(时间：100分钟，满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列命题①2013年5月12日是周日且是母亲节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x2＝1的解为x＝1或x＝－1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选B.①中有“且”；②中没有逻辑联结词；③中有“或”．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C.原命题是真命题；逆否命题是真命题，其余命题都是假命题．
3．已知命题p：任意x∈R,2x2＋2x＋＜0；命题q：存在x∈R，sin x－cos x＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．﹁p是假命题 D．﹁q是假命题
解析：选D.2x2＋2x＋＜0 (2x＋1)2＜0，p为假；
sin x－cos x＝sin≤，故q为真．∴﹁q为假，故选D.
4．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
解析：选A.因为原命题的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b＜2”显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
5．全称命题“对任意x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
答案：A
6．若A：a∈R，|a|＜1, B：关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.A.a∈R，|a|＜1，即－1＜a＜1；B.由根与系数的关系知a－2＜0，∴a＜2，∵A B，B A，∴A是B的充分不必要条件．
7．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D.互为逆否的两个命题同真假，且一个命题的逆命题与否命题互为逆否，故D正确；互否的两个命题的真假无必然联系，一个命题的逆命题与逆否命题互否，故A不正确；“a＞b”与“a＋c＞b＋c”同真假，即“等价”，故B不正确；关键词“全为”的否定是“不全为”，故C不正确．
8．下列说法中正确的是( )
A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“存在x∈R，x2－x＞0”的否定是“对任意x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
解析：选B.命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，是假命题，故A不正确；命题“p或q”为真命题，则命题“p”和“q”中至少有一个为真命题，故C不正确；x＞2 x＞1，而x＞1 x＞2，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故D不正确．
9．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0且a≠1)的图像不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：选A.由于a＞b，c＞d a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d，却不一定推出a＞b，c＞d.故A中p是q的必要不充分条件，故A正确．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因为x＝1时，有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中p是q的充要条件．
10．下列命题：
①任意x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；③若“a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题；④若命题p：任意x∈R，x2＋1≥1，命题q：存在x∈R，x2－x－1≤0，则命题p且﹁q是真命题．
其中是真命题的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：选A.①中不等式可表示为(x－1)2＋2＞0恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得x＞1；③中由a＞b＞0得＜，而c＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题；④中﹁q：对任意x∈R，x2－x－1＞0，因为f(x)＝x2－x－1，Δ＝5＞0，它的图像与x轴有两个交点，所以﹁q为假命题，则p且﹁q为假命题，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题．请把答案填在题中横线上)
11．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．
解析：“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．
答案：若x≤y，则x2≤y2
12．给出下列两个结论：
①命题“存在x∈R，x2－x＞0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”；
②函数f(x)＝x－sin x(x∈R)有3个零点．
其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：①考查命题的否定，注意特称命题与全称命题的关系，易判断正确；对于②，注意到当x∈，x＞sin x，可以判断函数只有一个零点．
答案：①
13．命题：“存在一个x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵存在一个x∈R,2x2－3ax＋9<0为假命题，则对任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2，即实数α的取值范围为[－2，2]．
答案：[－2，2]
14．设p：＜0，q：0＜x＜m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的值可以是________．(只写出满足条件的一个m值即可)
解析：由＜0，得0＜x＜2，∴p：0＜x＜2，又∵p是q成立的充分不必要条件，∴m＞2，∴m的值可以为大于2的任意一个实数．
答案：3(答案不唯一)
15．已知：①命题“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“所有模相等的向量相等”的否定；
③命题“如果m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“如果A∩B＝A，则A B”的逆否命题．
其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.是真命题．
②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．
如，a＝(1,1)，b＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝，但a≠b.
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”是真命题．因为当m≤1时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m≥0恒成立．故方程有实根．所以其逆否命题也是真命题．
④若A∩B＝A，则A B，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．
答案：①②③
三、解答题(本大题共5小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．判断下列命题的真假：
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若一个整数的末位是0，则它可以被5整除”及其逆命题和否命题；
(3)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(4)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．
解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题．
(2)原命题为真命题．其逆命题为：如果一个整数可以被5整除，那么它的末位数是0，是假命题，由于逆命题为假命题，所以否命题也是假命题．
(3)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真．
(4)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．
17．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，
方程有两个大于1的实数根 ，
解得k＜－2.
所以其充要条件为k＜－2.
