7.1两个基本计数原理 苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 7.1两个基本计数原理 苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 930.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-25 16:13:41 | ||
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文档简介
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7.1两个基本计数原理苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在一个正六边形的六个区域涂色如图，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域有公共边涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂某地区安排五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且两人安排在同一个地区，两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
某班班会准备从含甲、乙的名学生中选取人发言，要求甲、乙人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
四种不同的颜色涂在如图所示的个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有种．( )
A. B. C. D.
在一个正六边形的六个区域涂色如图，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域有公共边涂不同的颜色．现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展、体艺特长、实践创新、生涯找划、国际视野、公民素养、大学先修、项目课程八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则( )
A. 某学生从中选类，共有种选法
B. 课程“”、“”排在不相邻两天，共有种排法
C. 课程中“”、“”、“”排在相邻三天，且“”只能排在“”与“”的中间，共有种排法
D. 课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有种排法
下列判断正确的为( )
A. 从名男同学和名女同学中选出人，则至少有名女同学的选法有种
B. 如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数如，，那么由，，，可以组成个凹数( )
C. 某会议厅有个门，某人选择一个门进，选择一个门出，则有种不同的走法
D. 已知，，则不同取值的个数为
高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为种
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种
在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是．( )
A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
某学校安排名高三教师去个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种．
假设今天是月日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天月日月日内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为 ．
未来空气质量预报
明天 后天 周日 周一 周二 周三
月日 月日 月日 月日 月日 月日
优 优 优 优 良 良
某种产品有只次品和只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______用数字作答
用种不同的颜色给如图标有，，，的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻有公共边两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有______________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
现有高二四个班学生人，其中一、二、三、四班各人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组．
选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
每班选一名组长，有多少种不同的选法？
推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
本小题分
用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数．
可组成多少个不同的四位数？
可组成多少个不同的四位偶数？
本小题分
本题每小问分，共分，均用数字回答，不必写过程
有名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果( )
用，，，，这五个数字可以组成比大，且百位数字不是的没有重复 数字的五位数的个数是( )
由，，，，组成没有重复数字且，都不与相邻的五位数的个数是( )
位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )
书架上某层有本书，新买本插进去，要保持原有本书的顺序，有_____种不同的插法具体数字作答
个不同的元素排成前后两排，每排个元素，那么不同的排法种数是( )
本小题分
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共节课
如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
原定的节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理节课，若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
本小题分
某校高中部，高一有个班，高二有个班，高三有个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
任选个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
