1．(2013·驻马店检测)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则下列与向量相等的向量表达式是( )
A．－a＋b＋c B．－a－b＋c
C．a－b－c D．－a＋b－c
答案：C
2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则( )
A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0
解析：选B.假设λ，μ中至少一个不为零，不妨设λ≠0，则由λa＋μb＝0，有a＝－b，∴a∥b，与a，b不共线矛盾．
∴μ＝λ＝0.
3．(2013·抚州质检)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＋－＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.∵＝，∴＋－＝＋－＝＋＝.又＝，∴＋－＝.
4．已知，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于( )
A．85 B.
C．5 D．50
解析：选B.＝＋＋，
∴||＝
＝
＝.
5．(2013·南昌检测)在正三棱锥A BCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，设〈E，A〉＝α，〈E，B〉＝β，则α＋β等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图，取BC的中点G，
连接EG，FG，则EG∥AC，FG∥BD.
∴∠GEF＝〈E，A〉＝α，
∠EFG＝〈E，B〉＝β.
∵A BCD为正三棱锥，∴AC⊥BD，
∴EG⊥GF，即∠EGF＝，
∴α＋β＝∠GEF＋∠EFG＝.
6．(2013·宝鸡检测)如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a、b、c表示)．
解析：＝(＋)
＝(－＋－)
＝(b＋c－2a)，
∴＝＋＝a＋(b＋c－2a)
＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
7．(2013·延安调研)已知空间向量s，r不共线，若向量a＝ts＋r，b＝s－t2r，设a与b共线，则实数t的值为________．
解析：a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb，即ts＋r＝λ(s－t2r)，由s，r不共线，得，解得
答案：－1
8．命题：①向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，O＝O＋O＋O，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
上述命题中的真命题是________．
解析：①中a所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；③中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故③是真命题．
答案：③
9．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AD与BC的中点，证明：＝(＋)．
证明：＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)＋＋
＝＋＋(＋)＝＋＋
＝(＋)．
10.
如图所示，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
解：∵M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)．
∴＝2.
∴∥，即与共线．
1．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：选B.·＝0 AB⊥AC.同理可得AC⊥AD，AB⊥AD.设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BC＝，CD＝，BD＝，所以在△BCD中，cos∠BCD＝＞0，故∠BCD为锐角．同理∠CBD，∠BDC亦为锐角，所以△BCD为锐角三角形．
2．(2013·西安调研)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则直线AB1和BM的位置关系是________．
解析：因为＝＋，＝＋＝＋，
设三棱柱的各棱长均为a，
则·＝(＋)·(＋)
＝·＋2＋·＋·
＝0＋a2＋a2cos 120°＋0＝0.
所以⊥.
答案：垂直
3．(创新题)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，试用向量证明B1O⊥平面PAC.
证明：设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b，＝＋＝b＋c，
＝＋＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.
∵·＝(a＋b)·
＝－|a|2＋a·b－a·c－a·b＋|b|2－b·c
＝－|a|2＋0－0－0＋|b|2－0＝0，
∴·＝0，
∴B1O⊥AC.
同理，B1O⊥AP，且AC∩AP＝A，故B1O⊥平面PAC.
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD间的距离．
解：∵∠ACD＝90°，
∴·＝0.同理，·＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2·＝3＋2·1·1·cos〈，〉
＝
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.1．(2013·焦作质检)平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D．以上都不对
解析：选B.∵cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
2．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与BN夹角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(1,0,0)，M(1，，1)，B(1,1,0)，N(1,1，)，则＝(0，，1)，＝(0,0，)，视，分别为直线AM，BN的方向向量，
则cos〈，〉＝＝＝>0.
设直线AM和BN的夹角θ为〈，〉，故cos θ＝.
3．(2013·淮北质检)如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABC-A1B1C1，已知AB＝1，点D在BB1上，且BD＝1，则AD与侧面AA1C1C所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.A点坐标为(，－，0)，D点坐标为(1,0,1)，∴A＝(，，1)．易知平面ACC1A1的法向量n＝C－C＝(1,0,0)－(，－，0)＝(，，0)．
∵cos〈n，A〉＝＝，
∴所求角的余弦值为 ＝.
4．如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D的夹角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，所以＝(2,2,0)，＝(0,0,1)，＝(－2,0,1)．
设平面BB1D1D的一个法向量为a＝(x，y，z)，
由·a＝0，·a＝0，得，
取x＝1，得y＝－1，z＝0，
即平面BB1D1D的一个法向量为a＝(1，－1,0)．
所以所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝
＝＝|－|＝.