18．已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若﹁p是 ﹁q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
解：﹁p：＞2，
解得x＜－2或x＞10，A＝{x|x＜－2或x＞10}．
﹁q：x2－2x＋1－m2＞0，
解得x＜1－m或x＞1＋m，
B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．
∵﹁p是﹁q的必要非充分条件，∴B A，
即 m＞9.
经验证，当m＝9时，也符合题意，∴m≥9.
即实数m的取值范围为[9，＋∞)．
19．p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立 a＝0或 0≤a＜4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根 1－4a≥0 a≤；如果p真且q假，有0≤a＜4且a＞，∴＜a＜4；如果q真且p假，有a＜0或a≥4且a≤，∴a＜0.
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
20．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上是减函数，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围．
解：由于p且q为假命题，p或q为真命题，那么p和q一真一假．
(1)当p真q假时，
那么函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上是减函数，从而可知0＜a＜1.
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴没有两个不同交点，
那么Δ＝(2a－3)2－4≤0，即≤a≤，
此时a的取值范围是.
(2)当p假q真时，
那么函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，
即a＞1.
而曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，
那么Δ＝(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞，
此时a的取值范围是.
综上可知，a的取值范围是∪.(时间：100分钟；满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C. D．(0,1)
解析：选D.椭圆方程变为＋＝1，由题意，得>2.∴0
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
解析：选B.由抛物线方程知其准线为x＝－1，由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
3．已知椭圆＋＝1，F是其右焦点，过F作椭圆的弦AB，设|FA|＝m，|FB|＝n，则＋的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.不妨设AB为椭圆的长轴．
∴||＝m＝1，||＝n＝3，
∴＋＝1＋＝.
4．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
解析：选B.依题可知离心率
e＝＝＝
＝ .
∵a>1，∴0<<1，∴2∈(1,4)．
∴e∈(，)．
5．若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：选A.＋＝1的左焦点F1(－2,0)，
∴＝－8，∴m＝－.
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选C.由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，则c又e∈(0,1)，∴e∈.
7．已知||＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A.设P(x，y)，A(0，y2)，B(x0,0)，
∴(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，
∴x0＝x，y0＝3y.
∵||＝3，∴x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，
化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
8．双曲线－＝1的离心率为e1，双曲线－＝－1的离心率为e2，则e1＋e2的最小值为( )
A．4 B．2
C．2 D．4
解析：选C.双曲线－＝1的离心率e1＝，
同理e2＝.
∴e1＋e2＝＋≥2
＝2≥2.
由于两次等号均在a＝b时取得，
∴e1＋e2最小值为2.
9．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若由线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A.由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，
故可设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，
其中|F1F2|＝2c＝3k，∴c＝k.若圆锥曲线Γ为椭圆，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝6k，∴a＝3k.∴e＝＝＝；
若圆锥由线Γ为双曲线，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2k，∴a＝k.
∴e＝＝＝.
综上所述e的取值为或.
10．如果椭圆C1与双曲线C2共焦点且离心率之积等于1，则称C1与C2互为孪生圆锥曲线．依此定义，与椭圆＋＝1互为孪生圆锥曲线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D.椭圆的焦点坐标为(3,0)，(－3,0)，离心率e1＝，所以双曲线的焦点坐标为(3,0)，(－3,0)，离心率e2＝.由＝得a＝，b2＝c2－a2＝，
故双曲线方程为x2－y2＝1.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题．请把答案填在题中横线上)
11．椭圆＋＝1的离心率为e＝，则m＝________.
解析：分a2＝m，b2＝5和a2＝5，b2＝m两种情况．
答案：3或
12．到定点F(2,0)的距离与到定直线x＝4的距离之比为的动点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，则＝，
即3x2＋4y2－8x＝0.
答案：3x2＋4y2－8x＝0
13．椭圆＋＝1，焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析：不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，
即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
即|PF1|＝，所以|PF1|＝7|PF2|.
答案：7
14．已知椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，B(2,2)是其内一点，M为椭圆上一动点，则|MF1|＋|MB|的最大值与最小值分别是________．
解析：|MF1|＋|MF2|＝10，所以|MF1|＝10－|MF2|，
所以|MF1|＋|MB|＝10－|MF2|＋|MB|
＝10＋(|MB|－|MF2|)
或|MF1|＋|MB|＝10－|MF2|＋|MB|＝10－(|MF2|－|MB|)．所以当|MB|－|MF2|最大时|MF1|＋|MB|有最大值；
当|MF2|－|MB|最大时|MF1|＋|MB|有最小值．
|MB|－|MF2|与|MF2|－|MB|的最大值都是|BF2|＝2.
