13.3 等腰三角形同步练习（精练）（含解析）
文档属性
| 名称 | 13.3 等腰三角形同步练习（精练）（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-26 16:57:20 | ||
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文档简介
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专题 等腰三角形
一、选择题（共30小题）
1．（2022秋 二道区校级月考）如图，CB＝CA，∠CAD＝68°，AD∥BC，则∠BAD的度数为（ ）
A．121° B．122° C．123° D．124°
2．（2022秋 泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm
3．（2022秋 昭阳区校级月考）等腰三角形的周长为25cm，其中一边长9cm，则其腰长为（ ）
A．8cm或9cm B．8cm C．9cm D．以上都不对
4．（2022秋 九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
5．（2022秋 吴江区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2022秋 姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．（2022秋 临平区月考）等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．10
8．（2022秋 锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交于AC于D点，则∠DBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．（2022秋 荆州月考）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．7cm B．4cm C．4cm或7cm D．5.5cm或4cm
10．（2022秋 崇川区校级月考）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
11．（2021秋 南宁期末）如图在长方形台球桌上打台球时，球的入射角∠1等于反射角∠2．如果击打白球时入射角∠1＝30°，恰好使白球在上边框的点A处反弹后进入袋中，点A到右边框BC的距离为3，则白球从点A到进袋所走过的路径AC约为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2021秋 宜阳县期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．9
13．（2021秋 市中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
14．（2022春 法库县期中）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
15．（2022春 沙坪坝区校级期中）如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（ ）
A．14° B．16° C．18° D．24°
16．（2022 梅江区校级开学）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．80°
17．（2022春 顺德区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
18．（2022春 渝中区校级期末）下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若 AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若 AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
19．（2022 桥西区校级模拟）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
20．（2022春 秀屿区校级期末）三角形三边长为a，b，c满足|a﹣4|（c﹣3）2＝0，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
21．（2021秋 孟村县期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．无法确定
22．（2022 丰顺县校级开学）若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（ ）
（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2022 鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
24．（2022 泌阳县四模）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
25．（2022春 丽水期末）如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形ABC是等边三角形，∠A＝60°，当时针OP正对点A时恰好是12：00．若时针OP与三角形ABC一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A．1：00 B．3：00 C．5：00 D．8：00
26．（2022春 保山期末）如图，等边三角形OAB的边长为2，则三角形OAB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．
27．（2022 大名县三模）如图，△ABC是等边三角形，a∥b，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．28°
28．（2022秋 南关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
29．（2022春 元宝区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝6，则BN的长为（ ）
A．6 B．9 C．6 D．9
30．（2022 海港区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
二、填空题（共9小题）
31．（2022秋 兴化市校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝ ．
32．（2022秋 秦都区校级月考）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
33．（2022秋 二道区校级月考）如图，∠A＝m°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠EDF＝ °（用m表示）．
34．（2022秋 任城区校级月考）在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．在下列结论中：
①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③∠BDC＝72°；④AD＝BD＝BC．上述结论中，正确的有 ．（填写序号）
35．（2022秋 博罗县期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号）
36．（2022秋 崇川区校级月考）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
37．（2022 涧西区一模）如图，两块完全一样的含30°角的三角板完全重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好经过下面一块三角板的直角顶点，已知∠A＝30°，BC＝2，则此时两直角顶点C，C'间的距离是 ．
38．（2022春 保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 ．
39．（2021秋 华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
三、解答题（共13小题）
40．（2021秋 建邺区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．
求证：△AED为等边三角形．
41．（2022春 府谷县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC于点E．求证：△ADE是等边三角形．
42．（2022春 七里河区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
43．（2022春 抚州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
