1．(2012·高考湖南卷)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：选C.由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.
2．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.①错，当m＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a，并不一定大于或等于0；③正确；④错，?是任何非空集合的真子集．
3．(2011·高考陕西卷)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：选D.命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，所以选D.
4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：选B.原命题的条件是：f(x)是奇函数，结论是：f(－x)是奇函数，同时否定条件与结论，即得否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．
5．(2013·咸阳调研)已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．
6．(2013·南昌质检)命题“若c＞0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题是________．
解析：原命题的条件c＞0的否定为c≤0，结论函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点的否定为“函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0.
答案：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0
7．下列四个命题中的真命题是________．(填序号)
①若sin A＝sin B，则A＝B；
②若lg x2＝0，则x＝1；
③若a＞b且ab＞0，则＜；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
解析：①错，当A＝30°，B＝150°时，也符合sin A＝sin B；②错，还有x＝－1；③正确；④错，如b＝0，a＝0.
答案：③
8．(2013·阜阳检测)在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数为________．
解析：通过举反例知原命题为假命题，则其逆否命题为假命题；逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，显然为假命题，则否命题也为假命题．
答案：3
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；
(2)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2＜0.
解：(1)
名称
命 题
真假
逆命题
若实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列
假
否命题
若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
假
逆否命题
若实数a，b，c，且b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
真
(2)
名称
命 题
真假
逆命题
若loga2＜0，则函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数
真
否命题
若函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，则loga2≥0
真
逆否命题
若loga2≥0，则函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数
真
10.已知命题P：lg(x2－2x－2)≥0；命题Q：1－x＋＜1，若命题P是真命题，命题Q是假命题，求实数x的取值范围．
解：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋＜1，得x2－4x＜0，解得0
因为命题P为真命题，命题Q为假命题，
所以，解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
1．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影也可能是一条直线或两个点；②正确；③当平面α与平面β不垂直时，则直线n与平面β不垂直；④不一定，若三点A、B、C分别在平面β两侧，则得不到α∥β.
2．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)
解析：该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用知识．
可能的情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；
原点，－3－log2(－x)；
直线y＝x,2x－3等．
答案不唯一．
答案：y轴 3＋log2(－x)(答案不唯一)
3．(2013·石河子质检)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α；
(2)设a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1)逆命题：若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线．
否命题：若直线l不垂直于平面α内的无数条直线，则直线l不垂直于平面α.
逆否命题：若直线l不垂直于平面α，则直线l不垂直于平面α内的无数条直线．
(2)逆命题：设a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，
则a＝b，c＝d.
否命题：设a，b，c，d是实数，若a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：设a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b，c≠d.
4．求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明：该命题的逆否命题为：
若p＋q＞2，
则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，
∴p2＋q2＞2.
即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．
∴若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
1．(2013·焦作质检)“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当x＝时，函数y＝sin 2x＝sin＝1取得最大值；反过来，当函数y＝sin 2x取得最大值时，不能推出x＝，如x＝时，函数y＝sin 2x也可取得最大值．综上所述，“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的充分不必要条件，故选A.
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：选A.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，所以－＝1，即m＝－2.
3．(2011·高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A.由(a－1)(a－2)＝0，得a＝1或a＝2，所以a＝2?(a－1)(a－2)＝0.而由(a－1)(a－2)＝0不一定推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
4．(2013·蚌埠质检)设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
解析：选D.A、B、C都推不出m⊥β，而D中有α∥β，m⊥α，∴m⊥β.
5．(2013·商洛调研)设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cos θ，当|a||b|cos θ＝±|a||b|，∴cos θ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝±|a||b|.
6．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．
解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2Rsin A＝2Rsin B，即a＝b；反之也成立．
答案：充要
7．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)
答案：两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等；底面是平行四边形
8．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种填空：
(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________；
(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；
(3)“M＞N”是“log2M＞log2N”的________；
(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________．
答案：(1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件
9．(2013·淮北检测)已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.②
求使方程①②的根都是整数的充要条件．
解：方程①有实数根?Δ＝16－16m≥0，得m≤1；
方程②有实数根?Δ＝16m＋20≥0，得m≥－；
所以－≤m≤1.又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
经检验只有m＝1时，①②的根都是整数．
所以方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.