三个年级各选个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
选个班的学生参加社会实践活动，要求这个班不同年级，有多少种不同的选法？
本小题分
现有高二四个班学生人，其中一、二、三、四班各人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组．
每班选一名组长，有多少种不同的选法？
推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用，考查分类思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
根据题意，分种情况讨论：，考虑、、种同一种植物，，考虑、、种二种植物，，考虑、、种三种植物，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：考虑、、种同一种植物，此时共有种方法．
考虑、、种二种植物，此时共有种方法．
考虑、、种三种植物，此时共有种方法．
故总计有种方法．
故答案为：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
按元素的性质进行分类处理，即可解决问题．
【解答】
解：既会唱歌又会跳舞的有人，只会唱歌的有人，只会跳舞的有人，
若选出人，没有既会唱歌又会跳舞，有种，
若选出人只有人既会唱歌又会跳舞，有种，
若选出人全部既会唱歌又会跳舞，有种，
则共有种．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题．
根据已知条件，可分三类：第一类：两人不和，中的某一个在一起；第二类：两人和共三人在一起；第三类：两人和共三人在一起分别求出每一类中的分配方法，再利用分类加法计数原理即可求解．
【解答】
解：根据已知条件，可分三类：
第一类：两人不和，中的某一个在一起，则在三个地区中任选一个安排，所以的安排方法有种，接着，在另外的两个地区各选一个，安排方法有中，最后，可在三个地区中任选一个，安排方法有种，这时不同的分配方法有种；
第二类：两人和共三人在一起，则这三人在三个地区中任选一个，所以他们的安排方法有种，，在剩下的两个地区中各选一个，安排方法有种，所以这时不同的分配方法有种；
第三类：两人和共三人在一起，则与第二类同理，这时不同的分配方法有种；
因此，根据分类加法计数原理，不同的分配方法有种；
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键．
根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分种情况讨论，
若甲乙其中一人参加，则有种情况；
若甲乙两人都参加，有种情况；
则不同的发言顺序种数种．
故答案选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的综合应用、两个计数原理的应用，属中档题．
所求的五位数万位和个位讨论求解即可．
【解答】
解：当五位数的万位数字为时，个位数字可以是，，
此时满足条件的偶数共有个
当五位数的万位数字为时，个位数字可以是，，，
此时满足条件的偶数共有个，
所以比大的偶数共有个，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两个计数原理的应用，属于中档题．
每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，、不同色和、同色两大类．
【解答】
解：先涂有种颜色可选，再涂有种颜色可选，
剩下的分两种情况：
、不同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种；
、同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种，
共有种．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两个计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，结合题意中图形的位置关系，分两大类分别考虑，最后根据分类计数原理，便可得到不同的涂色方案种数．
【解答】
解：第一类：若区域与区域相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，
则不同的涂色方案有种；
第二类：若区域与区域不相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，
再分类，若区域与区域相同，涂区域有种方法；若区域与区域不相同，涂区域，有种方法；
则不同的涂色方案有种；
根据分类计数原理，不同的涂色方案有种
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用，考查分类思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
根据题意，分种情况讨论：，考虑、、涂同一种颜色，，考虑、、涂种颜色，，考虑、、涂种颜色，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：考虑、、涂同一种颜色，此时共有种方法．
考虑、、涂种颜色，此时共有种方法．
考虑、、涂种颜色，此时共有种方法．
故总计有种方法．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的综合应用以及两个计数原理的综合应用 ，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
选项结合组合的思想即可判断；选项采用插空法做；选项采用捆绑求解；选项分成两类，一是“”排在第一天，二是“”排在除第一天和最后一天之外的某一天，从而求出总排法
【解答】
解：对于，八类中选类共有种，故A正确
对于，课程“”、“”排在不相邻两天，使用插空法，共有种排法，故B正确
对于，课程“”、“”、“”排在相邻三天，且“”只能排在“”与“”的中间，共有种排法，故C错误
对于，课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，先分类：第一类当把排在第一天时： ；第二类当不排在第一天时：所以共有种排法，故D正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于中档题．
根据分类加法和分步乘法计数原理一一分析选项即可．
【解答】
解析：对于项，可以分为两类：第一类只有一名女同学，则有种第二类有名女同学，则有种，所以共有种，故A项错误；
对于项，可分为三类：若中间数字为，则有个，若中间的数字为，则有个，若中间的数字为，则有个，所以共有个，故B项正确；
对于项，可以分为两步：第一步，从个门选择个门进入，有种选择，第二步，从个门选择个门出，有种选择，所以共有种，故C项错误；