44．（2021秋 宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
45．（2021秋 滑县期末）请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明．
命题：平行于等边三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形是等边三角形．
已知：如图， ．
求证： ．
证明：
46．（2022 市北区校级二模）有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是7的大正三角形图中一共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从最简单的图形开始探究．
（1）在边长为2的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2个，正立的边长为2的正三角形有1个，倒立的正三角形有1个．
（2）在边长为3的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3个，正立的边长为2的正三角形有1+2个，正立的边长为3的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2个．
（3）在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2的正三角形有 个，正立的边长为3的正三角形有 个， ；倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的正三角形有1个．
（4）在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个，正立的边长为2的正三角形有 个，正立的边长为3的正三角形有 个， ；倒立的边长为1的正三角形有 个，倒立的边长为2的正三角形有 个；
（5）那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是7的大正三角形中，一共有 个等边三角形．
（6）解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题：
在如图所示的图中，一共有 个等边三角形．
47．（2021秋 长春期末）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
48．（2022秋 高新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，EF＝4，F为AB中点，则AB+AD﹣DE＝ ．
49．（2022春 新泰市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求证：CD＝BE．
50．（2022 清苑区二模）将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．
（1）求剪掉部分的铁丝长度．
（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．
51．（2022春 长寿区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC．点D为BC边上一点，∠B＝30°，BD＝2．求△ADC的周长（结果保留根号）．
52．（2022春 通道县期末）如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与吴敏所在河岸的直线成15°角，然后沿直线行走100米到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°的角，问河宽是多少米？
一、选择题（共30小题）
1．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠C＝68°，
∵CB＝CA，
∴∠CAB56°，
∴∠BAD＝∠CAB+∠DAC＝56°+68°＝124°，
故选：D．
2．【解答】解：∵等腰三角形一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，
∴可知有两种情况：①此等腰三角形腰长与底边长为之差为3cm，②底边长与腰长之差为3cm．
又∵底边长为6cm，
∴其腰长为9m或3cm．
又∵三角形两边之和要大于第三边，可是如果要为3，则3+3＝6，不为三角形了，
故选：C．
3．【解答】解：若9cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：25﹣2×9＝7（cm），此时三角形的三边长分别为9cm，9cm，7cm，符合三角形的三边关系；
若9cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（25﹣9）÷2＝8（cm），此时三角形的三边长分别为8cm，8cm，9cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为9cm或8cm，
故选：A．
4．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AEAB＝2.5，
故选：A．
5．【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BEBC＝4，
∴AE3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
6．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
7．【解答】解：如图：
在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，BD是AC边上的中线，
∴AD＝DCAC，
∴AD＝DCAC，
分两种情况：
当（AB+AD）﹣（BC+CD）＝3时，
∴AB﹣BC＝3，
∴AB＝8，
当（BC+CD）﹣（AB+AD）＝3时，
∴BC﹣AB＝3，
∴AB＝2，
∴2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，
综上所述：腰长为8，
故选：B．
8．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB的垂直平分线MN交于AC于D点，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
9．【解答】解：当腰是4cm时，则另两边是4cm，7cm，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的底边为7cm，
当底边是4cm时，另两边长是cm，cm，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：C．
10．【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形时，
∵CA＝CB，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠B（180°﹣∠ACD）＝75°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：75°：30°＝5：2；
如图，△ABC是钝角三角形时，
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝150°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B（180°﹣∠ACD）＝15°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：15°：150°＝1：10；
故选：D．
11．【解答】解：由题意可得：∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2＝30°，
∴∠3＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝6．
故选：D．
12．【解答】解：∵0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为3，2，2，则周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为，2，3，3，周长为8．
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：C．
13．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，
∴BN+NC+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC＝24（cm），
∴AC＝14cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝14cm，
故选：C．
14．【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：D．
