1．在抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.由题意＋4＝5，所以p＝2.
2．(2013·阜阳检测)过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x和x2＝y B．y2＝4x
C．y2＝4x和x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C.因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p1＝2，p2＝.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝4x和x2＝－y.
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选B.由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6，故选B.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
解析：选C.由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－.由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，
则x1＝|FP1|－，x2＝|FP2|－，x3＝|FP3|－.
又2x2＝x1＋x3，所以2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
5．(2011·高考山东卷)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要|FM|>4即可，根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
6．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程为______________．
解析：由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
7．(2013·汉中质检)已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16，∴m＝±4.
答案：±4
8．(2012·高考北京卷)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，
代入抛物线方程得y2－y－4＝0，
解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，
故△OAF的面积为×1×2＝.
答案：
9．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．
解：当m>0时，由2p＝m，得＝，
这时抛物线的准线方程是x＝－.
∵抛物线的准线与直线x＝1的距离为3，
∴1－＝3，解得m＝8.
这时抛物线的方程是y2＝8x.
同理，当m<0时，抛物线的方程是y2＝－16x.
故抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－16x.
10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解：法一：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，F(，0)，
由题意，得
解得 或
∴所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
法二：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，焦点F(，0)，
准线方程为x＝－.
∵点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，
∴3＋＝5，∴p＝4.
∴抛物线方程为y2＝8x.
又点M(3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，
∴m＝±2.
1．(2013·焦作检测)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率是－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：选B.如图，设准线l与x轴的交点为H，由直线AF的斜率为－，
得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.
又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，
∴△PAF为等边三角形，
由|HF|＝4得|AF|＝8，∴|PF|＝8.
2．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A的坐标为(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为(，0)，线段FA的中点B的坐标为(，1)，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为(，1)，故点B到该抛物线准线x＝－的距离为＋＝.
答案：
3．点M到直线l：y＝－1的距离比它到点F(0,2)的距离小1，求点M的轨迹方程．
解：∵点M到直线l：y＝－1的距离比它到点F(0,2)的距离小1，
∴点M到点F的距离与它到直线l：y＝－2的距离相等，
即点M的轨迹是以F(0,2)为焦点，直线l：y＝－2为准线的抛物线．
设M点坐标为(x，y)，
∵＝2，且开口向上，
∴点M的轨迹方程为x2＝8y.
4．已知A，B为抛物线y2＝2x上两个动点，|AB|＝3，求AB的中点P到y轴距离的最小值．
解：如图所示，分别过点A，B，P作准线l的垂线，设垂足分别为A1，B1，P1，PP1交y轴于Q点，连接AF，BF，由抛物线定义可知|AF|＝|A1A|，|BF|＝|B1B|，
所以|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|.
又四边形ABB1A1为梯形，P1P是中位线，
所以|PP1|＝(|A1A|＋|B1B|)＝(|AF|＋|BF|)，
所以|PP1|≥|AB|＝.
又|PQ|＝|PP1|－＝|PP1|－，
所以|PQ|≥－＝1，
当且仅当A，B，F三点共线时取等号．
故AB的中点P到y轴距离的最小值为1.1．(2011·高考湖南卷)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C.－＝1的渐近线为y＝±x，
∴a＝2.
2．(2013·西安质检)下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.双曲线的离心率e＝＝＝＝，得＝，只有B选项符合，故选B.
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，
则双曲线方程可化为y2－＝1，
则a2＝1，a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2.
∴－＝b2＝4.∴m＝－，故选A.
4．双曲线x2－y2＝－3的( )
A．顶点坐标是(±，0)，虚轴端点坐标是(0，±)
B．顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)
C．顶点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x
D．虚轴端点坐标是(0，±)，渐近线方程是x＝±y
解析：选B.将x2－y2＝－3化为－＝1，知a＝，b＝，c＝，焦点在y轴上，所以顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x.
5．焦距为10，且＝的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
解析：选D.由题意知2c＝10，c＝5，又＝，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.故选D.
6．(2013·咸阳检测)双曲线－＝1的渐近线方程是______．
解析：方程－＝1，即为－＝1，
∴a＝2，b＝2.
∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
7．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
解析：如图，∵c>b，
∴∠B1F1B2＝60°，∴∠B1F1O＝30°.