答案：10＋2，10－2
15．下列四个关于圆锥曲线的命题：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的弦AB(B为动点)，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．其中真命题序号为______．(写出所有真命题的序号)
解析：双曲线的第一定义：平面上的动点P到两定点A，B之间的距离的差的绝对值为常数2a，且2a<|AB|，那么P点的轨迹为双曲线，故①错．由＝(＋)，得P为弦AB的中点，P的轨迹为圆，故②错．设2x2－5x＋2＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝1，可知两根互为倒数，且均为正，故③对.－＝1的焦点坐标为(0，±)，＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，故④错．
答案：③
三、解答题(本大题共5小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由＝，c＝1，得a＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝.
故|AB|＝|x1－x2|＝.
17．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，求E的离心率．
解：由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组，
消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由|AB|＝
＝，
得a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)因为e＝且双曲线的中心在原点，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)可得，双曲线中a＝b＝，所以c＝2，
不妨令F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以kMF1＝，kMF2＝，
所以kMF1·kMF2＝＝－，因为点M(3，m)在双曲线上，
所以9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，
所以MF1⊥MF2，即·＝0.
19．已知点A(12,6)，点M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.
(1)求点M的轨迹方程G；
(2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2，
故所求抛物线方程G为x2＝4y.
(2)如图，易判断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)，则P到x轴的距离即y值，设P到准线y＝－1的距离为d，则y＝d－1.
故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，由抛物线定义知|PF|＝d.
于是|PA|＋d－1＝|PA|＋|PF|－1.
由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值13.
此时直线AF的方程为y＝x＋1，
由，得P点坐标为(3，)．
∴在抛物线G上存在点P(3，)，使得所求距离之和最小为13.
20．如图所示，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2分别为椭圆C的左，右顶点．
(1)若椭圆C上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与(1)中所述椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由已知，得a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1.
∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程，
得
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
则Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，
即3＋4k2－m2>0，
且
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16km＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，
且均满足3＋4k2－m2>0.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点，定点坐标为.1．(2012·高考湖北卷)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：选A.根据充分条件、必要条件的概念判断，当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
2．(2013·延安质检)命题“存在x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是( )
A．存在x∈R，x2－2x＋1≥0
B．存在x∈R，x2－2x＋1＞0
C．对任意x∈R，x2－2x＋1≥0
D．对任意x∈R，x2－2x＋1＜0
解析：选C.因为特称命题p：存在x∈A，p(x)，它的否定是﹁p：对任意x∈A，﹁p(x)，所以命题“存在x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是“对任意x∈R，x2－2x＋1≥0”，故选C.
3．下列命题中是假命题的是( )
A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β
B．对任意x＞0，有lg2x＋lg x＋1＞0
C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
D．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D.对于A，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2x＋lg x＋1＝(lg x＋)2＋≥＞0，因此选项B是真命题；对于C，△ABC中，由A＞B a＞b 2Rsin A＞2Rsin B sin A＞sin B(其中R是△ABC的外接圆半径)，反之也成立，因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x是偶函数，因此选项D是假命题．综上所述，选D.
4．(2013·淮北质检)下列命题说法正确的有________．
①命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为：“若a≤b，则ac2≤bc2”；
②“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；
③对于命题p、q，若p且q为假命题，则命题p、q至少有一个为假命题；
④对于命题p：“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则﹁p：“对任意的x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．
解析：①③④显然正确；当c＝0，a＞b时，ac2＞bc2显然不成立；当ac2＞bc2时，a＞b.所以“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，②不正确．
答案：①③④(时间：100分钟；满分120分)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“对任意的x>0，x2－x≤0”的否定是( )
A．存在x>0，x2－x≤0
B．存在x>0，x2－x>0
C．对于任意的x>0，x2－x>0
D．对于任意的x≤0，x2－x>0
解析：选B.命题“对任意的x>0，x2－x≤0”的否定是“存在x>0，x2－x>0”，故选B.
2．已知p：k>3；q：方程＋＝1表示双曲线，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解析：选A.由k>3得3－k<0，k－1>0，方程＋＝1表示双曲线，因此p是q的充分条件；反过来，由方程＋＝1表示双曲线不能得知，k>3，如k＝0时，方程＋＝1也表示双曲线，因此p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件，选A.