15．【解答】解：如图：
∵∠C＝38°，DE＝CE，
∴∠CDE＝∠C＝38°，
∴∠DEB＝∠CDE+∠C＝38°+38°＝76°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝76°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣76°＝14°．
故选：A．
16．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．
故选：C．
17．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2＜AP＜4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
18．【解答】解：A．∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），故本选项不符合题意；
B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C的度数是180°90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A＝20°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D．∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∵∠C＝40°，
∴∠A＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，故本选项符合题意；
故选：D．
19．【解答】解：等边三角形的每一个内角均为60°，
由图可知该三角形有一个内角为30°，
故这个三角形不可能为等边三角形，
故选D．
20．【解答】解：∵|a﹣4|（c﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，5﹣b＝0，c﹣3＝0，
∴a＝4，b＝5，c＝3，
∵a2+c2＝16+9＝25，b2＝25，
∴a2+c2＝b2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：D．
21．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝∠EFA120°，
∴∠GAF＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠GFA＝60°，
∴△GAF是等边三角形，
故选：B．
22．【解答】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形；
等边三角形是特殊的等腰三角形．
所以前三项正确，即正确有三个．
故选：C．
23．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
24．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠1＝45°，
∴∠1+∠ACB＝105°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．
故选：A．
25．【解答】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：
当OP∥AB时，如图2（1），此时对应的时间为1：00或7：00；
当OP∥AC时，如图2（2），此时对应的时间为5：00或11：00；
当OP∥BC时，如图2（3），此时对应的时间为3：00或9：00；
故选：D．
26．【解答】解：过B作BD⊥OA于点D，
∵等边三角形OAB的边长为2，
∴AD＝1（三线合一），
∴BD，
∵△OABAO×BD，
∴△OAB2，
故选：D．
27．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵∠1＝32°，
∴∠3＝88°．
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝88°．
∵∠4＝∠C+∠2，
∴∠2＝∠4﹣∠C＝28°．
故选：D．
28．【解答】解：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC，
∵BC＝15cm，
∴MN＝5cm．
故选：A．
29．【解答】解：连接AM，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴AB＝2AM，
∵BE⊥BC，
∴∠AMD＝∠EBD＝90°，
∵D为BM的中点，
∴DM＝DB，
在△AMD和△EBD中，
，
∴△AMD≌△EBD（ASA），
∴AM＝BE＝6，
∴AB＝12，
∴BM6，
∵MN⊥AB，∠ABC＝30°，
∴MNBM＝3，
∴BN9．
故选：B．
30．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABCBC ADAC BQ，
∴BQ9.6．
故选：A．
二、填空题（共9小题）
31．【解答】解：过点P作PD⊥OB，垂足为D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPD＝90°﹣∠AOB＝30°，
∵OP＝16，
∴ODOP＝8，
∵PM＝PN，PD⊥MN，
∴DMMN＝2，
∴OM＝OD﹣DM＝6，
故答案为：6．
32．【解答】解：如图，作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短．
∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ＝PQ′，
∴PQ+CP＝PC+PQ′＝CQ′
∴此时PC+PQ最短（垂线段最短）．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴AC2，
∵ AC BC AB CQ′，
∴CQ′．
∴PC+PQ的最小值为．
故答案为：．
33．【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠A＝m°，
∴∠CBD＝2m°，
∵BC＝CD，
∴∠BDC＝∠CBD＝2m°，
∴∠ECD＝∠A+∠BDC＝3m°，
∵CD＝DE，
∴∠CED＝∠ECD＝3m°，
∴∠EDF＝∠A+∠CED＝4m°，
故答案为：4m．
34．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，
故②正确；
在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．
故③正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD
∵∠BDC＝∠C＝36°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故④正确．
故答案为：①②③④．
35．【解答】解：①连接OB，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，
故①选项正确；
②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故②选项不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
36．【解答】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分，
∴或，
解得或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．
故答案为：18cm或12cm．
37．【解答】解：如图，连接CC'，
∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AC2，
∵点M是AC中点，
∴AM＝CMAC，
根据旋转的性质可得：CM＝C'M，AM＝A'M，
∴A'M＝MC＝C'M＝4，
∴∠A'＝∠A'CM＝30°，
∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M，
∴△CMC'是等边三角形，
∴C'C＝CM．
故答案为：．
38．【解答】解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∵BC＝6，BB′＝2，
∴B′C＝6﹣2＝4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴A′C＝A′B′＝4，
故答案为：4．
39．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（共13小题）
40．【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠EAB＝∠DAC＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠B＝60°，∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ADC＝60°，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