5．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.连接BD，设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B(，0,0)，F(0,0，)，
C(0，，0)，D(－，0,0)．
∴＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．
由＝(－，，0)，＝(，0，－)可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
6．(2013·安康质检)如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是BB1，CD的中点，则〈E，〉＝________.
解析：设正方体的棱长为a，则C(0，a,0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，，0)，
于是得E＝(－a，－，－)，＝(a,0，a)．
所以cos〈E，〉＝－，所以〈E，〉＝150°.
答案：150°
7．正方体A1C中，平面AB1C与平面A1B1C夹角的正切值为________．
解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)．
则平面A1B1C的法向量为n1＝(1,0，－1)．
平面AB1C的法向量为n2＝(－1，－1,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴sin〈n1，n2〉＝.
∴tan〈n1，n2〉＝－.
∵平面与平面间夹角的范围是[0，]，
故平面A1B1C与平面AB1C夹角的正切值为.
答案：
8．已知三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝2，D为SA的中点，那么直线BD与直线SC所成角的大小为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，
D(0，0，)，S(0,0,2)．
∴＝(－，－1，)，
＝(0,2，－2)．
∴cos〈，〉＝＝－.
∴BD与SC的所成的角为45°.
答案：45°
9．(2013·九江检测)如图，已知点P在正方体ABCD A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′的夹角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D的夹角的大小．
解：如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD′所在的直线为x、y、z轴，并以DA为单位长建立空间直角坐标系D xyz.
则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知〈，〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝，解得m＝，
所以＝.
(1)因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′的夹角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)．
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D的夹角为30°.
10．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B的夹角为30°，F是A1B1的中点．求平面BDF与平面AA1B1B夹角的余弦值．
解：因为AB＝2，AA1＝1，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，F(1,0,1)．
又因为AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B的夹角为∠DBA，即∠DBA＝30°.
所以AD＝，所以D.
所以＝(－1,0,1)，＝.设平面BDF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即令z＝1，则x＝1，y＝，所以n＝(1，，1)，又因为平面AA1B1B的一个法向量为m＝(0,1,0)，所以cos〈m，n〉＝＝，即平面BDF与平面AA1B1B夹角的余弦值为.
1．在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.如图，以△BCD的中心O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，z轴，平面BCD内垂直OC于点O的直线为y轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则C(，0,0)，A(0,0，)，D(－，，0)，所以E(－，，)，所以C＝(－，，)，因为平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈C，n〉＝＝，
设夹角为θ，
∴sin θ＝|cos〈C，n〉|＝.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)．
连接AC，则AC⊥BD，AC⊥BB1，
∵BD∩BB1＝B，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴是平面BB1D1D的一个法向量．
∵＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)．
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为.
解：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，所以＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)，
又·＝0，·＝0，
所以是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sin θ＝cos(－θ)＝＝
＝，
所以m＝.
4．(2012·高考北京卷节选)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.
(1) 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(2) 线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
解：(1)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.
又＝(3,0，－2)，
＝(－1,2,0)，
∴
令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
∵＝(0,1，)，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
∴CM与平面A1BE所成角的大小为.
(2)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．理由如下：
假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．
设平面A1DP的法向量为m＝(x′，y′，z′)，
则m·＝0，m·＝0.
又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，
∴
令x′＝2，则y′＝p，z′＝，∴m＝(2，p，)．
平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，
即4＋p＋p＝0.
解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．
∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．1．(2013·亳州检测)若点A在空间直角坐标系中的坐标为(2,0,1)，O是坐标原点，则的坐标为( )
A．(2,0,1) B．(0,2,1)
C．(1,0,2) D．不确定
解析：选A.由空间向量的坐标表示可知，以坐标原点为起点的向量的坐标即为向量终点的坐标．
2．若O，A，B，C为空间中的四个点，且，，为空间的一个基底，则( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
解析：选D.由基底的意义可知，，三个向量不共面，选项A，B，C都有可能使，，共面，只有选项D能保证这三个向量不共面．
3．(2013·宿州调研)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N是平面A1B1C1D1内任意两个不重合的点，＝xa＋yb＋zc(x，y，z∈R)，那么( )
A．x，y，z都不等于0
B．x，y，z中最多有一个值为0
C．x，y，z中z必等于0
D．x，y，z不可能有两个等于0
解析：选C.∵MN在平面A1B1C1D1内，∴z必为0.