10．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．
解：p：x＝2或x＝－3；q：x＝－(m≠0)．
当－＝2时，m＝－；
当－＝－3时，m＝.
∴m＝－或m＝.
1．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.α＝＋2kπ(k∈Z)?2α＝＋4kπ(k∈Z)?cos 2α＝cos＝，但cos 2α＝?2α＝2kπ±(k∈Z)?α＝±＋kπ(k∈Z) α＝＋2kπ(k∈Z)．故选A.
2．(2013·宝鸡质检)若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析：p：x(x－3)＜0，则0＜x＜3；q：2x－3＜m，则x＜.在数轴上表示出这两个解集如图所示，
由题意知p?q，q p，则≥3，解得m≥3.故m的取值范围是[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
3．求证：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数的充要条件是：
b＝0.
证明：充分性：若b＝0，则f(x)＝ax2＋c，
∴f(－x)＝ax2＋c，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数．
必要性：若f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则对任意x，都有f(－x)＝f(x)．
∴ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，
∴bx＝0，∴b＝0.
∴b＝0是f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件．
4．(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？
解：(1)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则只要{x|x＜－}?{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．
(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要{x|x＜－}?{x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．
1．(2013·上饶质检)下列命题是特称命题的是( )
①有一个实数a，a不能取对数；
②所有不等式的解集A，都有A?R；
③有些向量方向不定；
④矩形都是平行四边形．
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：选A.找出命题中含有的量词，根据量词的特征即可判断．①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有全称量词“都是”．故①③是特称命题．
2．(2013·南阳质检)已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则p的否定为( )
A．存在x∈R，sin x≥1 B．任意x∈R，sin x≥1
C．存在x∈R，sin x＞1 D．任意x∈R，sin x＞1
解析：选C.由全称命题的否定，将“任意”改为“存在”，“sin x≤1”改为“sin x＞1”，可知选C.
3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，使f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，使f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，使f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，使f(x)≥f(x0)
解析：选C.由x0＝－(a＞0)及抛物线的相关性质可得C选项是错误的．
4．下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．
5．命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R,2x＞0
B．存在x∈R,2x≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
解析：选D.命题中含有存在量词“存在”，因此是特称命题，其否定为全称命题．“存在”否定为“对任意的”，“≤”的否定为“＞”，则此命题的否定为：对任意的x∈R,2x＞0.
6．(2013·咸阳检测)命题“任意常数列都是等比数列”的否定是________．
解析：该命题是全称命题，而全称命题的否定是特称命题．
答案：存在一个常数列不是等比数列
7．(2013·西安调研)若命题“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，不等式x2＋(1－a)x＋1＜0有实数解，则Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.
答案：(3，＋∞)∪(－∞，－1)
8．(2013·阜阳检测)命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋≥>0，所以只需m2－m≤0，即0≤m≤1.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
答案：真
9．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)所有正方形都是矩形；
(2)至少有一个实数x使x3＋1＝0；
(3)存在θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)为偶函数；
(4)任意x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≥0.
解：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．
(2)命题的否定：不存在实数x，使x3＋1＝0，假命题．
(3)命题的否定：任意θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．
(4)命题的否定：存在x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＜0，假命题．
10．不等式x2－2mx－1＞0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
解：法一：∵Δ＝4m2＋4＞0恒成立，
∴设其两根为x1，x2，且x1＜x2 .
∵{x|1≤x≤3}?{x|x2－2mx－1＞0}＝{x|x＞x2或x＜x1}，
∴方程x2－2mx－1＝0的两根x1，x2都大于3或都小于1.
∵x1x2＝－1＜0，∴两根都小于1.
令y＝x2－2mx－1，则解得m＜0.
∴m的取值范围为{m|m＜0}．
法二：∵1≤x≤3，x2－2mx－1＞0，
∴m＜＝.
当x∈[1,3]时，函数y＝x－单调递增，
∴∈，∴m＜0.