对于项，显然，共分两大类一类是，则，只有个值第二类是，若，
则，只有一个值，若，则有个又，，，所以此时共有个，综上共有个，故D项正确．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析能力，属于中档题．
根据题意利用分步乘法原理、分类加法原理及排列组合，依次判断可得答案．
【解答】
解：对于若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；
对于物理和化学至少选一门，分两类，第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法，有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的门中选门，有种方法，故有种选法．
由分类加法计数原理知，总数为种选法，故B错误；
对于若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，
可分为选了物理和化学没选历史，有选法，
选了物理没选化学和历史，有选法，
没选物理，有选法，总数为种，与的结果不符合，故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理和分类计数原理，以及组合问题的综合应用，属于中档题．
结合选项依次判断即可．
【解答】
解：对于项，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，则选法总数为，故A项错误；对于项，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、生物门科目中选择门，则选法总数为，故B项正确；对于项，分政治和地理都选和政治和地理仅选一门，则选法总数为，故C项错误；对于项，物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选一门，则选法总数为，故D项正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查排列与组合的综合应用以及分步计数原理的综合应用．
分步分析：先将名高三教师分成组，分种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案
【解答】
解：分步分析：
先将名高三教师分成组，由两种分组方法，若分成、、的三组，有种分组方法，
若分成、、的三组，有种分组方法，则一共有种分组方法
再将分好的三组全排列，对应三个学校，有种情况，则有种不同的安排方式
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两个计数原理的综合应用，属于较易题．
根据乙不选择周一出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，甲与乙不选择同一天出游，对甲分类求解，当甲选择周一出游，则乙从从除周一外的天中选一天，若甲不选择周一出游，则甲先从除周一外的其他天中选一天，乙从除周一外的天中选一天，丙从除明天外的天中选一天，然后利用分类计数原理求解．
【解答】
若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数．
故这三人出游的不同方法数．
故答案为
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理、排列与组合，属于中档题．
可以分步完成：第一步，第五次抽到其中任一只次品的情况；第二步，前四次有三次是次品，一次是正品的情况；第三步，前四次的全排列，最后根据乘法公式计算可得结果．
【解答】
解：对四只次品编序为，，，，
第五次抽到其中任一只次品有种情况，
前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，
前次测试中的顺序有种可能，
所以由分步计数原理可得，共有种可能．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查计数原理的运用，属于中档题．
先涂，有中涂法，再讨论，是否同色即可．
【解答】
解：对于区域，有种颜色可选，即有种涂法，
分类讨论其他个区域：
若、区域涂不同的颜色，则有种涂法，区域有种涂法，
此时其他个区域有种涂法；
若、区域涂相同的颜色，则有种涂法，区域有种涂法，
此时其他个区域有种涂法；
共有种
故答案为．
17.【答案】解：根据题意，四个班共人，
要求从人中，选其中一人为负责人，
即有种选法；
根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有种情况，
从二班选一名组长，有种情况，
从三班选一名组长，有种情况，
从四班选一名组长，有种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：种．
根据题意，分六种情况讨论，
从一、二班学生中各选人，有种不同的选法；
从一、三班学生中各选人，有种不同的选法，
从一、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、三班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从三、四班学生中各选人，有种不同的选法，
所以不同的选法共有：种．
【解析】本题考查分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，进而由对应的公式进行计算，
根据题意，要求从人中，选其中一人为负责人，根据组合数的计算公式，可得答案；
根据题意，从一、二、三、四班学生中选一人任组长的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案；
根据题意，按选出的个人来自班级的不同，分六种情况讨论，从一、二班学生中各选人，从一、三班学生中各选人，从一、四班学生中各选人，从二、三班学生中各选人，从二、四班学生中各选人，从三、四班学生中各选人；先由分步计数原理计算各自的情况数目，进而由加法原理计算可得答案．
18.【答案】解：用间接法，从个数中，任取个组成位数，有种情况，
但其中包含在首位的有种情况，
依题意可得，有，
根据题意，分在末尾与不在末尾两种情况讨论，
在末尾时，有种情况，
不在末尾时，有种情况，
由加法原理，共有种情况；
【解析】本题考查排列、组合的综合应用，涉及面较大，是高考的热点题目，平时要加强训练．
用间接法，先分析从个数中，任取个组成位数的情况数目，再计算其中包含在首位的情况数目，由事件的关系，计算可得答案；
根据题意，分在末尾与不在末尾两种情况讨论，由排列公式，分别求得其情况数目，进而由加法原理计算可得答案；
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的运用以及分步计数原理的运用，注意认真分析条件的限制，选择对应的公式，进而求解，属于基础题．