在△B1OF1中，＝tan 30°，
∴＝，∴＝，
∴1－＝，∴＝.
∴e2＝＝，∴e＝.
答案：
8．(2013·新余调研)与椭圆x2＋4y2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x＋y＝0的双曲线的方程是________．
解析：椭圆x2＋4y2＝16化为标准方程为＋＝1，
∴焦点在x轴上，且c＝2.
∴双曲线焦点在x轴上，且c＝2.
又＝，∴＝，即a2＝3b2.
又a2＋b2＝c2＝12，∴a2＝9，b2＝3.
∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
9．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．
解：椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b＝＝2，所以双曲线方程为－＝1.
10．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论双曲线与直线公共点的个数．
解：联立方程组，
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，方程(*)化为2x＝5，
方程组有一解．故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时；
①由Δ＝4(4－3k2)>0，得－②由Δ＝4(4－3k2)＝0，得k＝±，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切．
③由Δ＝4(4－3k2)<0，得k<－或k>，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点．
综上所述，当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有一个公共点；当－时，直线与双曲线无公共点．
1．(2011·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B.由，解得.
由题得，得，
又＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，
∴焦距2c＝2.故选B.
2．(2013·驻马店质检)如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF2|＝a≥c－a.
∴a≥c，即≤.
∴双曲线离心率e最大值为.
答案：
3．已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，求＋的值．
解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则有|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.
由题意可知，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
则两式相加得4a＋4a＝8c2，
整理得＋＝2.
4．(2012·高考辽宁卷)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解：(1)设A(x0，y0)，
则矩形ABCD的面积 S＝4|x0||y0|.
由＋y＝1得y＝1－，
从而xy＝x＝－2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6.
从而t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.
(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知
直线AA1的方程为y＝(x＋3)，①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．1．(2013·九江质检)若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选B.由题意知2c＝2b，∴c＝b.
又b2＋c2＝a2，∴a＝c.∴e＝＝.
2．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A. B.
C. D．－
解析：选C.将椭圆化为标准方程为＋＝1，
则必有m>0.
∵m＋1>m>0，∴<.
∴a2＝，a＝，2a＝.
3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰将长轴三等分，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.设方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得＝，且a＝9，
∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝72.
故方程为＋＝1.
4．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．长轴的长相等 B．短轴的长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D.椭圆＋＝1与＋＝1(05．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：选C.由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
6．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是________．
解析：由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∴(其中c＝)
∴b2＝20，a2＝80.
答案：＋＝1
7．比较椭圆①9x2＋y2＝36与②＋＝1的形状，______更扁(填序号)．
解析：椭圆①9x2＋y2＝36的离心率是；
椭圆②＋＝1的离心率是，因为>，
所以，椭圆①比②更扁．故填①.
答案：①
8．(2013·焦作检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.
同除以a2得5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
9．已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.求椭圆E的方程．
解：设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝，即＝，
得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
10．(创新题)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点，且P的纵坐标y≠0，已知点A(－5,0)，B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：是定值．因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.
所以kPA＝，kPB＝.
所以kPA·kPB＝·＝.
因为点P在椭圆＋＝1上，
所以y2＝16×＝16×.
把y2＝16×代入kPA·kPB＝，
得kPA·kPB＝＝－.
所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.
1．(2013·宝鸡调研)以F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
由，
得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0，
由Δ≥0，得a≥，
∴e＝＝≤，此时a＝，
故椭圆方程为＋＝1.
2．如图，已知椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．
解析：由BC，OA平行且相等及椭圆的对称性，得出C点的横坐标为，
又∠COx＝30°，易知点C的坐标为，代入椭圆的方程得＋＝1，即a2＝9b2，又b2＝a2－c2，
故c2＝8b2，则椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：
3．已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
F1(－c,0)，c2＝a2－b2，
则P，即P.
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝.∴b＝c.
又a＝＝c，∴e＝＝.
4．(2012·高考天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
解：(1)因为点P在椭圆上，
故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，
设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得
消去y0并整理得x＝.①
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，
而x0≠0，故x0＝，代入①，
整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.1．方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
解析：选B.∵＝|x＋y＋2|，
∴＝>1.
∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．
2．(2013·南阳检测)曲线x2＋y2＝2|x|＋2|y|所围成的面积是( )
A．2π B．π＋2
C．4π＋4 D．4π＋8
解析：选D.此曲线在直角坐标系内所围成的图形在每个象限的面积相等且为π＋2，所以S＝4×(π＋2)＝4π＋8.
3．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B.易知点(2,4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．
4．若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是( )
A．椭圆短轴的端点 B．椭圆长轴的一个端点
C．不是椭圆的顶点 D．以上都不对
解析：选B.由共同特征点P到右焦点的距离
|PF2|＝de＝(－x0)e＝a－ex0.
当x0＝a时，|PF2|最小．
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4，y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
∴3＋＝4，∴p＝2.
6．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．
解析：由，得5x2－8x＋8＝0.
∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，e＝，
|AB|＝2a－e(x1＋x2)＝4－×＝.
答案：
7．(2013·汉中检测)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线与抛物线y2＝－6x的准线重合，则a＝________.
解析：抛物线y2＝－6x的准线方程为x＝.
由双曲线准线方程的求法得＝，∴a2＝c.
又b＝1，c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋1，
即c2＝c＋1，解得c＝2或c＝－(舍去)，∴a＝.
答案：
8．已知动点P的坐标(x，y)满足＝，则动点P的轨迹是______(填名称)．
解析：表示动点P到定点(1,1)的距离，表示动点P到定直线x＋y＋2＝0的距离，即原等式表示动点P到定点(1,1)和到定直线x＋y＋2＝0的距离之比等于常数，且0<<1，因此动点P的轨迹为椭圆．
答案：椭圆
9．一动点到定直线x＝3的距离是它到定点F(4,0)的距离的，求这个动点的轨迹方程．
解：法一：由题意知，动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，则动点的轨迹为双曲线，且离心率e＝＝2.
又定点F(4,0)与定直线x＝3是双曲线相应的右焦点和右准线，由c－＝4－3＝1.
又∵c＝2a且c－＝1，
∴a＝且c＝，
∴双曲线的中心O′的坐标为.
又b2＝c2－a2＝2－2＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
法二：由题意知，设动点为P(x，y)，
则|x－3|＝ ，
两边平方，得(x－3)2＝(x－4)2＋y2.
化简，得－＝1即为所求．
10．已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(－，0)、F2(，0)，点F1到直线x＝－的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A，B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线l的方程．
解：(1)∵F1到直线x＝－的距离为，
∴－＝，得a2＝2，或－＋＝，得a2＝4.
而c＝，∴a2＝4，∴b2＝a2－c2＝1.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵|F2B|＝3|F2A|，∴
∴
∵A，B在椭圆＋y2＝1上，
∴
∴(取正值)．
∴l的斜率为＝.
∴l的方程为y＝(x－)，即x－y－＝0.
1．(2011·高考江西卷)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
解析：选B.C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，
则－综上知－2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e，直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与该椭圆仅有的一个公共点，则等于______．
解析：设＝λ，由题意得A，B(0，a)．
由得.
∵M，＝λ，
∴＝λ，
即而c＝，
∴λ＝1－e2且1－e2>0，故＝1－e2.
答案：1－e2
3．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解析：直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组，
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③
这个关于x的一元二次方程③的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.
又由e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝.
设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，
则x′＝＝，
y′＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.1．如图，方程x＝表示的曲线是( )
解析：选D.x＝，∴x≥0，y≤0
∴x2＝－y，表示开口向下的抛物线右支．
2．下列各组方程中，表示相同的曲线的是( )
A．y＝x与y＝ B．|x|－|y|＝0与x2－y2＝0
C．y＝与y＝ D．y＝lg x2与y＝2lg x
解析：选B.判断两个方程表示的曲线是否为同一曲线，只需判断两个方程的解集是否相等，也可通过判断两个函数是否是同一函数来解决．
3．(2013·南阳检测)若曲线C的方程为x2－xy＋2y＋1＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是( )
A．(－1,2) B．(1，－2)
C．(2，－3) D．(3,6)
解析：选B.将各点坐标代入代数式x2－xy＋2y＋1得：(－1)2－(－1)×2＋2×2＋1＝8≠0，A错；
12－1×(－2)＋2×(－2)＋1＝0，B对；
22－2×(－3)＋2×(－3)＋1＝5≠0，C错；
32－3×6＋2×6＋1＝4≠0，D错．
4．(2013·延安质检)x＝表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：选D.由已知得x≥0，把x＝两边平方得x2＝1－3y2，即x2＋3y2＝1(x≥0)为椭圆的一部分．
5．(2013·榆林质检)已知定点A(1,0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F，且满足⊥，另有动点P，满足∥，∥(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝4x(x≠0)
C．y2＝－4x D．y2＝－4x(x≠0)
解析：选B.设P(x，y)，E(－1，y1)，F(－1，y2)(y1，y2均不为零)，由∥，得y1＝y，即E(－1，y)．
由∥，得y2＝－，即F(－1，－)．
由⊥，得y2＝4x(x≠0)．故选B.
