是偶函数
D．的图像与直线有两个交点
10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．若幂函数为偶函数，则 ________ .
12．已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______
13．若函数是幂函数，满足，则_________．
14．若对任意的，均有，则的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知函数是幂函数，求的值．
16．已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
17．已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数a的值；
(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明
18．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式：
(2)若函数，的最小值为，求的最大值；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，说明理由．
参考答案：
1．
函数的图象如图：所以
的减区间是，不是.
函数在上是减函数，在上也是减函数，
但不能说函数在上是减函数．
因为当时有，不满足减函数的定义．
故选:C
2．
根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
3．
由题意，幂函数的图象经过点，
则 ，
故选：D
4．
因为是幂函数，
故，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以需要，
则
故选：A
5．
由题意可设：，
过点，，解得：，，
.
故选：A.
6．
设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故选：A.
7．
因为的值域为R，所以，
又因为为奇函数，所以.
故选：AC
8．
由幂函数的定义知，函数，为幂函数.
故选：BD.
9．
当时，单调递减，且，
当时，单调递增，且，
所以的值域为，A选项错误；
在上单调递减，在上单调递增，B选项错误；
当时，，，所以函数
不是偶函数，C选项错误；
又函数与直线在和上分别有一个交点，共有两个交点正确，D选项正确；
故选：ABC.
10．
根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，
对于A.，函数不为奇函数，故不为“理想函数”；
对于B.为定义域上的单调递减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；
对于C.为定义域上的单调递增函数，故不为“理想函数”；
对于D.的图像如下：
由图像可得该函数为定义域上的单调减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；
故选：BD.
11．
∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为：.
12．
若函数在上递减，则.
当时，函数为偶函数，合乎题意；
当时，函数为奇函数，不合乎题意.
综上所述，.
故答案为：.
13．
解：函数是幂函数，设，
又，所以，即，所以，得
所以，则.
故答案为：.
14．
构造函数，根据幂函数的性质得到该函数为增函数，
故等价于对任意的恒成立，即，
只需，解得：.
故答案为：.
15．
因为是幂函数，
所以，解得，
所以．
16．(1)
因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
(2)
由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
17．(1)
由条件可知，所以，即，
，
因为是奇函数，所以，即，
满足是奇函数，所以成立；
(2)
由（1）可知，
在区间上任意取值，且，
，
因为，所以，，
所以，
即，
所以函数在区间上单调递增.
18. (1)
因为是幂函数，
所以，即，解得或.
当时，，在为减函数，不满足.
当时，，在为增函数，满足.
所以；
(2)
，
令，因为，所以，
则令，，开口向上，对称轴为.
①当，即时，函数在为增函数，
；
②当，即时，；
当，即时，函数在为减函数，；
所以
当时，在递增，则；
当时，，则；
当时，在递减，则；
综上可知：
所以，且；
(3)
，易见在定义域范围内为减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
②①得：，
所以，而，
则③.
将③代入②得：.
令，由，知，得，即.
所以，在区间单调递减，
所以，
故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围为.