4．空间四边形OABC中，O＝a，O＝b，O＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则M等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
解析：选B.M＝O－O＝(O＋O)－O
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
5．(2013·南阳调研)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B.在平行六面体中，＝x＋2y＋3z＝＋＋＝＋－.
比较系数知x＝1，y＝，z＝－，
∴x＋y＋z＝.
6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．
解析：∵b＝－2a，∴a∥b.
答案：a∥b
7．已知ABCD-A′B′C′D′是棱长为2的正方体，E，F分别是BB′，B′D′的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝________，＝________.
解析：由正方体的性质可知，EB⊥平面ABCD，取BD中点G，连接FG，则FG⊥平面ABCD，则E，F的横、纵坐标分别为点B，G的横、纵坐标，
E，F的竖坐标分别为BE，GF.又正方体的棱长为2，故BE＝1，GF＝2.因此点E的坐标为(2,2,1)，点F的坐标为(1,1,2)．
∴＝(2,2,1)，＝(1,1,2)
答案：(2,2,1) (1,1,2)
8．(2013·新余调研)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，且f＝－a＋b＋c，k＝a＋b＋c，h＝a－b＋c.那么与相等的向量是________．
解析：求与相等的向量，就是用基向量a，b，c线性表示.
＝＋＝＋(＋)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c＝f.
答案：f
9．(2013·焦作质检)四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示：，，，.
解：＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
10．如图，AB，CD是异面直线，CD α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点，证明：MN∥α.
证明：∵CD α，AB∥α，且AB，CD异面，∴在α内存在向量a，b，使＝a，＝b，且a≠b.∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴＝(＋)＝[(＋)＋(＋)]
＝(－＋＋＋)
＝(＋)＝(a＋b)．
∴MN与a，b共面．
又∵向量a，b同在α内，∴MN∥α或MN α，
若MN α，则AB，CD同在α内，与AB，CD异面矛盾，
∴MN∥α.
1．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.设＝a，＝b，＝c.
由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋＝－＋＋
＝－a＋b＋c，所以
||2＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝.
答案：
2．如图，已知空间四边形OABC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，用基向量、、表示向量的表达式为________．
解析：＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋(＋－)
＝－＋＋.
答案：－＋＋
3．(2013·蚌埠调研)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，求的坐标．
解：∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1，e2，e3为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．
因为＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3.
∴＝.
4．如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为1，点E，F分别是OA，BC的中点，选择适当的基底：
(1)表示，并求出||；
(2)计算·，并求出〈，〉．
解：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，
∴a·b＝a·c＝b·c＝.
(1)连接OF，知＝－
＝(＋)－
＝－a＋b＋c
＝－(a－b－c)，
则有||＝
＝
＝＝.
(2)∵＝－＝c－a＝－(a－c)，
∴||＝＝
＝ ＝1，
∴·＝(a－b－c)·(a－c)
＝(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)
＝(1＋1－＋－1)＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.1．(2013·西安调研)若空间向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．有不同的方向 B．有不相等的模
C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量
解析：选D.a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A，B，C都不正确，只有D正确．
2．下列说法正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：选D.任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．
3．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
解析：选D.依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的．当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故D错误．
4．(2013·蚌埠质检)在正四面体A-BCD中，如图，〈，〉等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得〈，〉＝120°，故选D.
5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线与所成的角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B.因为与同向共线，与同向共线，所以〈，〉＝〈，〉，在正方体中，△A1BC1为等边三角形，所以〈，〉＝〈，〉＝60°.
6．在正四面体A-BCD中，O为面BCD的中心，连接AO，则面BCD的一个法向量可以是________．
解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO⊥平面BCD.
答案：
7．在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．
解析：研究长方体模型可知，所有顶点两两连接得到的线段中，长度为1的线段只有4条，故模为1的向量有8个．
答案：8
8．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈，〉＝________；〈，〉＝______；〈，〉＝________.
解析：在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°；因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°；因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.
答案：0° 180° 120°
9．(2013·咸阳调研)如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1.
(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量的相反向量；
(3)若E是BB1的中点，写出与向量平行的向量．
解：(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.
(2)向量的相反向量为，.
(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，，都是与平行的向量．
10．如图，在正四面体A BCD中，M，N分别是AB，AD的中点，求〈，〉．
解：在△ABD中，M，N分别是AB，AD的中点，则MN∥BD.
又△BCD为等边三角形，则∠BDC＝60°，
所以〈，〉＝180°－∠BDC＝120°.
1．(2013·商洛质检)如图，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有( )
A．6对 B．5对
C．4对 D．3对
解析：选B.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC.