41．【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，
∴∠EAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
42．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
43．【解答】证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
44．【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
45．【解答】解：已知：如图，△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC．
求证：△AEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴AE＝AF＝EF，
∴△AEF是等边三角形．
故答案为：△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC；
△AEF是等边三角形．
46．【解答】解：（3）结合图中的等边三角形和（1）（2）中的方法得：
在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2的正三角形有1+2+3个，正立的边长为3的正三角形有1+2个，正立的边长为4的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的正三角形有1个．
（4）结合图中的等边三角形和（1）（2）中的方法得：
在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个，正立的边长为2的正三角形有 1+2+3+4个，正立的边长为3的正三角形有 1+2+3个，正立的边长为4的正三角形有1+2个，正立的边长为5的正三角形有 1个；倒立的边长为1的正三角形有 1+2+3+4个，倒立的边长为2的正三角形有 1+2个；
（5）由前面的四个结果，得出规律，如果边长是7的大正三角形中，一共有 118个等边三角形．
6）用同样得思维模式得，一共有 46个等边三角形．
47．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
48．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BFAB＝5，
在Rt△BFE中，EF＝4，
∴BF3，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF＝5，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8，
∴DE＝DF+EF＝8+4＝12，
∴AB+AD﹣DE＝10+5﹣12＝3，
故答案为：3．
49．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠5+∠4＝90°，
∴∠5＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）由（1）知，∠4＝∠2，
∴AE＝DE，
∵AD＝AD，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝AE，
∴CD＝AE＝DE＝BE．
50．【解答】解：（1）（12m+9n﹣3）﹣2（m+n）﹣（2m+n）
＝12m+9n﹣3﹣2m﹣2n﹣2m﹣n
＝12m+9n﹣3，
答：剪掉部分的铁丝长度为12m+9n﹣3；
（2）当2（m+n）+（2m+n）＝20时，
∴2m+2n+2m+n＝20，
∴4m+3n＝20，
∴12m+9n﹣3＝3（4m+3n）﹣3＝3×20﹣3＝57，
答：铁丝的长度为57．
51．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC．
∴BCAC＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴AD2，
∴△ADC的周长＝AD+CD+AC＝2+13．
52．【解答】解：由题意得∠DAB＝15°，∠DBC＝30°，DC⊥BC，AB＝100m，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAB＝30°﹣15°＝15°＝∠DAB，
∴DB＝AB＝100m，
在Rt△DBC中，DCBD（m）．
答：这条河宽是50m
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专题 等腰三角形
一、选择题（共30小题）
1．（2022秋 二道区校级月考）如图，CB＝CA，∠CAD＝68°，AD∥BC，则∠BAD的度数为（ ）
A．121° B．122° C．123° D．124°
2．（2022秋 泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm
3．（2022秋 昭阳区校级月考）等腰三角形的周长为25cm，其中一边长9cm，则其腰长为（ ）
A．8cm或9cm B．8cm C．9cm D．以上都不对
4．（2022秋 九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
5．（2022秋 吴江区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2022秋 姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．（2022秋 临平区月考）等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．10
8．（2022秋 锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交于AC于D点，则∠DBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．（2022秋 荆州月考）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．7cm B．4cm C．4cm或7cm D．5.5cm或4cm
10．（2022秋 崇川区校级月考）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
11．（2021秋 南宁期末）如图在长方形台球桌上打台球时，球的入射角∠1等于反射角∠2．如果击打白球时入射角∠1＝30°，恰好使白球在上边框的点A处反弹后进入袋中，点A到右边框BC的距离为3，则白球从点A到进袋所走过的路径AC约为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2021秋 宜阳县期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．9
13．（2021秋 市中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
14．（2022春 法库县期中）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
15．（2022春 沙坪坝区校级期中）如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（ ）
A．14° B．16° C．18° D．24°
16．（2022 梅江区校级开学）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．80°
17．（2022春 顺德区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
18．（2022春 渝中区校级期末）下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若 AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若 AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
19．（2022 桥西区校级模拟）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
20．（2022春 秀屿区校级期末）三角形三边长为a，b，c满足|a﹣4|（c﹣3）2＝0，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
21．（2021秋 孟村县期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．无法确定
22．（2022 丰顺县校级开学）若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（ ）