【解答】
解：若人争夺这三科的冠军，每科冠军只有一人，则每科冠军有种情况，
则三科共有种结果；
故答案为：．
【分析】
本题考查排列公式的应用，两个计数原理的综合运用，属于基础题．
根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比大，则首位必须是，，，这个数字，由于百位数不是数字，分种情况讨论，首位是，首位是，，，分别求得其情况数目，再利用分类加法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，要求这个五位数比大，则首位必须是，，，这个数字，
分种情况讨论，
当首位是时，百位数不是数字，有种情况，
当首位是，，时，由于百位数不能是数字，有种情况，
综合可得，共有个数字符合要求．
故答案为：．
【分析】
本题考查排列公式的应用，两个计数原理的综合运用，属于基础题．
根据题意，先考虑，全排列，再分，不相邻且不与相邻或，相邻且不与相邻，利用排列组合公式可得答案．
【解答】
解：由题意，可将，全排列，有种排法；当，不相邻且不与相邻时，有种排法；
当，相邻且不与相邻时，有种排法，
故满足题意的数有个．
故答案为：．
【分析】
本题考查了排列问题和分步乘法计数原理，属于中档题．
根据捆绑法和插空法解决有且仅有两位女生相邻问题，求出总的排法，减去甲在两端的情况即可得解．
【解答】
解：先排三个男生有种不同的方法，然后再从名女生中任取人“捆”在一起记作，共有种不同排法，
剩下一名女生记作，让、插入男生旁边个位置的两个位置有，此时共有种，
又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：种不同的排法，
共有种不同排法．
故答案为：．
【分析】
本题考查了排列问题和分步加法计数原理，属于中档题．
由题意，可分三种情况进行考虑：本新书都不相邻，本新书有两种相邻和本新书相邻，分别得出这三种情况的排法种数，进而得到答案．
【解答】
解：本新书都不相邻共有：种，
本新书有两种相邻共有：种，
本新书相邻共有：种，
所以共有种．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查排列与排列数公式，属于基础题．
由题意，本题等价于个不同元素排成一排，利用排列公式即得答案．
【解答】
解：由题意，前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为个不同元素排成一排，共种．
故答案为：．
20.【答案】解：如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；
如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，所以共有种；
若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，
则有种
【解析】本题考查了排列组合的综合应用，属于较易题．
根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法可求解
分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和即可
根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法可求解．
21.【答案】解：分三类：
第类，从高一年级选一个班，有种不同的方法，
第类，从高二年级选一个班，有种不同的方法，
第类，从高三年级选一个班，有种不同的方法，
由分类加法计算原理，共有种不同的选法
每种选法分三步：
第步，从高一年级选一个班，有种不同的方法，
第步，从高二年级选一个班，有种不同的方法，
第步，从高三年级选一个班，有种不同的方法，
由分步乘法计数原理，共有种不同的选法
分三类，每类又分两步，
第类，从高一、高二两个年级各选一个班，有种不同方法，
第类，从高一、高三两个年级各选一个班，有种不同方法，
第类，从高二、高三两个年级各选一个班，有种不同方法，
故共有种不同的选法．
【解析】本题主要考查了计数原理的综合应用，属于中档题．
根据分类加法计数原理，按年级分类求解即可；
根据分步乘法计数原理依次从各个年级选班求解即可；
结合分类加法和分步乘法原理求解即可．
22.【答案】解：根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有种情况，
从二班选一名组长，有种情况，
从三班选一名组长，有种情况，
从四班选一名组长，有种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：种．
根据题意，分六种情况讨论，
从一、二班学生中各选人，有种不同的选法；
从一、三班学生中各选人，有种不同的选法，
从一、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、三班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从三、四班学生中各选人，有种不同的选法，
所以不同的选法共有：种．
【解析】本题考查分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，从一、二、三、四班学生中选一人任组长的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案；
根据题意，按选出的个人来自班级的不同，分六种情况讨论，从一、二班学生中各选人，从一、三班学生中各选人，从一、四班学生中各选人，从二、三班学生中各选人，从二、四班学生中各选人，从三、四班学生中各选人；先由分步计数原理计算各自的情况数目，进而由加法原理计算可得答案．
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7.1两个基本计数原理苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在一个正六边形的六个区域涂色如图，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域有公共边涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂某地区安排五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且两人安排在同一个地区，两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
某班班会准备从含甲、乙的名学生中选取人发言，要求甲、乙人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
四种不同的颜色涂在如图所示的个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有种．( )
