沪科版八年级数学上册第13章三角形的边角关系、命题与证明 单元测试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册第13章三角形的边角关系、命题与证明 单元测试卷(含答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 743.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-25 08:15:34 | ||
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文档简介
沪科版八年级数学上册单元测试卷
第13章三角形的边角关系、命题与证明
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）
A．5，6，11 B．3，4，8 C．3，10，7 D．4，5，6
2．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为 （ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
3．要使如图所示的五边形木架不变形，则至少需要订上木条的根数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，，D是边上的一点，若的周长比的周长大2，则是 （ ）
A．的高 B．的角平分线
C．的中线 D．都有可能
5．如图，在中，是的平分线，是的外角的平分线，与相交于点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，分别是三边延长线上的点，，则的度数为（ ）
A．73° B．63° C．83° D．93°
7．如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE、AD 相交于点 F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD 的 度数为 （ ）
A．24° B．34° C．66° D．76°
8．下列命题中，真命题的个数有 （ ）
①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； ②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，三条直线两两相交，有两个或三个交点；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；⑥如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
9．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：___________________________．
10．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________．
11．如图，在中，D、E、F分别为、、的中点，，则的面积为__________cm2．
12．如果将长度为7、和15的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是______．
13．如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE＝4EC，点D是BC的中点，且，则_____．
14．如图，是的平分线，是的平分线，且与相交于点若，，则的度数为______．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=____时，△APE的面积等于8．
16．如图，在直角三角形ABC中，，点D在AB上，点G在BC上，与关于直线DG对称，DF与BC交于点E，如果，那么与的数量关系是______．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，求∠C的度数．
18．如图，点为直线上一点，，平分，求证：ABCD．
19．在中，，；
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为11，求的周长．
20．如图，请你仅用无刻度直尺作图．
(1)在图①中，画出三角形边上的高．
(2)在图2中，过B点画直线
21．如图，，是的两条高，，求的长．
22．如图，中，三个内角的角平分线交于点O，垂足为H．
(1)求的度数；
(2)求证：．
23．如图，直线分别与直线、交于、两点，平分，平分，且AB//CD．
(1)求证：EM//FN，
(2)以命题的句式概括本题．
24．已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．
(1)如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．
25．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)在中，若，，试判断是否是“准直角三角形”，并说明理由；
(2)如果是“准直角三角形”，那么是______；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）
(3)如图，在中，，，BD平分交AC于点D．
①若交AB于点E，在①，②，③，④中“准直角三角形”是 （填写序号），并说明理由；
②在直线AB上取一点F，当是“准直角三角形”时，求出的度数．
参考答案：
1．
解：A．，不能组成三角形，不符合题意；
B．，不能组成三角形，不符合题意．
C．3+7=10,不能组成三角形，不符合题意；
D．4+5＞6，能组成三角形，符合题意；
故选：D．
2．
解：根据三角板的度数知，∠ABC=∠ACB=45°，∠DBC=30°，
∴∠1=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°，
故选：C．
3．
解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有条，如图所示：
∴至少需要钉上2根木条，故B正确．
故选：B．
4．
解：∵的周长比的周长大2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中线，
故选C．
5．
解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM=∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM=∠ACM，
则∠BEC=∠A=30°，
故选B．
6．
解：，，，
，
，
，
故选：A．
7．
解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝42°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠ABD＝24°，
∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，
故选：C．
8．
解：①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题；
②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂段线的长度，故②是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
④在同一平面内，三条直线两两相交，有一个或三个交点，故④是假命题；
⑤在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则ac，故⑤是假命题；
⑥如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故⑥是假命题，
真命题是①，有1个，
故选：A．
9．
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论是：同位角相等，
∴逆命题为：同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
10．