故m的取值范围是{m|m<0}．
1．下列命题中的假命题是( )
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β
解析：选B.cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，显然选项C，D为真；sin α·sin β＝0时，选项A为真；选项B为假．故选B.
2．设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的均值为C.下面有五个函数：①y＝4sin x；②y＝x3；③y＝lg x；④y＝2x；⑤y＝2x－1，则满足在其定义域上的均值为2的所有函数的序号是________．
解析：①为周期函数，唯一性被破坏，淘汰①.对于④，若＝2?2x1＋2x2＝4，当x1＞2时，不存在符合要求的x2，不合题意，淘汰④.对于②，因为x＋x＝4，所以x＝4－x，所以x2＝，符合唯一性，且x2∈D.对于③，因为lg x1＋lg x2＝4，所以x1x2＝104.因为x1∈(0，＋∞)，所以x2＝，符合要求．对于⑤，因为2x1－1＋2x2－1＝4，所以x1＋x2＝3，所以x2＝3－x1，符合要求．故填②③⑤.
答案：②③⑤
3．已知特称命题“存在c＞0，使y＝cx在R上为减函数”为真命题，同时全称命题“任意x∈R，x＋|x－2c|＞1”为真命题，求c的取值范围．
解：命题“存在c＞0，使y＝cx在R上为减函数”是真命题，所以0＜c＜1.
因为x＋|x－2c|＝
由全称命题“任意x∈R，x＋|x－2c|＞1”是真命题，
所以任意x∈R，x＋|x－2c|的最小值为2c.
所以2c＞1.所以c＞.
综上所述，c的取值范围为(，1)．
4．若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
解：由题意对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立．
对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，
解得实数a的取值范围是[－3,1]．
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0 D．x，y不都是0
答案：A
2．(2011·高考北京卷)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．﹁p是真命题 D．﹁q是真命题
解析：选D.由于p是真命题，q是假命题，所以﹁p是假命题，﹁q是真命题，p且q是假命题，p或q是真命题．
3．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
解析：选B.“p或q”的否定是真命题，故“p或q”为假命题，所以p假q假．
4．(2013·宿州检测)已知命题p：＞0；命题q：lg(＋)有意义，则﹁p是﹁q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由p，得x＞－1，由q，得－1＜x≤1，则q是p的充分不必要条件，故﹁p是﹁q的充分不必要条件．
5．已知全集U＝R，A?U，B?U，若命题p：a∈A∪B，则命题“非p”是( )
A．a∈A B．a∈?UB
C．a?A∩B D．a∈(?UA)∩(?UB)
解析：选D.因为(?UA)∩(?UB)正好是A∪B的补集，所以a?A∪B?a∈(?UA)∩(?UB)．
6．若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题(“真”或“假”)．
解析：∵﹁p真，∴p假，
又p或q真，∴q真．
答案：真
7．(2013·新余调研)若“x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的范围是________．
解析：∵原命题为假命题，
∴∴1≤x＜2.故x的取值范围是[1,2)．
答案：[1,2)
8．(2013·铜川调研)已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k＜0，则函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．则下列结论中错误的是________．
①命题“p且q”为真；②命题“p或﹁q”为假；③命题“p或q”为假；④命题“﹁p且﹁q”为假．
解析：由3－x＞0，得x＜3，所以命题p为真，命题﹁p为假．
又由k＜0，易知函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以命题q为真，命题﹁q为假．
综上可知命题“p且q”为真，命题“p或﹁q”为真，命题“p或q”为真，命题“﹁p且﹁q”为假．
答案：②③
9．(2013·蚌埠质检)已知命题p：关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0解集为R.如果﹁p是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵﹁p为真命题，∴p为假命题．
当p是真命题时，即关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0解集为R时，
应有，即，解得a≥.
∴当p为假命题时，a＜.
即所求a的取值范围是.