6．若曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则当k＝______时，曲线C经过点(2，－1)．
解析：将点(2，－1)代入曲线C的方程xy＋3x＋ky＋2＝0，由曲线与方程的概念知，方程成立，即2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，解得k＝6.
答案：6
7．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设点P(x0，y0)，M(x，y)，
则x＝，y＝，∴2x＝x0,2y＝y0.
把点P(x0，y0)的坐标代入－y2＝1，
得－4y2＝1，即x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1
8．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作OM⊥AB，垂足为M，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，∵OM⊥AB，F(2,0)，∴·＝0.
∵＝(x，y)，＝(2－x，－y)，∴x(2－x)－y2＝0，
∴x2＋y2－2x＝0.
答案：x2＋y2－2x＝0
9．(2011·高考课标全国卷改编)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.求C的方程．
解：设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)，
所以＝(－x，－1－y)，
＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
由·＝·，得(＋)·＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
10．已知B为线段MN上一点，MN＝6，BN＝2，过点B作⊙C与MN相切，分别过点M，N作⊙C的切线交于点P，则点P的轨迹是什么？并求它的标准方程．
解：以MN所在直线为x轴，
线段MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系(如图所示)．
设MP，NP分别与⊙C相切于D，E两点，
则有|PM|－|PN|＝|MD|－|NE|＝|MB|－|BN|＝2，
且|MN|>2，所以点P的轨迹是以M，N为焦点，
2a＝2,2c＝6的双曲线的右支(顶点除外)．
由a＝1，c＝3得b2＝8，
所以点P的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B.设P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，则点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的右顶点为B，右焦点为F，设动点P满足|PF|2－|PB|2＝4，则点P的轨迹方程为________．
解析：由题设得B(3,0)，F(2,0)．
设点P(x，y)，则|PF|2＝(x－2)2＋y2，
|PB|2＝(x－3)2＋y2.
由|PF|2－|PB|2＝4，
得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化简得x＝.
故所求点P的轨迹方程为x＝.
答案：x＝
3．(2013·宿州调研)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：法一：如图，设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，∴kPA·kPB＝－1.
而kPA＝＝，kPB＝＝2－y(x≠1)，
∴·＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，
也满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：如图，设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0为所求轨迹方程．
4．当实数a，b变化时，直线l1：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0与直线l2：m2x＋2y＋n＝0都过一个定点，问：点(m，n)应在怎样的曲线上？
解：因为(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝(2x＋y＋1)a＋(x＋y－1)b＝0对于任意的a，b都成立，所以2x＋y＋1＝0且x＋y－1＝0，二者联立，解得x＝－2，y＝3，即直线l1过定点(－2,3)．因此直线l2也过定点(－2,3)，将点坐标代入l2：m2x＋2y＋n＝0，可得－2m2＋6＋n＝0，即n＝2m2－6.
因此点(m，n)在抛物线y＝2x2－6上．1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c＝＝，
故右焦点的坐标为(，0)．
2．(2013·驻马店检测)双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：选D.由双曲线的标准方程知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4.故选D.
3．双曲线－＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为( )
A．7 B．23
C．7或23 D．5或25
解析：选C.依据题意知(5,0)，(－5,0)恰为双曲线的两个焦点，由双曲线的定义得点P到点(－5,0)的距离为15＋8＝23或15－8＝7.