A. B. C. D.
在一个正六边形的六个区域涂色如图，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域有公共边涂不同的颜色．现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展、体艺特长、实践创新、生涯找划、国际视野、公民素养、大学先修、项目课程八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则( )
A. 某学生从中选类，共有种选法
B. 课程“”、“”排在不相邻两天，共有种排法
C. 课程中“”、“”、“”排在相邻三天，且“”只能排在“”与“”的中间，共有种排法
D. 课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有种排法
下列判断正确的为( )
A. 从名男同学和名女同学中选出人，则至少有名女同学的选法有种
B. 如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数如，，那么由，，，可以组成个凹数( )
C. 某会议厅有个门，某人选择一个门进，选择一个门出，则有种不同的走法
D. 已知，，则不同取值的个数为
高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为种
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种
在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是．( )
A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
某学校安排名高三教师去个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种．
假设今天是月日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天月日月日内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为 ．
未来空气质量预报
明天 后天 周日 周一 周二 周三
月日 月日 月日 月日 月日 月日
优 优 优 优 良 良
某种产品有只次品和只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______用数字作答
用种不同的颜色给如图标有，，，的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻有公共边两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有______________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
现有高二四个班学生人，其中一、二、三、四班各人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组．
选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
每班选一名组长，有多少种不同的选法？
推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
本小题分
用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数．
可组成多少个不同的四位数？
可组成多少个不同的四位偶数？
本小题分
本题每小问分，共分，均用数字回答，不必写过程
有名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果( )
用，，，，这五个数字可以组成比大，且百位数字不是的没有重复 数字的五位数的个数是( )
由，，，，组成没有重复数字且，都不与相邻的五位数的个数是( )
位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )
书架上某层有本书，新买本插进去，要保持原有本书的顺序，有_____种不同的插法具体数字作答
个不同的元素排成前后两排，每排个元素，那么不同的排法种数是( )
本小题分
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共节课
如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
原定的节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理节课，若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
本小题分
某校高中部，高一有个班，高二有个班，高三有个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
任选个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
三个年级各选个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
选个班的学生参加社会实践活动，要求这个班不同年级，有多少种不同的选法？
本小题分
现有高二四个班学生人，其中一、二、三、四班各人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组．
每班选一名组长，有多少种不同的选法？
推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用，考查分类思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
根据题意，分种情况讨论：，考虑、、种同一种植物，，考虑、、种二种植物，，考虑、、种三种植物，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：考虑、、种同一种植物，此时共有种方法．
考虑、、种二种植物，此时共有种方法．