3．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是( )
A．{}
B．{α|≤α≤}
C．{α|≤α≤}
D．{α|≤α≤}
解析：选A.以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，
则M(1，，1)，N(0,1，)，D1(0,0,1)．
设P(x,0,0)，
则＝(1－x，，1)，＝(0,1，－)，
·＝(1－x)·0＋1×＋1×(－)＝0，
∴PM⊥D1N.
4．与椭圆＋＝1有相同的焦点且以y＝±x为渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝－1 D.－＝－1
解析：选B.椭圆＋＝1的焦点为(－5,0)，(5,0)，设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，即－＝1，
由题意知9λ＋16λ＝25，所以λ＝1，故所求的双曲线方程为－＝1.
5．有以下四个命题：
①“对任意x，y∈R，如果xy＝0，则x＝0”的否命题；
②“设a，b为向量，如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题；
③“如果四边形是菱形，则它的四边相等”的逆命题；
④“对任意x，y∈N，如果＋|y|＝0，则x＝0，且y＝0”的否命题．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.①判断原命题的否命题“存在x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0”的真假，也可以判断原命题的逆命题“对任意x，y∈R，如果x＝0，则xy＝0”的真假，∵逆命题与否命题等价，容易得否命题是真命题；
②原命题的逆命题是“设a，b为向量，如果a·b＝0，则a⊥b”，这是一个真命题；
③原命题的逆命题是“如果四边形的四边相等，则它是菱形”，这在立体几何中是不成立的，故它是假命题；
④原命题的否命题是“存在x，y∈N，如果＋|y|≠0，则x≠0或y≠0”，它与逆命题“对任意x，y∈N，如果x＝0，且y＝0，则＋|y|＝0”的真假性相同．∵逆命题是真命题，∴否命题也是真命题．
由以上分析，可知应选A.
6．如图所示，正方体ABCD A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )
解析：选C.P在B′B上时，应为中点，轨迹符合抛物线定义．
7．已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是( )
A．x＝p B．x＝3p
C．x＝p D．x＝p
解析：选D.由|OA|＝|OB|，可得AB⊥x轴，设AB方程为x＝x0，则A(x0，)，B(x0，－)，由AF⊥OB，可得x0＝p.
8.
如图所示，在正四棱锥P ABCD中，PA＝AB，E是AB的中点，G是△PCD的重心，则在平面PCD内过G点且与PE垂直的直线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
解析：选D.取CD的中点F(图略)，设AB＝1，则PE＝PF＝，EF＝1，所以PE⊥PF.又PE⊥CD，PF∩CD＝F，所以PE⊥平面PCD.
9．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．± B.
C. D.
解析：选A.设F1为椭圆＋＝1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.
∵M是PF1的中点，O是F1F2的中点，
∴MO∥PF2，∴PF2⊥x轴．
又半焦距c＝＝3，∴设P(x，y)，则x＝3，
代入椭圆方程，得＋＝1，解得y＝±.
∴M点的纵坐标为±.故应选A.
10．已知＋＝1(m>0，n>0)，则当m＋n取得最小值时，椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.m＋n＝(m＋n)·(＋)＝3＋＋2·≥3＋2，当且仅当＝2·，即n2＝2m2时取等号，
则n2>m2，故e＝ ＝.
二、填空题(本大题共5小题．请把答案填在题中横线上)
11．抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是______．
解析：y2＝x的焦点是F(，0)，F关于y＝x的对称点为(0，)．
答案：(0，)
12．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．
解析：由得3x2＋4x－2＝0.
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝－，
∴＝－，＝＋1＝.
答案：
13．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
解析：＝，＝，
a·＝0，a·＝0，
∴
x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
14．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是______．
解析：依题意得双曲线的右焦点坐标是(3,0)，渐近线方程是y＝± x＝±x，因此双曲线的右焦点到渐近线的距离等于＝.
答案：
15．下列四个命题：
①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；
②若命题p：存在x∈R，x2＋x＋1<0，则﹁p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0；
③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④命题“若0其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题序号都填上)
解析：对于①，原命题的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，所以①错；易知②正确；对于③，命题“﹁p”是真命题，则命题p是假命题，又命题“p或q”为真命题，则命题q一定是真命题，所以③正确；对于④，若01，
∴a<，∴1＋a<＋1，
∴loga(1＋a)>loga(＋1)，所以④错．
故填②③.