（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2022 鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
24．（2022 泌阳县四模）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
25．（2022春 丽水期末）如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形ABC是等边三角形，∠A＝60°，当时针OP正对点A时恰好是12：00．若时针OP与三角形ABC一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A．1：00 B．3：00 C．5：00 D．8：00
26．（2022春 保山期末）如图，等边三角形OAB的边长为2，则三角形OAB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．
27．（2022 大名县三模）如图，△ABC是等边三角形，a∥b，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．28°
28．（2022秋 南关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
29．（2022春 元宝区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝6，则BN的长为（ ）
A．6 B．9 C．6 D．9
30．（2022 海港区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
二、填空题（共9小题）
31．（2022秋 兴化市校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝ ．
32．（2022秋 秦都区校级月考）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
33．（2022秋 二道区校级月考）如图，∠A＝m°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠EDF＝ °（用m表示）．
34．（2022秋 任城区校级月考）在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．在下列结论中：
①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③∠BDC＝72°；④AD＝BD＝BC．上述结论中，正确的有 ．（填写序号）
35．（2022秋 博罗县期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号）
36．（2022秋 崇川区校级月考）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
37．（2022 涧西区一模）如图，两块完全一样的含30°角的三角板完全重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好经过下面一块三角板的直角顶点，已知∠A＝30°，BC＝2，则此时两直角顶点C，C'间的距离是 ．
38．（2022春 保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 ．
39．（2021秋 华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
三、解答题（共13小题）
40．（2021秋 建邺区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．
求证：△AED为等边三角形．
41．（2022春 府谷县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC于点E．求证：△ADE是等边三角形．
42．（2022春 七里河区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
43．（2022春 抚州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
44．（2021秋 宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
45．（2021秋 滑县期末）请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明．
命题：平行于等边三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形是等边三角形．
已知：如图， ．
求证： ．
证明：
46．（2022 市北区校级二模）有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是7的大正三角形图中一共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从最简单的图形开始探究．
（1）在边长为2的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2个，正立的边长为2的正三角形有1个，倒立的正三角形有1个．
（2）在边长为3的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3个，正立的边长为2的正三角形有1+2个，正立的边长为3的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2个．
（3）在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2的正三角形有 个，正立的边长为3的正三角形有 个， ；倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的正三角形有1个．
（4）在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个，正立的边长为2的正三角形有 个，正立的边长为3的正三角形有 个， ；倒立的边长为1的正三角形有 个，倒立的边长为2的正三角形有 个；
（5）那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是7的大正三角形中，一共有 个等边三角形．
（6）解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题：
在如图所示的图中，一共有 个等边三角形．
47．（2021秋 长春期末）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
48．（2022秋 高新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，EF＝4，F为AB中点，则AB+AD﹣DE＝ ．
49．（2022春 新泰市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求证：CD＝BE．
50．（2022 清苑区二模）将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．
（1）求剪掉部分的铁丝长度．
（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．
51．（2022春 长寿区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC．点D为BC边上一点，∠B＝30°，BD＝2．求△ADC的周长（结果保留根号）．
52．（2022春 通道县期末）如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与吴敏所在河岸的直线成15°角，然后沿直线行走100米到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°的角，问河宽是多少米？
一、选择题（共30小题）
1．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠C＝68°，
∵CB＝CA，
∴∠CAB56°，
∴∠BAD＝∠CAB+∠DAC＝56°+68°＝124°，
故选：D．
2．【解答】解：∵等腰三角形一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，
∴可知有两种情况：①此等腰三角形腰长与底边长为之差为3cm，②底边长与腰长之差为3cm．
又∵底边长为6cm，
∴其腰长为9m或3cm．
又∵三角形两边之和要大于第三边，可是如果要为3，则3+3＝6，不为三角形了，
故选：C．
3．【解答】解：若9cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：25﹣2×9＝7（cm），此时三角形的三边长分别为9cm，9cm，7cm，符合三角形的三边关系；