又平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
由此知〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉都为90°.
2．若把空间内所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
答案：半径为1的球面
3．如图，在三棱锥S ABC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，∠BAC＝90°，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量．
证明：由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，
故设SA＝SB＝SC＝a，
因为O是BC的中点，SB＝SC，所以SO⊥BC.
因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AO⊥BC，所以AO＝a.
又SO＝a，SA＝a，所以△ASO是等腰直角三角形，
即SO⊥OA.
又OA∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC，
所以是平面ABC的一个法向量．
4．(创新题)如图所示，正四面体A BCD中，E是AC的中点，求与的夹角的余弦值．
解：过E作EF∥CD交AD于F，连接BF.
∠BEF为向量与的夹角的补角．
设正四面体棱长为1，
则BE＝，EF＝，BF＝.
由余弦定理得
cos∠BEF＝
＝＝.
∴与所成的角的余弦值为－.1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：选D.a∥b，则＝＝，解得.
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4
C. D．－6
解析：选B.a＋b＝(－2,1,3＋x)，
∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.
3．已知A(2，－2,1)，B(1,0,1)，C(3，－1,4)，则向量，夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由点A，B，C的坐标可求得＝(－1,2,0)，＝(1,1,3)，则||＝＝，
||＝＝，
·＝(－1)×1＋2×1＋0×3＝1，
因此，cos〈，〉＝＝＝.
4．已知向量a＝(2，－1,2)，则与a平行且满足关系式a·x＝－18的向量x为( )
A．(－4,2，－4) B．(－4,1，－4)
C．(4,2，－4) D．(－4，－2，－4)
解析：选A.向量x与a平行，则x＝λa(λ∈R)，a·x＝λa2＝－18，又a2＝9，则λ＝－2，所以x＝－2a＝(－4,2，－4)．
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：选C.＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，＋λ＝(1，－λ，λ)，(＋λ)·＝1×0＋(－λ)×(－1)＋λ×1＝2λ，|＋λ|＝，||＝.
由题意知：cos 120°＝＝－，解得λ2＝.
因为＜0，所以λ＜0，所以λ＝－.
6．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标为________．
解析：＝(－3,7，－5)，因为＝＝(－3,7，－5)＝(－2，，－)，所以C(－2，，－)．
答案：(－2，，－)
7．已知向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a，b夹角的余弦值为，则λ等于________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝－2或λ＝.
答案：－2或
8．(2013·石河子质检)已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________．
解析：＝(1，－7，－2)，设M(x，y，z)，
∴＝(3－x，－2－y，－5－z)．
由＝4，
∴(1，－7，－2)＝4(3－x，－2－y，－5－z)，
∴x＝，y＝－，z＝－.
答案：(，－，－)
9．(2013·亳州调研)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使：
(1)＝(－)；(2)＝(－)．
解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
(1)＝(－)＝(6,3，－4)＝(3，，－2)，
则点P的坐标为(3，，－2)．
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
由(1)知，(－)＝(3，，－2)，
则，解得.
则点P的坐标为(5，，0)．
10．已知A(4,10,9)，B(3,7,5)，C(2,4,1)，D(10,14,17)，M(1,0,1)，N(4,4,6)，Q(2,2,3)．
(1)求证：A，B，C三点共线；
(2)求证：M，N，Q，D四点共面．
证明：(1)由题意，得＝(－1，－3，－4)，
＝(－2，－6，－8)，显然＝2，
∴与共线．
又，有共同的起点A，∴A，B，C三点共线．
(2)＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)．
设＝x＋y，
即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，
则解得
故＝2＋3，
由共面向量定理知，，共面，
即M，N，Q，D四点共面．
1．(2013·阜阳质检)△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B.
C．4 D．2
解析：选A.设A＝λ，其中λ∈R，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴B＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.
∴λ＝－，∴B＝(－4，，)．
∴|B|＝ ＝5.
2．(2013·安康质检)若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于________．
解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
所以||＝
＝，
当x＝时，||取得最小值．
答案：
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解：如图，建立如图所示空间直角坐标系，D为坐标原点，因正方体棱长为1，则有
E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.
(1)证明：＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝－(0,1,1)＝.
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)
＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即与所成角的余弦值为.
(3)∵F，H，
∴＝，
∴||＝ ＝.
即FH的长为.
4．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求〈b，c〉的余弦值．
解：(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
∵t∈[－4，－]时，上式是关于t的减函数，
∴t＝－时，|c|取最小值.