答案：②③
三、解答题(本大题共5小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．设p：方程＋y2＝1表示焦点在y上的椭圆，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p或q为真，﹁q也为真，求a的取值范围．
解：p：0q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.
由题意知p正确，且q不正确，
因此，a∈(0,1)∩，即a∈.
故a的取值范围是.
17．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点为(，)．
(1)求此椭圆的离心率；
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．
解：(1)由，
得(b2＋a2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0.
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0 a2＋b2>1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵线段AB的中点为(，)，
∴＝，于是得：a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2.∴e＝.
(2)设椭圆的右焦点为F(c,0)，
则点F关于直线l：y＝－x＋1的对称点为P(1,1－c)，
由已知点P在圆x2＋y2＝5上，
∴1＋(1－c)2＝5，c2－2c－3＝0.
∵c>0，∴c＝3，又∵a2＝2c2，∴a2＝18，a＝3.
∴b＝3，∴椭圆方程为＋＝1.
18．如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD A1B1C1D1，E是线DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解：(1)依题意，得B(1,0,0)，E，A(0,0,0)，D(0,1，0)，
所以＝，＝(0,1,0)．
在正方体ABCD A1B1C1D1中，
因为AD⊥平面ABB1A1，
所以是平面ABB1A1的一个法向量．
设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝.
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，
＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由n·＝0，n·＝0，得
所以x＝z，y＝z.
取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点．
则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．
而B1F 平面A1BE，
于是B1F∥平面A1BE ·n＝0 (t－1,1,0)·(2,1,2)＝0 2(t－1)＋1＝0 t＝ F为C1D1的中点．
这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
19．如图，在三棱锥S ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M为AB的中点．
(1)证明：AC⊥BS；
(2)求二面角S CM A的平面角的余弦值；
(3)求点B到平面SCM的距离．
解：(1)证明：如图所示，取AC的中点O，连接OS，OB.因为SA＝SC，BA＝BC，所以AC⊥SO且AC⊥BO.因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC，所以SO⊥BO.建立空间直角坐标系O xyz，
则A(2,0,0)，C(－2，0,0)，S(0,0,2)，B(0,2，0)．
所以＝(－4,0,0)，＝(0，－2，2)．
因为·＝(－4,0,0)·(0，－2，2)＝0，
所以AC⊥BS.
(2)由(1)得M(1，，0)，
所以＝(3，，0)，＝(2,0,2)，
设n＝(x，y，z)为平面SCM的一个法向量，
则
取z＝1，则x＝－1，y＝，
所以n＝(－1，，1)．又＝(0,0,2)为平面ABC的一个法向量，所以cos〈n，〉＝＝.
所以平面SCM与平面CMA夹角的余弦值为.
(3)(1)(2)得＝(2,2，0)，n＝(－1，，1)为平面SCM的一个法向量．
所以点B到平面SCM的距离为＝.
20．如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
解：(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明：法一：由(1)知y＝x2，y′＝x.
设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.
由得
所以Q.
设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，
即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0. (*)
由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，
所以
解得y1＝1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
法二：由(1)知y＝x2，y′＝x.
设P(x0，y0)，则x0≠0，
且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－x.
由得
所以Q.
取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，－1)；
取x0＝1，此时P，Q，
以PQ为直径的圆为2＋2＝，
交y轴于M3(0,1)或M4.
故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)．
以下证明点M(0,1)就是所要求的点．
因为＝(x0，y0－1)，＝.
·＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．(时间：100分钟；满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.与相等的向量只有.
2．如图所示，在空间四边形OABC中，点M为OA中点，N 为AB中点，P在CN上，且CP＝PN，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b－c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
解析：选A.＝＋＋＝－＋＋
＝－a＋c＋×(＋)
＝－a＋c＋(－＋－)
＝－a＋c＋(a＋b－2c)＝－a＋b＋c.
3．a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6
C．－6 D．±6
解析：选B.∵a⊥b，∴1·m＋5·2－2(m＋2)＝0.
∴m＝6.
4．m＝(8,3，a)，n＝(2b,6,5)，若m∥n，则a＋b的值为( )
A．0 B.
C. D．8
解析：选C.∵m∥n，故(8,3，a)＝k(2b,6,5)，
∴8＝2bk,3＝6k，a＝5k，
∴k＝，故a＝，b＝8，
∴a＋b＝＋8＝.
