分式方程竞赛试题[上学期]

分式方程竞赛试题
命题：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）
电话：0755-21017520 13699770520 13008808214
一、选择题（每题5分,共30分）
1．若的值为,则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：根据题意, .可得.
所以
所以.
故选（C）
2．已知,则的值为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
解:由得.从而
所以
故选（B）
3．若对于以外的一切数均成立,则的值是（ ）
（A）8 （B） （C）16 （D）
解: .
左边通分并整理,得
.
因为对以外的一切数上式均成立,比较两边分子多项式的系数,得
解得
所以.
故选（D）
4.有三个连续正整数,其倒数之和是,那么这三个数中最小的是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：设这三个连续的正整数分别为.则有
.
根据题意,得解得
因是正整数,所以或.
经检验适合原方程.
故选（B）
5．若满足,则的值为（ ）
（A）1或0 （B） 或0 （C）1或（D）1或
解：设 ,则.
上述四式相乘,得.从而.
当时,, ;
当时, ..
故选（D）
6．设轮船在静水中的速度为,该船在流水(速度为)中从上游A驶往下游B,再返回A，所用的时间为T,假设,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为,则（ ）
（A） （B） （C） （D）不能确定T与的大小关系
解:设相距为,则
所以,即
故选（C）
二、填空题（每题5分,共30分）
7.已知:满足方程,则代数式的值是_____.
解:由,得.
所以.所以.
经检验满足原方程.
故.
8. 已知:,则的值为_____.
解: 由,得.
所以.
所以
9.方程的正整数解是_____.
解:由,得.
因为是正整数,故必有,因而
.
又因为也是正整数,故又必有.
经检验是原方程的根.
因此,原方程的正整数解是.
10. 若关于的方程的解为正数,则的取值范围是_____.
解:由方程,得,从而
又由题意,得所以
故的取值范围是且.
11. 若,则_____.
解:由,得.
所以.
12.设是两个不同的正整数,且,则
解:由条件得.
显然,故可设
则.去分母并整理,得.
因为是两个不同的正整数,所以.
所以或.
所以
三、解答题（每题10分,共40分）
13． 已知与的和等于，求之值.
解：根据题意，有
+=.
去分母,得
.
去括号,整理得
.
比较两边多项式系数,得
.
解得.
14．解方程:
.
解:因为方程的左边
故原方程可变为.
所以.
解得.
经检验是原方程的根.
15． 为何值时，分式方程无解？
解：方程的两边同乘以，去分母，得
整理，得。
即.
把代入最简公分母,使其值为零,说明整式方程的根是增根.
当 时,;
当 时,.
于是当或时原分式方程无解.
16． 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
(1)扶梯在外面的部分有多少级.
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶
解: (1)设女孩速度为级/分,电梯速度为级/分,楼梯(扶梯)为级,则男孩速度为级/分,依题意有
①
把方程组①中的两式相除,得,解得.
因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯次,走过楼梯次,则这时女孩走过扶梯次,走过楼梯次.
将 代入方程组①,得,即男孩乘扶梯上楼的速度为级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为级/分.于是有
从而,即.
无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,中必有一个为正整数，且，经试验知只有符合要求.
这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：(级).