(2)当t＝－时，c＝(－，1，)，
∴cos〈b，c〉＝
＝
＝－.(时间：100分钟；满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.与相等的向量只有.
2．如图所示，在空间四边形OABC中，点M为OA中点，N 为AB中点，P在CN上，且CP＝PN，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b－c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
解析：选A.＝＋＋＝－＋＋
＝－a＋c＋×(＋)
＝－a＋c＋(－＋－)
＝－a＋c＋(a＋b－2c)＝－a＋b＋c.
3．a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6
C．－6 D．±6
解析：选B.∵a⊥b，∴1·m＋5·2－2(m＋2)＝0.
∴m＝6.
4．m＝(8,3，a)，n＝(2b,6,5)，若m∥n，则a＋b的值为( )
A．0 B.
C. D．8
解析：选C.∵m∥n，故(8,3，a)＝k(2b,6,5)，
∴8＝2bk,3＝6k，a＝5k，
∴k＝，故a＝，b＝8，
∴a＋b＝＋8＝.
5．平面α、平面β的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－6，－4，－2)，则α与β的位置关系是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．无法确定
解析：选B.∵a＝－u，∴α∥β.
6．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为( )
A.a B.
C. D.
解析：选D.连接BD，AC交于点O，
则D1O＝ ＝a.
7．在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选B.如图建系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，E(1,1，)．
∵＝(1,0,1)，＝(1,1，)，设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则令x＝1，
则z＝－1，y＝－，∴n＝(1，－，－1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
∴平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.
8．在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.如图，取BC中点E，连接DE，AE，AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，
则AE＝，DE＝，
tan∠ADE＝＝＝.
∴∠ADE＝60°，故选C.
9．在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设正四面体棱长为1，∴||＝，||＝.
又∵＝(＋)，＝－，
∴·＝－，∴cos〈，〉＝＝－.
∴AE与CF夹角的余弦值为.
10．在三棱锥V ABC中，VC⊥平面ACB，∠ACB＝90°，VC＝AC＝BC＝1，则C到平面AVB的距离是( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.建立如图所示的坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，V(0，0,1)，
∴＝(－1,1,0)，＝(0,1，－1)，
＝(0,0，－1)，
设平面AVB的法向量为n＝(x，y，z)，
由解得n＝(1,1,1)．
∴所求距离d＝＝.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题．请把答案填在题中横线上)
11．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为________________．
解析：c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，∵c·a＝0，
且c·b＝0，∴解得m＝－1，n＝2.
答案：－1,2
12．已知点A在基底下的坐标为(8,6,4)，其中，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底下的坐标为________．
解析：8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)
＝12i＋14j＋10k，
∴点A在下的坐标为(12,14,10)．
答案：(12,14,10)
13．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝3||2；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确的命题的序号是________．(把正确命题的序号都填上)
解析：①(＋＋)2＝||2
＝||2＋||2＋||2＝3||2.
正确；
②·(－)＝·≠0；
③△AB1D1是等边三角形，∴∠D1AB1＝60°，
∴〈，〉＝60°；
④|··|＝0.
答案：①③
14．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为CD，BB1的中点，则点F到平面A1D1E的距离为____________．
解析：如图建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，E(1，，0)，F(0，1，)，D1(1,0,1)，A1(0,0,1)
∴＝(0，－，1)，
＝(－1，，)，＝(－1，－，1)．
设平面A1D1E的法向量n＝(x，y，z)，
∴解得.
∴n＝(0,2,1)，n0＝(0，，)．
∴d＝|E·n0|＝＋＝.
答案：
15．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是____________．(填上所有正确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
解析：连接MN交AE于点P(图略)，则MP∥DE，NP∥AB，
∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，
∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置(不在平面ABC内)都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共5小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝.
(1)证明：SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SBC所成角的余弦值．
解：(1)证明：作SO⊥BC，
垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，
得SO⊥平面ABCD.
因为SA＝SB，所以AO＝BO.
又∠ABC＝45°，
所以△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.
如图，建立空间直角坐标系O xyz.
因为AO＝BO＝AB＝，SO＝＝1，
又BC＝2，所以A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，S(0,0,1)，＝(，0，－1)，＝(0,2，0)．
因为·＝0，所以SA⊥BC.
(2)＝＋＝－＝(，－2，－1)，
＝(，0,0)．
与的夹角记为α，SD与平面SBC所成的角记为β，
因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余，
cos α＝＝，sin β＝，cos β＝.