5．平面α、平面β的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－6，－4，－2)，则α与β的位置关系是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．无法确定
解析：选B.∵a＝－u，∴α∥β.
6．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为( )
A.a B.
C. D.
解析：选D.连接BD，AC交于点O，
则D1O＝ ＝a.
7．在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选B.如图建系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，E(1,1，)．
∵＝(1,0,1)，＝(1,1，)，设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则令x＝1，
则z＝－1，y＝－，∴n＝(1，－，－1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
∴平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.
8．在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.如图，取BC中点E，连接DE，AE，AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，
则AE＝，DE＝，
tan∠ADE＝＝＝.
∴∠ADE＝60°，故选C.
9．在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设正四面体棱长为1，∴||＝，||＝.
又∵＝(＋)，＝－，
∴·＝－，∴cos〈，〉＝＝－.
∴AE与CF夹角的余弦值为.
10．在三棱锥V ABC中，VC⊥平面ACB，∠ACB＝90°，VC＝AC＝BC＝1，则C到平面AVB的距离是( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.建立如图所示的坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，V(0，0,1)，
∴＝(－1,1,0)，＝(0,1，－1)，
＝(0,0，－1)，
设平面AVB的法向量为n＝(x，y，z)，
由解得n＝(1,1,1)．
∴所求距离d＝＝.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题．请把答案填在题中横线上)
11．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为________________．
解析：c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，∵c·a＝0，
且c·b＝0，∴解得m＝－1，n＝2.
答案：－1,2
12．已知点A在基底下的坐标为(8,6,4)，其中，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底下的坐标为________．
解析：8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)
＝12i＋14j＋10k，
∴点A在下的坐标为(12,14,10)．
答案：(12,14,10)
13．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝3||2；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确的命题的序号是________．(把正确命题的序号都填上)
解析：①(＋＋)2＝||2
＝||2＋||2＋||2＝3||2.
正确；
②·(－)＝·≠0；
③△AB1D1是等边三角形，∴∠D1AB1＝60°，
∴〈，〉＝60°；
④|··|＝0.
答案：①③
14．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为CD，BB1的中点，则点F到平面A1D1E的距离为____________．
解析：如图建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，E(1，，0)，F(0，1，)，D1(1,0,1)，A1(0,0,1)
∴＝(0，－，1)，
＝(－1，，)，＝(－1，－，1)．
设平面A1D1E的法向量n＝(x，y，z)，
∴解得.
∴n＝(0,2,1)，n0＝(0，，)．
∴d＝|E·n0|＝＋＝.
答案：
15．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是____________．(填上所有正确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
解析：连接MN交AE于点P(图略)，则MP∥DE，NP∥AB，
∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，
∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置(不在平面ABC内)都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共5小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝.
(1)证明：SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SBC所成角的余弦值．
解：(1)证明：作SO⊥BC，
垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，
得SO⊥平面ABCD.
因为SA＝SB，所以AO＝BO.
又∠ABC＝45°，
所以△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.
如图，建立空间直角坐标系O xyz.
因为AO＝BO＝AB＝，SO＝＝1，
又BC＝2，所以A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，S(0,0,1)，＝(，0，－1)，＝(0,2，0)．
因为·＝0，所以SA⊥BC.
(2)＝＋＝－＝(，－2，－1)，
＝(，0,0)．
与的夹角记为α，SD与平面SBC所成的角记为β，
因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余，
cos α＝＝，sin β＝，cos β＝.
所以SD与平面SBC所成的角的余弦值为.
17．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
(1)试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
(2)当D1E⊥平面AB1F时，求平面C1EF与平面AEF夹角的余弦值．
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)设DF＝x，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E(1，，0)，F(x,1,0)．
所以＝(1，－，－1)，
＝(1,0,1)，＝(x,1,0)．
所以·＝1－1＝0，即D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF ·＝0 x－＝0，即x＝.
故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
(2)当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点．
又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD.
连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.
连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的投影．
所以C1H⊥EF，即∠AHC1是平面C1EF与平面EFA夹角的平面角．
因为C1(1,1,1)，H(，，0)，
所以＝(，，1)，＝(－，－，0)．
所以cos∠AHC1＝＝＝－.
∴平面C1EF与平面AEF的夹角的余弦值为.