若9cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（25﹣9）÷2＝8（cm），此时三角形的三边长分别为8cm，8cm，9cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为9cm或8cm，
故选：A．
4．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AEAB＝2.5，
故选：A．
5．【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BEBC＝4，
∴AE3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
6．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
7．【解答】解：如图：
在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，BD是AC边上的中线，
∴AD＝DCAC，
∴AD＝DCAC，
分两种情况：
当（AB+AD）﹣（BC+CD）＝3时，
∴AB﹣BC＝3，
∴AB＝8，
当（BC+CD）﹣（AB+AD）＝3时，
∴BC﹣AB＝3，
∴AB＝2，
∴2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，
综上所述：腰长为8，
故选：B．
8．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB的垂直平分线MN交于AC于D点，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
9．【解答】解：当腰是4cm时，则另两边是4cm，7cm，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的底边为7cm，
当底边是4cm时，另两边长是cm，cm，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：C．
10．【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形时，
∵CA＝CB，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠B（180°﹣∠ACD）＝75°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：75°：30°＝5：2；
如图，△ABC是钝角三角形时，
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝150°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B（180°﹣∠ACD）＝15°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：15°：150°＝1：10；
故选：D．
11．【解答】解：由题意可得：∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2＝30°，
∴∠3＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝6．
故选：D．
12．【解答】解：∵0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为3，2，2，则周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为，2，3，3，周长为8．
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：C．
13．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，
∴BN+NC+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC＝24（cm），
∴AC＝14cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝14cm，
故选：C．
14．【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：D．
15．【解答】解：如图：
∵∠C＝38°，DE＝CE，
∴∠CDE＝∠C＝38°，
∴∠DEB＝∠CDE+∠C＝38°+38°＝76°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝76°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣76°＝14°．
故选：A．
16．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．
故选：C．
17．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2＜AP＜4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
18．【解答】解：A．∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），故本选项不符合题意；
B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C的度数是180°90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A＝20°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D．∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∵∠C＝40°，
∴∠A＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，故本选项符合题意；
故选：D．
19．【解答】解：等边三角形的每一个内角均为60°，
由图可知该三角形有一个内角为30°，
故这个三角形不可能为等边三角形，
故选D．
20．【解答】解：∵|a﹣4|（c﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，5﹣b＝0，c﹣3＝0，
∴a＝4，b＝5，c＝3，
∵a2+c2＝16+9＝25，b2＝25，
∴a2+c2＝b2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：D．
21．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝∠EFA120°，
∴∠GAF＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠GFA＝60°，
∴△GAF是等边三角形，
故选：B．
22．【解答】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形；
等边三角形是特殊的等腰三角形．
所以前三项正确，即正确有三个．
故选：C．
23．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
24．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠1＝45°，
∴∠1+∠ACB＝105°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．
故选：A．
25．【解答】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：
当OP∥AB时，如图2（1），此时对应的时间为1：00或7：00；
当OP∥AC时，如图2（2），此时对应的时间为5：00或11：00；
当OP∥BC时，如图2（3），此时对应的时间为3：00或9：00；
故选：D．
26．【解答】解：过B作BD⊥OA于点D，
∵等边三角形OAB的边长为2，
∴AD＝1（三线合一），
∴BD，
∵△OABAO×BD，
∴△OAB2，
故选：D．
27．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵∠1＝32°，
∴∠3＝88°．
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝88°．
∵∠4＝∠C+∠2，
∴∠2＝∠4﹣∠C＝28°．
故选：D．
28．【解答】解：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC，
∵BC＝15cm，
∴MN＝5cm．
故选：A．
29．【解答】解：连接AM，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴AB＝2AM，
∵BE⊥BC，
∴∠AMD＝∠EBD＝90°，
∵D为BM的中点，
∴DM＝DB，
在△AMD和△EBD中，
，
∴△AMD≌△EBD（ASA），
∴AM＝BE＝6，