10．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．
解：对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解这个不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p且q为假命题，p或q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时，有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
1．(2013·焦作调研)下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限内是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：对于任意的x∈{1，－1,0}，都有2x＋1＞0
解析：选C.若要满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假、‘非p’为真”，则p为假命题，q为真命题．A中p为假命题，q为假命题；B中p为真命题，q为假命题；C中p为假命题，q为真命题；D中p为真命题，q为假命题．
2．(2013·亳州质检)已知命题p，q，“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的________条件．
解析：∵﹁p为假命题，∴p为真命题，因此p或q为真命题；而p或q为真命题时可能有p假q真，得不到p为真命题，故“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．(2013·榆林质检)已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．
解：p：0＜a＜1，
由Δ＝(2a－3)2－4＞0，得q：a＞或a＜.
因为“p且q”为假，“﹁q”为假，所以p假q真，
即∴a＞.
故a的取值范围是.
4．是否存在同时满足下列三个条件的命题p和命题q？若存在，试构造出这样的一组命题；若不存在，请说明理由．
①“p或q”为真命题；②“p且q”为假命题；③“非p”为假命题．
解：由①知，命题p，q中至少有一个为真命题，由②知，命题p，q中至少有一个为假命题，从而，命题p，q中一个为真命题，一个为假命题．
由③知，p为真命题，因此命题q为假命题．
综上知，满足题设三个条件的命题p，q存在，可举例如下：
p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的两条对角线相等．
1．(2012·高考湖北卷)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：选A.根据充分条件、必要条件的概念判断，当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
2．(2013·延安质检)命题“存在x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是( )
A．存在x∈R，x2－2x＋1≥0
B．存在x∈R，x2－2x＋1＞0
C．对任意x∈R，x2－2x＋1≥0
D．对任意x∈R，x2－2x＋1＜0
解析：选C.因为特称命题p：存在x∈A，p(x)，它的否定是﹁p：对任意x∈A，﹁p(x)，所以命题“存在x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是“对任意x∈R，x2－2x＋1≥0”，故选C.
3．下列命题中是假命题的是( )
A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β
B．对任意x＞0，有lg2x＋lg x＋1＞0
C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
D．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D.对于A，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2x＋lg x＋1＝(lg x＋)2＋≥＞0，因此选项B是真命题；对于C，△ABC中，由A＞B?a＞b?2Rsin A＞2Rsin B?sin A＞sin B(其中R是△ABC的外接圆半径)，反之也成立，因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x是偶函数，因此选项D是假命题．综上所述，选D.
4．(2013·淮北质检)下列命题说法正确的有________．
①命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为：“若a≤b，则ac2≤bc2”；
②“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；
③对于命题p、q，若p且q为假命题，则命题p、q至少有一个为假命题；
④对于命题p：“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则﹁p：“对任意的x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．
解析：①③④显然正确；当c＝0，a＞b时，ac2＞bc2显然不成立；当ac2＞bc2时，a＞b.所以“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，②不正确．
答案：①③④
(时间：100分钟，满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列命题①2013年5月12日是周日且是母亲节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x2＝1的解为x＝1或x＝－1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选B.①中有“且”；②中没有逻辑联结词；③中有“或”．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C.原命题是真命题；逆否命题是真命题，其余命题都是假命题．
3．已知命题p：任意x∈R,2x2＋2x＋＜0；命题q：存在x∈R，sin x－cos x＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．﹁p是假命题 D．﹁q是假命题
解析：选D.2x2＋2x＋＜0?(2x＋1)2＜0，p为假；
sin x－cos x＝sin≤，故q为真．∴﹁q为假，故选D.