解：把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是对顶角，那么这两个角相等
11．
解：∵D分别为的中点，
∴，
∵E分别为的中点，
∴，
∵F分别为的中点，
∴．
故答案为：1．
12．
解：根据三角形的三边的关系可得，
、，
解得，，
∴，
故答案为：．
13．
解：∵AE＝4EC，
∴CE＝AC，
∴，
即①，
∵点D是BC的中点，
∴，
即②，
∴②﹣①得．
故答案为：4.5．
14．
解：是的平分线，是的平分线，
，，
，，，
，
，
，
，得，
，
，
故答案为：．
15．
解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝AP CE＝×2t×4= 4t＝8，
解得：t＝2；
当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10-2t，
∴S△APE＝PE AC＝×(10-2t）×6＝8，
解得：t＝．
故答案为∶ 2或．
16．
解：的数量关系是：．
∵，，
∴，
∴．
由翻折可得：，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
18．
证明：平分，
，
，
，
∴．
19．
(1)
由题意得，BC－AB＜AC＜BC+AB
所以7＜AC＜9
∵AC是整数，
∴AC=8
(2)
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD
∵△ABD的周长为11，
∴AB+AD+BD=11，
∵AB=1，
∴AD+BD=10
∴△BCD的周长=BC+AD+CD=8+10=18
20．
（1）
解：如图①中，线段CD即为所求；
（2）
解：如图②中，直线BE即为所求．
．
21．
解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴，
即，
解得：AD=3cm．
22．
（1）
解：∵AD，BE，CF 分别是的三个内角的角平分线，
∴，，，
∵，
∴．
（2）
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
23． （1）
证明：∵ABCD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，
∴∠MEF＝∠BEF，∠EFN＝∠CFE，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴EMFN；
（2）
解：以命题的句式概括为：两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行．
24． （1）
解：∵∠ABC=2∠C，AE⊥BD，∠C=35°
∴∠ABC=70°，∠BAE=90°-2∠C=20°
∴∠BAC=180°-70°-35°=75°
∵AD是角平分线，
∴∠BAD==37.5°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=37.5°-20°=17.5°
（2）
证明：∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵PF⊥AD
∴∠P+∠ADB=90°
∵∠ADB=∠DAC+∠ACB，∠BAD=
∴∠P=90°-(∠DAC+∠ACB)=90°-=
25．
（1）
解∶是否是“准直角三角形”，，理由如下
∵，，
∴ ，
∴，
∴△ABC是“准直角三角形”；
（2）
解：∵△ABC是“准直角三角形“，
∴可设 ，
∴ ，
∴，
∴△ABC为钝角三角形，
故答案为；③；
（3）
解：①∵，，∠A+∠C+∠ABC=，
∴∠ABC=，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴ ，
∴△ABD是“准直角三角形”，
∵，
∴，，
∵，
∴△ADE不满足“准直角三角形”条件，
∵，，
∴，
∴，
∴△BDE不满足“准直角三角形”条件，
∵，，
∴，
∴△BDC不满足“准直角三角形”条件，
故答案为：④；
②由（2）得△BFD为钝角三角形，
当∠FDB为钝角时，点F在射线BA上，
∵△BFD为“准直角三角形”，
∴，或，
∵，
∴或，
当∠BFD为钝角时，点F在射线AB上，
∵△BFD为“准直角三角形”，
∴，或，
∵，
∴或，
∴或，
当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上，
∵，
∴，
∴或，
∴∠DBF为钝角时，△BFD不为“准直角三角形”，
综上，的度数为或者或者或者．
第13章三角形的边角关系、命题与证明
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）
A．5，6，11 B．3，4，8 C．3，10，7 D．4，5，6
2．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为 （ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
3．要使如图所示的五边形木架不变形，则至少需要订上木条的根数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，，D是边上的一点，若的周长比的周长大2，则是 （ ）
A．的高 B．的角平分线
C．的中线 D．都有可能
5．如图，在中，是的平分线，是的外角的平分线，与相交于点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，分别是三边延长线上的点，，则的度数为（ ）
A．73° B．63° C．83° D．93°
7．如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE、AD 相交于点 F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD 的 度数为 （ ）
A．24° B．34° C．66° D．76°
8．下列命题中，真命题的个数有 （ ）
①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； ②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，三条直线两两相交，有两个或三个交点；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；⑥如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
9．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：___________________________．
10．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________．
11．如图，在中，D、E、F分别为、、的中点，，则的面积为__________cm2．
12．如果将长度为7、和15的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是______．
13．如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE＝4EC，点D是BC的中点，且，则_____．
14．如图，是的平分线，是的平分线，且与相交于点若，，则的度数为______．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=____时，△APE的面积等于8．
16．如图，在直角三角形ABC中，，点D在AB上，点G在BC上，与关于直线DG对称，DF与BC交于点E，如果，那么与的数量关系是______．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，求∠C的度数．
18．如图，点为直线上一点，，平分，求证：ABCD．
19．在中，，；
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为11，求的周长．
20．如图，请你仅用无刻度直尺作图．
(1)在图①中，画出三角形边上的高．
(2)在图2中，过B点画直线
21．如图，，是的两条高，，求的长．
22．如图，中，三个内角的角平分线交于点O，垂足为H．