∴AB＝12，
∴BM6，
∵MN⊥AB，∠ABC＝30°，
∴MNBM＝3，
∴BN9．
故选：B．
30．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABCBC ADAC BQ，
∴BQ9.6．
故选：A．
二、填空题（共9小题）
31．【解答】解：过点P作PD⊥OB，垂足为D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPD＝90°﹣∠AOB＝30°，
∵OP＝16，
∴ODOP＝8，
∵PM＝PN，PD⊥MN，
∴DMMN＝2，
∴OM＝OD﹣DM＝6，
故答案为：6．
32．【解答】解：如图，作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短．
∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ＝PQ′，
∴PQ+CP＝PC+PQ′＝CQ′
∴此时PC+PQ最短（垂线段最短）．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴AC2，
∵ AC BC AB CQ′，
∴CQ′．
∴PC+PQ的最小值为．
故答案为：．
33．【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠A＝m°，
∴∠CBD＝2m°，
∵BC＝CD，
∴∠BDC＝∠CBD＝2m°，
∴∠ECD＝∠A+∠BDC＝3m°，
∵CD＝DE，
∴∠CED＝∠ECD＝3m°，
∴∠EDF＝∠A+∠CED＝4m°，
故答案为：4m．
34．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，
故②正确；
在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．
故③正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD
∵∠BDC＝∠C＝36°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故④正确．
故答案为：①②③④．
35．【解答】解：①连接OB，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，
故①选项正确；
②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故②选项不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
36．【解答】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分，
∴或，
解得或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．
故答案为：18cm或12cm．
37．【解答】解：如图，连接CC'，
∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AC2，
∵点M是AC中点，
∴AM＝CMAC，
根据旋转的性质可得：CM＝C'M，AM＝A'M，
∴A'M＝MC＝C'M＝4，
∴∠A'＝∠A'CM＝30°，
∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M，
∴△CMC'是等边三角形，
∴C'C＝CM．
故答案为：．
38．【解答】解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∵BC＝6，BB′＝2，
∴B′C＝6﹣2＝4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴A′C＝A′B′＝4，
故答案为：4．
39．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（共13小题）
40．【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠EAB＝∠DAC＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠B＝60°，∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ADC＝60°，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
41．【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，
∴∠EAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
42．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
43．【解答】证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
44．【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
45．【解答】解：已知：如图，△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC．
求证：△AEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴AE＝AF＝EF，
∴△AEF是等边三角形．
故答案为：△ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC；
△AEF是等边三角形．
46．【解答】解：（3）结合图中的等边三角形和（1）（2）中的方法得：
在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2的正三角形有1+2+3个，正立的边长为3的正三角形有1+2个，正立的边长为4的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的正三角形有1个．
（4）结合图中的等边三角形和（1）（2）中的方法得：
在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个，正立的边长为2的正三角形有 1+2+3+4个，正立的边长为3的正三角形有 1+2+3个，正立的边长为4的正三角形有1+2个，正立的边长为5的正三角形有 1个；倒立的边长为1的正三角形有 1+2+3+4个，倒立的边长为2的正三角形有 1+2个；
（5）由前面的四个结果，得出规律，如果边长是7的大正三角形中，一共有 118个等边三角形．
6）用同样得思维模式得，一共有 46个等边三角形．
47．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
48．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BFAB＝5，
在Rt△BFE中，EF＝4，
∴BF3，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF＝5，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8，
∴DE＝DF+EF＝8+4＝12，
∴AB+AD﹣DE＝10+5﹣12＝3，
故答案为：3．
49．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠5+∠4＝90°，
∴∠5＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）由（1）知，∠4＝∠2，
∴AE＝DE，
∵AD＝AD，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝AE，
∴CD＝AE＝DE＝BE．
50．【解答】解：（1）（12m+9n﹣3）﹣2（m+n）﹣（2m+n）
＝12m+9n﹣3﹣2m﹣2n﹣2m﹣n
＝12m+9n﹣3，
答：剪掉部分的铁丝长度为12m+9n﹣3；
（2）当2（m+n）+（2m+n）＝20时，
∴2m+2n+2m+n＝20，
∴4m+3n＝20，
∴12m+9n﹣3＝3（4m+3n）﹣3＝3×20﹣3＝57，
答：铁丝的长度为57．
51．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC．
∴BCAC＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴AD2，
∴△ADC的周长＝AD+CD+AC＝2+13．
52．【解答】解：由题意得∠DAB＝15°，∠DBC＝30°，DC⊥BC，AB＝100m，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAB＝30°﹣15°＝15°＝∠DAB，
∴DB＝AB＝100m，
在Rt△DBC中，DCBD（m）．
答：这条河宽是50m
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