考虑、、种三种植物，此时共有种方法．
故总计有种方法．
故答案为：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
按元素的性质进行分类处理，即可解决问题．
【解答】
解：既会唱歌又会跳舞的有人，只会唱歌的有人，只会跳舞的有人，
若选出人，没有既会唱歌又会跳舞，有种，
若选出人只有人既会唱歌又会跳舞，有种，
若选出人全部既会唱歌又会跳舞，有种，
则共有种．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题．
根据已知条件，可分三类：第一类：两人不和，中的某一个在一起；第二类：两人和共三人在一起；第三类：两人和共三人在一起分别求出每一类中的分配方法，再利用分类加法计数原理即可求解．
【解答】
解：根据已知条件，可分三类：
第一类：两人不和，中的某一个在一起，则在三个地区中任选一个安排，所以的安排方法有种，接着，在另外的两个地区各选一个，安排方法有中，最后，可在三个地区中任选一个，安排方法有种，这时不同的分配方法有种；
第二类：两人和共三人在一起，则这三人在三个地区中任选一个，所以他们的安排方法有种，，在剩下的两个地区中各选一个，安排方法有种，所以这时不同的分配方法有种；
第三类：两人和共三人在一起，则与第二类同理，这时不同的分配方法有种；
因此，根据分类加法计数原理，不同的分配方法有种；
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键．
根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分种情况讨论，
若甲乙其中一人参加，则有种情况；
若甲乙两人都参加，有种情况；
则不同的发言顺序种数种．
故答案选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的综合应用、两个计数原理的应用，属中档题．
所求的五位数万位和个位讨论求解即可．
【解答】
解：当五位数的万位数字为时，个位数字可以是，，
此时满足条件的偶数共有个
当五位数的万位数字为时，个位数字可以是，，，
此时满足条件的偶数共有个，
所以比大的偶数共有个，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两个计数原理的应用，属于中档题．
每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，、不同色和、同色两大类．
【解答】
解：先涂有种颜色可选，再涂有种颜色可选，
剩下的分两种情况：
、不同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种；
、同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种，
共有种．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两个计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，结合题意中图形的位置关系，分两大类分别考虑，最后根据分类计数原理，便可得到不同的涂色方案种数．
【解答】
解：第一类：若区域与区域相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，
则不同的涂色方案有种；
第二类：若区域与区域不相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，
再分类，若区域与区域相同，涂区域有种方法；若区域与区域不相同，涂区域，有种方法；
则不同的涂色方案有种；
根据分类计数原理，不同的涂色方案有种
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用，考查分类思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
根据题意，分种情况讨论：，考虑、、涂同一种颜色，，考虑、、涂种颜色，，考虑、、涂种颜色，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：考虑、、涂同一种颜色，此时共有种方法．
考虑、、涂种颜色，此时共有种方法．
考虑、、涂种颜色，此时共有种方法．
故总计有种方法．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的综合应用以及两个计数原理的综合应用 ，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
选项结合组合的思想即可判断；选项采用插空法做；选项采用捆绑求解；选项分成两类，一是“”排在第一天，二是“”排在除第一天和最后一天之外的某一天，从而求出总排法
【解答】
解：对于，八类中选类共有种，故A正确
对于，课程“”、“”排在不相邻两天，使用插空法，共有种排法，故B正确
对于，课程“”、“”、“”排在相邻三天，且“”只能排在“”与“”的中间，共有种排法，故C错误
对于，课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，先分类：第一类当把排在第一天时： ；第二类当不排在第一天时：所以共有种排法，故D正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于中档题．
根据分类加法和分步乘法计数原理一一分析选项即可．
【解答】
解析：对于项，可以分为两类：第一类只有一名女同学，则有种第二类有名女同学，则有种，所以共有种，故A项错误；
对于项，可分为三类：若中间数字为，则有个，若中间的数字为，则有个，若中间的数字为，则有个，所以共有个，故B项正确；
对于项，可以分为两步：第一步，从个门选择个门进入，有种选择，第二步，从个门选择个门出，有种选择，所以共有种，故C项错误；
对于项，显然，共分两大类一类是，则，只有个值第二类是，若，
则，只有一个值，若，则有个又，，，所以此时共有个，综上共有个，故D项正确．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析能力，属于中档题．