所以SD与平面SBC所成的角的余弦值为.
17．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
(1)试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
(2)当D1E⊥平面AB1F时，求平面C1EF与平面AEF夹角的余弦值．
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)设DF＝x，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E(1，，0)，F(x,1,0)．
所以＝(1，－，－1)，
＝(1,0,1)，＝(x,1,0)．
所以·＝1－1＝0，即D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF ·＝0 x－＝0，即x＝.
故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
(2)当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点．
又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD.
连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.
连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的投影．
所以C1H⊥EF，即∠AHC1是平面C1EF与平面EFA夹角的平面角．
因为C1(1,1,1)，H(，，0)，
所以＝(，，1)，＝(－，－，0)．
所以cos∠AHC1＝＝＝－.
∴平面C1EF与平面AEF的夹角的余弦值为.
18．如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
解：(1)证明：如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz，则O(0,0,0)，B(8，0,0)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．
由题意，得G(0,4,0)．因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，所以平面BOE的一个法向量n＝(0,3,4)，由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则＝(x0－4，y0，－3)．因为FM⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－.即点M的坐标是.在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.
19．如图，在三棱锥P ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求平面BAP与平面APC所成角的余弦值；
(3)求点C到平面APB的距离．
解：(1)证明：∵AC＝BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，∴PC⊥BC，且AC∩BC＝C，
∴PC⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC，∴PC⊥AB.
(2)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C xyz.
则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)．设P(0,0，t)．
∵|PB|＝|AB|＝2，∴t＝2，P(0,0,2)．
取AP的中点E，连接BE，CE，
∵|AC|＝|PC|，|AB|＝|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP.
∴∠BEC是平面BAP与平面APC夹角的平面角．
∵E(0,1,1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，－1，－1)，
∴cos∠BEC＝＝＝.
∴平面BAP与平面APC夹角的余弦值为.
(3)∵AC＝BC＝PC，∴C在平面APB内的投影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．
如(2)建立空间直角坐标系C xyz.
∵＝2，∴点H的坐标为(，，)．
∴||＝.
∴点C到平面APB的距离为.
20．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O，
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz，
则P(0，－，2)，A(0，－，0)，
B(1,0,0)，C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．
设PB与AC所成角为θ，
则cos θ＝＝＝.
(3)由(2)知＝(－1，，0)．
设P(0，－，t)(t＞0)，则＝(－1，－，t)．
设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，
则·m＝0，·m＝0.
所以
令y＝，则x＝3，z＝.
所以m＝.
同理，平面PDC的法向量n＝.
因为平面PBC⊥平面PDC，
所以m·n＝0，即－6＋＝0，
解得t＝.所以PA＝.1．在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，＝，则PG与底面ABCD的夹角的正弦值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.以D为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(，，0)，P(0,0,1)，于是有＝(－，－，1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，
∴ cos〈，〉＝，
∴PG与底面ABCD的夹角的正弦值为.
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.则点A到平面PBC的距离为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.如图，作DE⊥AB于点E，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，于是＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，
即，令y＝1，则n＝(0,1,1)．
又＝(－1,1,1)，故点A到平面PBC的距离
d＝＝＝.
3．已知点E、F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的夹角的正切值等于________．
解析：如图，建立空间直角坐标系．
设面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
设正方体的棱长为1，∵A(1,0,0)，E，F，
∴＝，
＝，则
取x＝1，则y＝－1，z＝3.
故n2＝(1，－1,3)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，
∴面AEF与面ABC所成的夹角的平面角α满足
cos α＝，sin α＝，∴tan α＝.
答案：
4．如图，在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求平面AVD与平面VDB夹角的余弦值．
解：(1)证明：以AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(1,0,0)，D(－1,0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)，
∴＝(0,2,0)，＝(1,0，－)，由·＝(0,2,0)·(1,0，－)＝0，
得⊥，即AB⊥VA.
又AB⊥AD，AD∩VA＝A，
∴AB⊥平面VAD.
(2)设E为DV的中点，则E，
∴＝，＝，＝(1,0，)．
由·＝·(1,0，)＝0，得⊥，
即EB⊥DV.
又EA⊥DV，因此∠AEB即为所求二面角的平面角，
∴cos〈·〉＝＝.
故所求平面AVD与平面VDB夹角的余弦值为.1．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D.依题意，∠B1AB＝60°，如图，
BB1＝1×tan 60°＝，故选D.
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则平面α外点P(－2,1,4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
解析：选D.＝(－1，－2,4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，
所以点P到α的距离d＝|·|＝＝.