18．如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
解：(1)证明：如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz，则O(0,0,0)，B(8，0,0)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．
由题意，得G(0,4,0)．因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，所以平面BOE的一个法向量n＝(0,3,4)，由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则＝(x0－4，y0，－3)．因为FM⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－.即点M的坐标是.在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.
19．如图，在三棱锥P ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求平面BAP与平面APC所成角的余弦值；
(3)求点C到平面APB的距离．
解：(1)证明：∵AC＝BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，∴PC⊥BC，且AC∩BC＝C，
∴PC⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC，∴PC⊥AB.
(2)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C xyz.
则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)．设P(0,0，t)．
∵|PB|＝|AB|＝2，∴t＝2，P(0,0,2)．
取AP的中点E，连接BE，CE，
∵|AC|＝|PC|，|AB|＝|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP.
∴∠BEC是平面BAP与平面APC夹角的平面角．
∵E(0,1,1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，－1，－1)，
∴cos∠BEC＝＝＝.
∴平面BAP与平面APC夹角的余弦值为.
(3)∵AC＝BC＝PC，∴C在平面APB内的投影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．
如(2)建立空间直角坐标系C xyz.
∵＝2，∴点H的坐标为(，，)．
∴||＝.
∴点C到平面APB的距离为.
20．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O，
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz，
则P(0，－，2)，A(0，－，0)，
B(1,0,0)，C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．
设PB与AC所成角为θ，
则cos θ＝＝＝.
(3)由(2)知＝(－1，，0)．
设P(0，－，t)(t＞0)，则＝(－1，－，t)．
设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，
则·m＝0，·m＝0.
所以
令y＝，则x＝3，z＝.
所以m＝.
同理，平面PDC的法向量n＝.
因为平面PBC⊥平面PDC，
所以m·n＝0，即－6＋＝0，
解得t＝.所以PA＝.1．在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，＝，则PG与底面ABCD的夹角的正弦值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.以D为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(，，0)，P(0,0,1)，于是有＝(－，－，1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，
∴ cos〈，〉＝，
∴PG与底面ABCD的夹角的正弦值为.
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.则点A到平面PBC的距离为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.如图，作DE⊥AB于点E，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，于是＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，
即，令y＝1，则n＝(0,1,1)．
又＝(－1,1,1)，故点A到平面PBC的距离
d＝＝＝.
3．已知点E、F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的夹角的正切值等于________．
解析：如图，建立空间直角坐标系．
设面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
设正方体的棱长为1，∵A(1,0,0)，E，F，
∴＝，
＝，则
取x＝1，则y＝－1，z＝3.
故n2＝(1，－1,3)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，
∴面AEF与面ABC所成的夹角的平面角α满足
cos α＝，sin α＝，∴tan α＝.
答案：
4．如图，在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求平面AVD与平面VDB夹角的余弦值．
解：(1)证明：以AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(1,0,0)，D(－1,0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)，
∴＝(0,2,0)，＝(1,0，－)，由·＝(0,2,0)·(1,0，－)＝0，
得⊥，即AB⊥VA.
又AB⊥AD，AD∩VA＝A，
∴AB⊥平面VAD.
(2)设E为DV的中点，则E，
∴＝，＝，＝(1,0，)．
由·＝·(1,0，)＝0，得⊥，
即EB⊥DV.
又EA⊥DV，因此∠AEB即为所求二面角的平面角，
∴cos〈·〉＝＝.
故所求平面AVD与平面VDB夹角的余弦值为.1．(2013·阜阳检测)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.|AB|＝2p＝8，∴p＝4.
2．已知椭圆x2＋ky2＝2k(k>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.y2＝8x的焦点为(2,0)，
椭圆＋＝1(k>0)，∴c2＝2k－2＝4，∴k＝3.
∴a＝＝，∴e＝＝＝.
3．(2013·淮北检测)给出下列命题：
①若椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|＋|PF2|>6，则动点P一定在该椭圆外部；
②以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为圆心，以为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点；
③双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点；
④抛物线y2＝4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析：①不正确，若P(4,0)，满足|PF1|＋|PF2|>6在椭圆内部；
②不正确，两者只有一个交点(0,0)；
③正确，焦点为(±，0)；④正确．
答案：③④
4．设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若椭圆上恒存在点P使∠F1PF2＝120°，求离心率的最小值．
解：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|，
所以4a2－4c2＝|PF1|·|PF2|≤()2＝a2，即3a2－4c2≤0，即3a2≤4c2，≥，≥.
又0