根据题意利用分步乘法原理、分类加法原理及排列组合，依次判断可得答案．
【解答】
解：对于若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；
对于物理和化学至少选一门，分两类，第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法，有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的门中选门，有种方法，故有种选法．
由分类加法计数原理知，总数为种选法，故B错误；
对于若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，
可分为选了物理和化学没选历史，有选法，
选了物理没选化学和历史，有选法，
没选物理，有选法，总数为种，与的结果不符合，故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理和分类计数原理，以及组合问题的综合应用，属于中档题．
结合选项依次判断即可．
【解答】
解：对于项，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，则选法总数为，故A项错误；对于项，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、生物门科目中选择门，则选法总数为，故B项正确；对于项，分政治和地理都选和政治和地理仅选一门，则选法总数为，故C项错误；对于项，物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选一门，则选法总数为，故D项正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查排列与组合的综合应用以及分步计数原理的综合应用．
分步分析：先将名高三教师分成组，分种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案
【解答】
解：分步分析：
先将名高三教师分成组，由两种分组方法，若分成、、的三组，有种分组方法，
若分成、、的三组，有种分组方法，则一共有种分组方法
再将分好的三组全排列，对应三个学校，有种情况，则有种不同的安排方式
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两个计数原理的综合应用，属于较易题．
根据乙不选择周一出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，甲与乙不选择同一天出游，对甲分类求解，当甲选择周一出游，则乙从从除周一外的天中选一天，若甲不选择周一出游，则甲先从除周一外的其他天中选一天，乙从除周一外的天中选一天，丙从除明天外的天中选一天，然后利用分类计数原理求解．
【解答】
若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数．
故这三人出游的不同方法数．
故答案为
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理、排列与组合，属于中档题．
可以分步完成：第一步，第五次抽到其中任一只次品的情况；第二步，前四次有三次是次品，一次是正品的情况；第三步，前四次的全排列，最后根据乘法公式计算可得结果．
【解答】
解：对四只次品编序为，，，，
第五次抽到其中任一只次品有种情况，
前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，
前次测试中的顺序有种可能，
所以由分步计数原理可得，共有种可能．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查计数原理的运用，属于中档题．
先涂，有中涂法，再讨论，是否同色即可．
【解答】
解：对于区域，有种颜色可选，即有种涂法，
分类讨论其他个区域：
若、区域涂不同的颜色，则有种涂法，区域有种涂法，
此时其他个区域有种涂法；
若、区域涂相同的颜色，则有种涂法，区域有种涂法，
此时其他个区域有种涂法；
共有种
故答案为．
17.【答案】解：根据题意，四个班共人，
要求从人中，选其中一人为负责人，
即有种选法；
根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有种情况，
从二班选一名组长，有种情况，
从三班选一名组长，有种情况，
从四班选一名组长，有种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：种．
根据题意，分六种情况讨论，
从一、二班学生中各选人，有种不同的选法；
从一、三班学生中各选人，有种不同的选法，
从一、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、三班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从三、四班学生中各选人，有种不同的选法，
所以不同的选法共有：种．
【解析】本题考查分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，进而由对应的公式进行计算，
根据题意，要求从人中，选其中一人为负责人，根据组合数的计算公式，可得答案；
根据题意，从一、二、三、四班学生中选一人任组长的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案；
根据题意，按选出的个人来自班级的不同，分六种情况讨论，从一、二班学生中各选人，从一、三班学生中各选人，从一、四班学生中各选人，从二、三班学生中各选人，从二、四班学生中各选人，从三、四班学生中各选人；先由分步计数原理计算各自的情况数目，进而由加法原理计算可得答案．
18.【答案】解：用间接法，从个数中，任取个组成位数，有种情况，
但其中包含在首位的有种情况，
依题意可得，有，
根据题意，分在末尾与不在末尾两种情况讨论，
在末尾时，有种情况，
不在末尾时，有种情况，
由加法原理，共有种情况；
【解析】本题考查排列、组合的综合应用，涉及面较大，是高考的热点题目，平时要加强训练．