3．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.＝(－2,0，－1)，||＝，·＝，
则点P到直线l的距离
d＝ ＝ ＝.
4．(2013·吉安检测)如图，已知平面α、平面β的夹角为120°，AC在α内，BD在β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则CD的长是( )
A．a B．2a
C．3a D．4a
解析：选B.因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝a2＋a2＋a2＋2a2cos 60°＝4a2，
所以||＝2a，CD＝2a.
5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
解析：选D.明显A1C⊥平面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d＝|B·|＝＝a.
6．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
解析：A1到平面AB1D1的距离为三棱锥A1 AB1D1的高h.
由VA1 AB1D1＝VA A1B1D1，
可求S△AB1D1h＝S△A1B1D1·AA1，h＝.
答案：
7．已知空间四点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离是________．
解析：＝(2，－2,1)，＝(4,0,6)，
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝3，则z＝－2，y＝2，∴n＝(3,2，－2)．
＝(7,7，－7)，n0＝＝(3,2，－2)．
∴d＝|·n0|＝.
答案：
8．在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，且AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，则直线AC与直线MN的距离为________．
解析：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．
由题意得＝(－1,1,0)，＝(0，，－2)．
所以点M到直线AC的距离
d＝ ＝ ＝.
答案：
9．在棱长为a的正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，CC′的中点．
(1)求证AD∥平面A′EFD′；
(2)求直线AD到平面A′EFD′的距离．
解：(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
如图所示，
∵＝(a,0,0)，＝(a,0,0)，
∴DA∥D′A′.
∵D′A′平面A′EFD′，
∴AD∥平面A′EFD′.
(2)D′(0,0，a)，F(0，a，)，
∴＝，＝.
设平面A′EFD′的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即
不妨令z＝1，则n＝.
∴在n上的投影的大小为d＝＝a.
因此直线AD到平面A′EFD′的距离为a.
10．如图，已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高分别为1和2，AB＝4.
(1)证明：PQ⊥平面ABCD；
(2)求异面直线AQ与PB夹角的余弦值；
(3)求点P到平面QAD的距离．
解：(1)证明：如图连接AC，BD，设AC∩BD＝O.连接PO，QO.由P ABCD与Q ABCD都是正四棱锥，得PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P，O，Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
(2)由题意知，四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.由(1)知QP⊥平面ABCD，故可分别以直线CA，DB，QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．则P(0,0,1)，A(2，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,2，0)．
所以＝(－2，0，－2)，＝(0,2，－1)．
于是cos〈，〉＝＝＝.
(3)由(2)知点D的坐标是(0，－2，0)，＝(－2，－2，0)，＝(0,0，－3)．
设n＝(x，y，z)是平面QAD的一个法向量，
由得
取x＝1，得n＝(1，－1，－)．
所以点P到平面QAD的距离为d＝＝.
1．已知三棱锥O ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2.则点A到直线BC的距离为( )
A. B.
C. D．3
解析：选B.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
∴＝(－1,2,0)，＝(0，－2,2)，||＝＝，
|·|＝.
∴点A到直线BC的距离d＝＝.
2．如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是A1B1，CD的中点，则点B到直线EF的距离为________．
解析：A(1,0,0)，F(0，，0)，
E(1，，1)，B(1,1,0)，
则＝(1,0,1)，＝(1，，0)，＝＝，
∴d＝ ＝.
答案：
3．如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求点C到平面A1BD的距离．
解：令＝a、＝b、＝c，则它们可以作空间的一个基底．此时＝a－b，＝－＝b＋c.
过点C作平面A1BD的垂线，设垂足为H，点H在平面A1BD内，由共面向量定理，存在一对实数λ，μ，
使＝＋λ＋μ＝λa＋(μ－λ＋1)b＋μc，
∵CH⊥平面A1BD，
∴⊥，⊥，
即·＝0，·＝0，
故，
由于|a|＝|c|＝2，|b|＝1，a·b＝b·c＝0，a·c＝2，
∴解得
故＝a＋b－c，
||＝
＝ ＝，
即点C到平面A1BD的距离是.
4．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在线段A1B上是否存在异于A1，B的一点E使得点A1到平面AED的距离d为？
解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2，0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，
设＝λ，λ∈(0,1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2,0,1)，＝2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，
则
取x＝1，则y＝，z＝2，即n＝.
由于d＝＝，所以＝.