4．(2013·商洛质检)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B.依题意，△PF1F2构成直角三角形，O为F1F2的中点，故|PO|＝|F1F2|，又＋＝2，故|PF1＋|＝2||＝|F1F2|＝2c＝2，故选B.
5．(2013·蚌埠调研)F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：选C.由P是双曲线x2－＝1上一点和3|PF1|＝4|PF2| ①，可得|PF1|－|PF2|＝2 ②，
解①②得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，
则有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2是直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则k＝______.
解析：依题意，双曲线方程可化为－＝1，已知一个焦点为(0,3)，所以－－＝9，解得k＝－1.
答案：－1
7．F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.
解析：由定义，知||PF1|－|PF2||＝2a＝6.两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝100.∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴∠F1PF2＝90°.
答案：90°
8．(2013·安康检测)已知抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E，F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．
解析：方程y＝x2可化为x2＝20y，其焦点为F(0,5)，
所以点E的坐标为(0，－5)，根据题意知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，且其两焦点分别为F，E，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则2a＝6，即a＝3.
又c＝5，b2＝c2－a2＝16，
所以曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
9．求与双曲线－＝1共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
解：由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为－＝1.
由于点(3，2)在所求的双曲线上，
从而有－＝1.
整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14.
又16－k>0,4＋k>0，∴－4从而得k＝4.
故所求双曲线的方程为－＝1.
10．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
解：(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，
所给方程表示椭圆，
此时a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，
这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，
所给方程表示双曲线，
此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，
这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．
1．如图，从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A. B.
C.－ D.＋
解析：选C.|OM|－|MT|＝|PE|－(|MF|－|FT|)
＝|FT|－(|PF|－|PE|)＝－×2×
＝－.
2．方程x2 sin α＋y2 cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α在第________象限．
解析：将方程化为－＝1.
∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，
∴，即，
∴α在第四象限．
答案：四
3．在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意得
·＝，化简得－＝1(x≠±6)．
所以，顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)．
4．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，有＝2，
即y＝±2x(x≠0)．
所以点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线，
所以||PM|－|PN||<|MN|＝2.
又因为||PM|－|PN||＝2|m|>0，
所以0<|m|<1.
所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，
且a2＝m2，c2＝1，
所以b2＝1－m2，
所以－＝1.①
把y＝±2x(x≠0)代入①，得x2＝.
因为1－m2>0，
所以1－5m2>0，
解得0<|m|<，
所以m的取值范围为∪.1．(2013·阜阳质检)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4,5)的抛物线方程为( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．x2＝y D．x2＝－y
解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4,5)代入得p＝，所以，抛物线方程为x2＝y.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB的中点横坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.抛物线y2＝4x中p＝2，弦AB为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝6，即x1＋x2＝4，则＝2，即线段AB的中点横坐标为2.
3．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．0
解析：选B.z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵x≥0，
∴x＝0时，z有最小值，zmin＝3.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B.抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为·||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：选B.抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px，整理得y2－2py－p2＝0，由已知得该方程有两个不相等的实数根，则y1＋y2＝2p，所以p＝＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
6．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，
由于通径长为6，即2|a|＝6，∴a＝±3.
∴适合题意的抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，故直线AF的方程是x＝1.此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
8．(2013·南阳质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：∵F(，0)，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0，∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.故焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
9．已知抛物线y2＝2x.设点A，求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
解：设P(x0，y0)为抛物线y2＝2x上任意一点，则|PA|2＝2＋y＝x＋x0＋＝2＋.
∵x0∈[0，＋∞)，∴当x0＝0时，|PA|＝2＋＝，即|PA|min＝.
∴距点A最近点P的坐标为(0,0)，此时|PA|＝.
10．(2012·高考课标全国卷节选)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程．
解：由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，
即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
1．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：选A.设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为＝＝≥＝，当且仅当m＝时等号成立，此时，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
2．(2013·上饶质检)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.
解析：依题意知抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，又直线AB的斜率为1，故直角梯形有一个内角为45°，故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，则梯形ABCD的面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.
答案：2
3．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB与x轴的夹角)．
证明：(1)y2＝2px(p>0)的焦点为F.
设直线AB的方程为y＝k(k≠0)．
由
消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
∴y1y2＝－p2，x1x2＝＝.