用间接法，先分析从个数中，任取个组成位数的情况数目，再计算其中包含在首位的情况数目，由事件的关系，计算可得答案；
根据题意，分在末尾与不在末尾两种情况讨论，由排列公式，分别求得其情况数目，进而由加法原理计算可得答案；
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的运用以及分步计数原理的运用，注意认真分析条件的限制，选择对应的公式，进而求解，属于基础题．
【解答】
解：若人争夺这三科的冠军，每科冠军只有一人，则每科冠军有种情况，
则三科共有种结果；
故答案为：．
【分析】
本题考查排列公式的应用，两个计数原理的综合运用，属于基础题．
根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比大，则首位必须是，，，这个数字，由于百位数不是数字，分种情况讨论，首位是，首位是，，，分别求得其情况数目，再利用分类加法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，要求这个五位数比大，则首位必须是，，，这个数字，
分种情况讨论，
当首位是时，百位数不是数字，有种情况，
当首位是，，时，由于百位数不能是数字，有种情况，
综合可得，共有个数字符合要求．
故答案为：．
【分析】
本题考查排列公式的应用，两个计数原理的综合运用，属于基础题．
根据题意，先考虑，全排列，再分，不相邻且不与相邻或，相邻且不与相邻，利用排列组合公式可得答案．
【解答】
解：由题意，可将，全排列，有种排法；当，不相邻且不与相邻时，有种排法；
当，相邻且不与相邻时，有种排法，
故满足题意的数有个．
故答案为：．
【分析】
本题考查了排列问题和分步乘法计数原理，属于中档题．
根据捆绑法和插空法解决有且仅有两位女生相邻问题，求出总的排法，减去甲在两端的情况即可得解．
【解答】
解：先排三个男生有种不同的方法，然后再从名女生中任取人“捆”在一起记作，共有种不同排法，
剩下一名女生记作，让、插入男生旁边个位置的两个位置有，此时共有种，
又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：种不同的排法，
共有种不同排法．
故答案为：．
【分析】
本题考查了排列问题和分步加法计数原理，属于中档题．
由题意，可分三种情况进行考虑：本新书都不相邻，本新书有两种相邻和本新书相邻，分别得出这三种情况的排法种数，进而得到答案．
【解答】
解：本新书都不相邻共有：种，
本新书有两种相邻共有：种，
本新书相邻共有：种，
所以共有种．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查排列与排列数公式，属于基础题．
由题意，本题等价于个不同元素排成一排，利用排列公式即得答案．
【解答】
解：由题意，前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为个不同元素排成一排，共种．
故答案为：．
20.【答案】解：如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；
如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，所以共有种；
若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，
则有种
【解析】本题考查了排列组合的综合应用，属于较易题．
根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法可求解
分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和即可
根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法可求解．
21.【答案】解：分三类：
第类，从高一年级选一个班，有种不同的方法，
第类，从高二年级选一个班，有种不同的方法，
第类，从高三年级选一个班，有种不同的方法，
由分类加法计算原理，共有种不同的选法
每种选法分三步：
第步，从高一年级选一个班，有种不同的方法，
第步，从高二年级选一个班，有种不同的方法，
第步，从高三年级选一个班，有种不同的方法，
由分步乘法计数原理，共有种不同的选法
分三类，每类又分两步，
第类，从高一、高二两个年级各选一个班，有种不同方法，
第类，从高一、高三两个年级各选一个班，有种不同方法，
第类，从高二、高三两个年级各选一个班，有种不同方法，
故共有种不同的选法．
【解析】本题主要考查了计数原理的综合应用，属于中档题．
根据分类加法计数原理，按年级分类求解即可；
根据分步乘法计数原理依次从各个年级选班求解即可；
结合分类加法和分步乘法原理求解即可．
22.【答案】解：根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有种情况，
从二班选一名组长，有种情况，
从三班选一名组长，有种情况，
从四班选一名组长，有种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：种．
根据题意，分六种情况讨论，
从一、二班学生中各选人，有种不同的选法；
从一、三班学生中各选人，有种不同的选法，
从一、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、三班学生中各选人，有种不同的选法；
从二、四班学生中各选人，有种不同的选法；
从三、四班学生中各选人，有种不同的选法，
所以不同的选法共有：种．
【解析】本题考查分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，从一、二、三、四班学生中选一人任组长的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案；
根据题意，按选出的个人来自班级的不同，分六种情况讨论，从一、二班学生中各选人，从一、三班学生中各选人，从一、四班学生中各选人，从二、三班学生中各选人，从二、四班学生中各选人，从三、四班学生中各选人；先由分步计数原理计算各自的情况数目，进而由加法原理计算可得答案．
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