4．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
解析：选A.因为原命题的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b＜2”显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
5．全称命题“对任意x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
答案：A
6．若A：a∈R，|a|＜1, B：关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.A.a∈R，|a|＜1，即－1＜a＜1；B.由根与系数的关系知a－2＜0，∴a＜2，∵A?B，B A，∴A是B的充分不必要条件．
7．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D.互为逆否的两个命题同真假，且一个命题的逆命题与否命题互为逆否，故D正确；互否的两个命题的真假无必然联系，一个命题的逆命题与逆否命题互否，故A不正确；“a＞b”与“a＋c＞b＋c”同真假，即“等价”，故B不正确；关键词“全为”的否定是“不全为”，故C不正确．
8．下列说法中正确的是( )
A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“存在x∈R，x2－x＞0”的否定是“对任意x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
解析：选B.命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，是假命题，故A不正确；命题“p或q”为真命题，则命题“p”和“q”中至少有一个为真命题，故C不正确；x＞2?x＞1，而x＞1 x＞2，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故D不正确．
9．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0且a≠1)的图像不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：选A.由于a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d，却不一定推出a＞b，c＞d.故A中p是q的必要不充分条件，故A正确．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因为x＝1时，有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中p是q的充要条件．
10．下列命题：
①任意x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；③若“a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题；④若命题p：任意x∈R，x2＋1≥1，命题q：存在x∈R，x2－x－1≤0，则命题p且﹁q是真命题．
其中是真命题的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：选A.①中不等式可表示为(x－1)2＋2＞0恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得x＞1；③中由a＞b＞0得＜，而c＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题；④中﹁q：对任意x∈R，x2－x－1＞0，因为f(x)＝x2－x－1，Δ＝5＞0，它的图像与x轴有两个交点，所以﹁q为假命题，则p且﹁q为假命题，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题．请把答案填在题中横线上)
11．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．
解析：“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．
答案：若x≤y，则x2≤y2
12．给出下列两个结论：
①命题“存在x∈R，x2－x＞0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”；
②函数f(x)＝x－sin x(x∈R)有3个零点．
其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：①考查命题的否定，注意特称命题与全称命题的关系，易判断正确；对于②，注意到当x∈，x＞sin x，可以判断函数只有一个零点．
答案：①
13．命题：“存在一个x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵存在一个x∈R,2x2－3ax＋9<0为假命题，则对任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2，即实数α的取值范围为[－2，2]．
答案：[－2，2]
14．设p：＜0，q：0＜x＜m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的值可以是________．(只写出满足条件的一个m值即可)
解析：由＜0，得0＜x＜2，∴p：0＜x＜2，又∵p是q成立的充分不必要条件，∴m＞2，∴m的值可以为大于2的任意一个实数．
答案：3(答案不唯一)
15．已知：①命题“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“所有模相等的向量相等”的否定；
③命题“如果m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“如果A∩B＝A，则A B”的逆否命题．
其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.是真命题．
②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．
如，a＝(1,1)，b＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝，但a≠b.
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”是真命题．因为当m≤1时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m≥0恒成立．故方程有实根．所以其逆否命题也是真命题．
④若A∩B＝A，则A?B，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．
答案：①②③
三、解答题(本大题共5小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．判断下列命题的真假：
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若一个整数的末位是0，则它可以被5整除”及其逆命题和否命题；
(3)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(4)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．
解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题．
(2)原命题为真命题．其逆命题为：如果一个整数可以被5整除，那么它的末位数是0，是假命题，由于逆命题为假命题，所以否命题也是假命题．
(3)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真．
(4)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．
17．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，
方程有两个大于1的实数根?，
解得k＜－2.
所以其充要条件为k＜－2.
18．已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若﹁p是 ﹁q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
解：﹁p：＞2，
解得x＜－2或x＞10，A＝{x|x＜－2或x＞10}．
﹁q：x2－2x＋1－m2＞0，
解得x＜1－m或x＞1＋m，
B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．
∵﹁p是﹁q的必要非充分条件，∴B A，
即?m＞9.
经验证，当m＝9时，也符合题意，∴m≥9.
即实数m的取值范围为[9，＋∞)．
19．p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立?a＝0或?0≤a＜4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤；如果p真且q假，有0≤a＜4且a＞，∴＜a＜4；如果q真且p假，有a＜0或a≥4且a≤，∴a＜0.
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
20．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上是减函数，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围．
解：由于p且q为假命题，p或q为真命题，那么p和q一真一假．
(1)当p真q假时，
那么函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上是减函数，从而可知0＜a＜1.
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴没有两个不同交点，
那么Δ＝(2a－3)2－4≤0，即≤a≤，
此时a的取值范围是.
(2)当p假q真时，
那么函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，
即a＞1.
而曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，
那么Δ＝(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞，
此时a的取值范围是.
综上可知，a的取值范围是∪.