又λ∈(0,1)，解得λ＝.所以当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.1．(2013·驻马店质检)若＝(1,2,3)，＝(－1,3,4)，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是( )
A．(1,7,5) B．(1，－7,5)
C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)
解析：选C.因为(－1，－7,5)·(1,2,3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7,5)·(－1,3,4)＝1－21＋20＝0，
所以向量(－1，－7,5)能成为平面OAB的法向量．
2．平面α的一个法向量是n＝(，－1，)，平面β的一个法向量是m＝(－3,6，－2)，则平面α与平面β的关系是( )
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．垂直
解析：选C.∵m＝－6n，∴m∥n，∴平面α，β平行或重合．
3．若直线l的方向向量为a＝(1,1,1)，向量b＝(1，－1,0)和向量c＝(0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．以上都不对
解析：选A.∵a·b＝(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，
a·c＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
∴a⊥b，a⊥c，
又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，
∴l⊥α.
4．(2013·西安检测)已知A＝(1,5，－2)，B＝(3,1，z)，若AB⊥BC，B＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于( )
A．(，－，4) B．(，－，4)
C．(，－2,4) D．(4，，－15)
解析：选B.A·B＝3＋5－2z＝0，
故z＝4，B·A＝x－1＋5y＋6＝0，
且B·B＝3(x－1)＋y－12＝0，
得x＝，y＝－.
5．(2013·南阳检测)已知P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与平面ABCD的位置关系为( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不确定
解析：选C.因为·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝－2－2＋4＝0，·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，故PA⊥平面ABCD.
6．已知平面α，β的法向量分别为(1,3,6)，(－2，x，y)，若α∥β，则x＋y＝________.
解析：因为α∥β，所以它们的法向量共线，则有＝＝，解得x＝－6，y＝－12，所以x＋y＝－18.
答案：－18
7．设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，有下面命题：
① b∥α； ② a∥b；
③ b∥α； ④ b⊥α.
其中，正确命题的序号是________．
解析：对于①，有b⊥α，不正确，④正确，易判断②③正确．
答案：②③④
8．(2013·吉安检测)已知空间向量a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ＋μ＝________.
解析：∵a∥b，∴a＝mb(m∈R)，
∴，解得.
∴λ＋μ＝.
答案：
9．如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，O1是B1D1的中点．证明：BO1∥平面ACD1.
证明：设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，O1(1,1,2)，B(2,2,0)，
∴＝(－2,0,2)，＝(0，－2,2)，＝(－1，－1，2)．
法一：设＝λ＋μ，则
λ(－2,0,2)＋μ(0，－2,2)＝(－1，－1,2)，
∴
∴＝＋ 与，共面，
∴∥平面ACD1.
又BO1 平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.
法二：设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
由 .
令x＝1可得：y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)．
∵·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0 ⊥n，∴∥平面ACD1.
又BO1 面ACD1，∴BO1∥面ACD1.
10．在正方体ABCD A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1A1？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
解：如图所示，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，a)．设P(0,0，m)．
易知BD⊥平面ACC1A1，
即＝(a，a,0)为平面ACC1A1的法向量．
要使平面APC1⊥平面ACC1A1，
即使与，为共面向量．
即存在实数x和y，使得＝x＋y.
∵＝(－a，a，a)，＝(－a,0，m)，
∴解得
可见点P存在，且当点P为DD1中点时，平面APC1⊥平面ACC1A1.
1．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B．(1,3，)
C．(1，－3，) D．(－1,3，－)
解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即判断·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故选B.
2．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．
解析：令C的坐标为(0，y，z)，
则由＝λ，得解得
答案：(0,2,6)
3．(2011·高考安徽卷改编)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．证明直线BC∥EF.
证明：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连接QE，
由平面ABED⊥平面ACFD，知FQ⊥平面ABED，
∴FQ⊥QE，FQ⊥DQ.以Q为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由条件知E(，0,0)，F(0,0，)，B(，－，0)，C(0，－，)，则有＝(－，0，)，＝(－，0，)．
所以＝2，即得BC∥EF.
4．(创新题)在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D是AC的中点，问在侧棱AA1上是否存在点P，使CP⊥平面BDC1，并证明你的结论．
解：不存在．证明如下：以C1为原点，C1A1，C1C，C1B1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,3,2)，C(0,3,0)，D(1,3,0)，
∴＝(0,3,2)，＝(1,3,0)．
假设侧棱AA1上存在一点P(2，y,0)(0≤y≤3)使CP⊥平面BDC1，＝(2，y－3,0)，
∴即
∴这样的y不存在．
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥平面BDC1.