(1)求的度数；
(2)求证：．
23．如图，直线分别与直线、交于、两点，平分，平分，且AB//CD．
(1)求证：EM//FN，
(2)以命题的句式概括本题．
24．已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．
(1)如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．
25．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)在中，若，，试判断是否是“准直角三角形”，并说明理由；
(2)如果是“准直角三角形”，那么是______；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）
(3)如图，在中，，，BD平分交AC于点D．
①若交AB于点E，在①，②，③，④中“准直角三角形”是 （填写序号），并说明理由；
②在直线AB上取一点F，当是“准直角三角形”时，求出的度数．
参考答案：
1．
解：A．，不能组成三角形，不符合题意；
B．，不能组成三角形，不符合题意．
C．3+7=10,不能组成三角形，不符合题意；
D．4+5＞6，能组成三角形，符合题意；
故选：D．
2．
解：根据三角板的度数知，∠ABC=∠ACB=45°，∠DBC=30°，
∴∠1=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°，
故选：C．
3．
解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有条，如图所示：
∴至少需要钉上2根木条，故B正确．
故选：B．
4．
解：∵的周长比的周长大2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中线，
故选C．
5．
解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM=∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM=∠ACM，
则∠BEC=∠A=30°，
故选B．
6．
解：，，，
，
，
，
故选：A．
7．
解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝42°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠ABD＝24°，
∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，
故选：C．
8．
解：①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题；
②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂段线的长度，故②是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
④在同一平面内，三条直线两两相交，有一个或三个交点，故④是假命题；
⑤在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则ac，故⑤是假命题；
⑥如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故⑥是假命题，
真命题是①，有1个，
故选：A．
9．
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论是：同位角相等，
∴逆命题为：同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
10．
解：把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是对顶角，那么这两个角相等
11．
解：∵D分别为的中点，
∴，
∵E分别为的中点，
∴，
∵F分别为的中点，
∴．
故答案为：1．
12．
解：根据三角形的三边的关系可得，
、，
解得，，
∴，
故答案为：．
13．
解：∵AE＝4EC，
∴CE＝AC，
∴，
即①，
∵点D是BC的中点，
∴，
即②，
∴②﹣①得．
故答案为：4.5．
14．
解：是的平分线，是的平分线，
，，
，，，
，
，
，
，得，
，
，
故答案为：．
15．
解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝AP CE＝×2t×4= 4t＝8，
解得：t＝2；
当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10-2t，
∴S△APE＝PE AC＝×(10-2t）×6＝8，
解得：t＝．
故答案为∶ 2或．
16．
解：的数量关系是：．
∵，，
∴，
∴．
由翻折可得：，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
18．
证明：平分，
，
，
，
∴．
19．
(1)
由题意得，BC－AB＜AC＜BC+AB
所以7＜AC＜9
∵AC是整数，
∴AC=8
(2)
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD
∵△ABD的周长为11，
∴AB+AD+BD=11，
∵AB=1，
∴AD+BD=10
∴△BCD的周长=BC+AD+CD=8+10=18
20．
（1）
解：如图①中，线段CD即为所求；
（2）
解：如图②中，直线BE即为所求．
．
21．
解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴，
即，
解得：AD=3cm．
22．
（1）
解：∵AD，BE，CF 分别是的三个内角的角平分线，
∴，，，
∵，
∴．
（2）
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
23． （1）
证明：∵ABCD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，
∴∠MEF＝∠BEF，∠EFN＝∠CFE，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴EMFN；
（2）
解：以命题的句式概括为：两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行．
24． （1）
解：∵∠ABC=2∠C，AE⊥BD，∠C=35°
∴∠ABC=70°，∠BAE=90°-2∠C=20°
∴∠BAC=180°-70°-35°=75°
∵AD是角平分线，
∴∠BAD==37.5°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=37.5°-20°=17.5°
（2）
证明：∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵PF⊥AD
∴∠P+∠ADB=90°
∵∠ADB=∠DAC+∠ACB，∠BAD=
∴∠P=90°-(∠DAC+∠ACB)=90°-=
25．
（1）
解∶是否是“准直角三角形”，，理由如下
∵，，
∴ ，
∴，
∴△ABC是“准直角三角形”；
（2）
解：∵△ABC是“准直角三角形“，
∴可设 ，
∴ ，
∴，
∴△ABC为钝角三角形，
故答案为；③；
（3）
解：①∵，，∠A+∠C+∠ABC=，
∴∠ABC=，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴ ，
∴△ABD是“准直角三角形”，
∵，
∴，，
∵，
∴△ADE不满足“准直角三角形”条件，
∵，，
∴，
∴，
∴△BDE不满足“准直角三角形”条件，
∵，，
∴，
∴△BDC不满足“准直角三角形”条件，
故答案为：④；
②由（2）得△BFD为钝角三角形，
当∠FDB为钝角时，点F在射线BA上，
∵△BFD为“准直角三角形”，
∴，或，
∵，
∴或，
当∠BFD为钝角时，点F在射线AB上，
∵△BFD为“准直角三角形”，
∴，或，
∵，
∴或，
∴或，
当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上，
∵，
∴，
∴或，
∴∠DBF为钝角时，△BFD不为“准直角三角形”，
综上，的度数为或者或者或者．