当斜率不存在时，直线AB的方程为x＝.
这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝.
因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝成立．
(2)由抛物线的定义，知|AF|等于点A到准线x＝－的距离．
∴|AF|＝x1＋，同理，|BF|＝x2＋.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.②
又∵y＝k，∴x＝y＋.
∴x1＋x2＝(y1＋y2)＋p.
由方程①知，y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝＋p.③
将③代入②，得
|AB|＝＋2p＝2p＝2p＝.
4．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：
(1)证明：如图所示，
由方程组
消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1·y2＝－1.
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2.∴y·y＝x1x2.
∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝ .
∵S△OAB＝，∴＝ ，解得k＝±.1．已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D.由方程知a＝5，设椭圆的两个焦点为F1，F2，
则|PF1|＋|PF2|＝10，
所以点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.
2．(2013·焦作调研)椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是( )
A．(±2,0) B．(0，±2)
C．(±2，0) D．(0，±2)
解析：选B.椭圆标准方程为＋＝1，
∴椭圆焦点在y轴上，且c2＝8－4＝4，
∴焦点为(0，±2)．
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C.设椭圆的另一个焦点为F(如图)，则△ABC的周长为(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a.
而a2＝3，a＝，∴4a＝4，
即△ABC的周长为4.
4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0,3)，且椭圆经过点(0,4)，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B.∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝＋＝8，
∴a＝4，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
5．(2013·上饶检测)椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
解析：选B.设椭圆的右焦点为F2，
则由|MF1|＋|MF2|＝10，
知|MF2|＝10－2＝8，ONMF2，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
6．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．
解析：由10－k>k－5>0，得5答案：
7．(2013·咸阳检测)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，则点F1，F2的坐标分别是______．
解析：由椭圆的标准方程＋＝1，可得a2＝25，b2＝16，所以c2＝a2－b2＝25－16＝9，即c＝3.则点F1，F2的坐标分别是(－3,0)，(3,0)．
答案：(－3,0)，(3,0)
8．(2013·淮北质检)过点A(－1，－2)且焦点与椭圆＋＝1的两个焦点相同的椭圆的标准方程是________．
解析：＋＝1的焦点坐标为(0，)，(0，－)，∴2a＝＋，
∴a2＝6，∴b2＝a2－c2＝6－3＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．椭圆＋＝1上一点P到两焦点F1，F2的距离之差为2，试判断△PF1F2的形状．
解：不妨设|PF1|>|PF2|，
由|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝2，
解得|PF1|＝5，|PF2|＝3.
因为|F1F2|＝4，所以|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
所以△PF1F2为直角三角形．
10．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
(2)a＝4，c＝；
(3)过点P(－3,2)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由A(，－2)和B(－2，1)两点在椭圆上可得
，即，
解得.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋y2＝1；
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是＋x2＝1.
(3)因为所求的椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为所求椭圆过点P(－3,2)，所以有＋＝1①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1．(2013·南昌质检)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.椭圆方程为＋＝1，
当m>n>0时，有<，∴椭圆焦点在y轴上．
当椭圆焦点在y轴上时，有>>0，
∴m>n>0.∴是充要条件．
2．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左，右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．
解析：因为F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，且正三角形POF2的面积为，所以S△POF2＝|OF2|·|PO|sin 60°＝c2＝，所以c2＝4.
∴点P的坐标为，即P(1，)，∴＋＝1，
又b2＋c2＝a2，所以，解得b2＝2.
答案：2
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．
解：由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.
以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．
设顶点A所在的椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.
故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)．
4．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M，N为焦点，且经过点P的椭圆的方程．
解：如图所示，
以线段MN所在直线为x轴，
线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
M(－c,0)，N(c,0)，P(x0，y0)．
由tan∠PMN＝，tan∠PNx＝tan(π－∠MNP)＝2，
得直线PM，PN的方程分别是y＝(x＋c)，y＝2(x－c)．
联立解得即点P.
又∵S△PMN＝|MN|·y0＝·2c·c＝c2，
∴c2＝1，即c＝，
∴点M，N，P，
∴2a＝|PM|＋|PN|＝，即a＝，
∴b2＝a2－c2＝－＝3，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
