9.2独立性检验 苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册（含答案解析）

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9.2独立性检验苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
假设有两个分类变量和，其列联表如下：
对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了人，其中女性人，男性人女性中有人主要的休闲方式是看电视，另外人主要的休闲方式是运动男性中有人主要的休闲方式是看电视，另外人主要的休闲方式是运动则认为性别与休闲方式有关系的把握大约为( )
A. B. C. D.
某校团委对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数的若有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如表
焦虑 说谎 懒惰 总计
女生
男生
总计
根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是( )
A. 焦虑 B. 说谎 C. 懒惰 D. 以上都不对
某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这个变量的关系，随机抽查名中学生，得到统计数据如表至表，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量
利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，参照下表：得到的正确结论是( )
A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
为直观判断两个分类变量和之间是否有关系，若它们的取值分别为和，通过抽样得到如下表：
则下列哪两个比值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
年月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附：，其中．
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有( )
附：，其中．
A. 被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B. 被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C. 若被调查的男女生均为人，则有的把握认为喜欢登山和性别有关
D. 无论被调查的男女生人数为多少，都有的把握认为喜欢登山和性别有关
在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的序号是参考数据：( )
A. 若的观测值满足，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系．
B. 若的观测值满足，那么在个吸烟的人中约有人患有肺病．
C. 从独立性检验可知，如果有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有的可能性会患肺病．
D. 从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误．
在一次独立性检验中，判断两个分类变量和是否有关系，得出下表：
且最后发现，没有的把握认为两个分类变量和有关系，则的值可以为( )
参考公式：随机变量的观测值计算公式：
临界值表：
A. B. C. D.
在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：
则下列说法正确的是．( )
附：参考公式：，其中．
独立性检验临界值表：
A.
B.
C. 有的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关
D. 没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
某足球联赛期间，某一电视台对年龄高于岁和不高于岁的人是否喜欢甲队进行调查，对高于岁的调查了人，不高于岁的调查了人，所得数据绘制成如下列联表：
年龄 是否喜欢甲队 合计
不喜欢甲队 喜欢甲队
高于岁
不高于岁
合计
若工作人员从调查的所有人中任取一人，取到喜欢甲队的人的概率为，在犯错误的概率不超过 的前提下认为年龄与甲队的被喜欢程度有关．
附：，．
已知下列命题：
在线性回归模型中，决定系数越接近于，表示回归效果越好；
两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于；
在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少个单位；
两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；
若，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在个吸烟的人中必有人患有肺病；
从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误．其中正确命题的序号是
某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男市民
女市民
当时，若没有的把握认为男女市民对大会的评价有差异，则的最小值为___________．
附：，其中
已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于．
正态曲线当一定时，越小，总体分布越集中，越大，总体分布越分散
对于分类变量与的随机变量，越大说明“与有关系”的可信度越大．
在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好．
根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量，的值一定与有误差以上命题正确的序号为____________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
中国棋手柯洁与的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于的学生称为“围棋迷”．
请根据已知条件完成下面列联表，并判断是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关
非围棋迷 围棋迷 总计
男
女
总计
为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取名学生组队参加校际交流赛首轮该校需派名学生出赛，若从名学生中随机抽取人出赛，求人恰好一男一女的概率．
附表：
参考公式：，其中
本小题分
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占这名学生中南方学生共人，南方学生中有人不喜欢甜品．
完成下列列联表：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生
北方学生
合计
根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生，其中名不喜欢甜品；有名物理系的学生，其中名不喜欢甜品现从这两个系的学生中，各随机抽取人，记抽出的人中不喜欢甜品的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．


本小题分
为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区万人中随机抽取了人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按，，分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示同时发现这人中有人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于的有人．
填写下面的列联表，判断是否有的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于有关”．
指标值小于 指标值不小于 合计
有抗体
没有抗体
合计
以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取人，求产生抗体的人数的分布列及期望．
附：，其中．
本小题分
“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康解决群众急难愁盼问题的重要举措为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业因此该校对初三年级的名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：
男生 女生 总计
分钟以上
分钟以下
总计
求，，的值，并根据题中的列联表，判断是否有的把握认为完成作业所需时间在分钟以上与性别有关？
教务处从完成作业所需时间在分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取人了解情况，校长再从这人中选取人进行访谈，记校长选取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
本小题分
某高校共有学生人，其中男生人，女生人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集名学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时．
应收集多少位女生的样本数据？
根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：，，，，，
估计该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率；
在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”
附：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验，属于中档题．
【解答】
解：对于选项，
对于选项，
对于选项，
对于选项，．
由于最大，故可以判断出，和有关系的可能性最大故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查列联表，独立性检验，属于中档题．
【解答】
解：根据所给的数据得到列联表，如下：
男 女 合计
看电视
运动
合计
计算，所以有的把握认为性别与休闲方式有关系故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了独立性检验，为中档题．
【解答】
设男生人数为，则女生人数为，则列联表如下：
喜欢
该软件 不喜欢
该软件 合计
男生
女生
合计
若有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则 ，
即，解得．
又因为，，，为整数，所以男生至少有人故选A．

4.【答案】
【解析】解：由题设表格可得到三个新的表格如下：
关于是否得到焦虑的结论：
焦虑 不焦虑 合计
女生
男生
合计
关于是否说谎的结论：
说谎 不说谎 合计
女生
男生
合计
关于是否懒惰的结论：
懒惰 不懒惰 合计
女生
男生
合计
对于三种心理障碍分别构造三个随机变量，，，
由表中数据得：
，
，
，
有的把握认为说谎与性别有关，没有充分数据显示焦虑和懒惰与性别有关，
这说明在这三种情理中心理障碍中说谎与性别关系最大．
故选：．
由表中数据，将表分为焦虑，说谎和懒惰三个表格，分别求得观测值，，，同题目所提供观测值表进行检验，比较大小，即可判断在这三种心理障碍中说谎与性别关系最大．
本题考查与性别关系最大的心理障碍的判断，考查独立检验等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
根据表中数据，利用公式，求出，即可得出结论．
【解答】
解：因为，
，
，
，
则有，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
根据题意参照临界值表即可得出正确的结论．
【解答】
解：独立性检验的方法计算得，参照临界值表，得，
所以有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验，属于基础题．
利用独立性检验的计算公式即可加以判断．
【解答】
解：因为，所以当的值越小说明两个分类变量之间的有关系的把握程度越小，反之，当的值越大说明两个分类变量之间的有关系的把握程度越大，即两个分类变量之间的关系应该越强，与的关系等价，则与的值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验，数学运算，属于基础题结合题意列出列联表，计算，进一步结合选项进行求解即可．
【解答】
解：依题意设男、女生的人数各为建立列联表如下所示：
喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计
男生
女生
总计
，由题意可知，所以．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了独立性检验的应用问题，以及考查了计算能力，是中档题．
【解答】
解：选项A，根据条形图，知喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多，故选项A正确；
选项B，女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数少，故选项B错误；
选项C，若被调查的男女生均为人，由条形图，列出列联表，
男 女 合计
喜欢
不喜欢
合计
．
有的把握认为喜欢登山和性别有关，故选项C正确；
选项D，如果不确定参与调查的男女生人数，无法计算是否有的把握认为喜欢登山和性别有关，故选项D错误；
故答案选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题的考点是独立性检验的应用，根据独立性检测考查两个变量是否有关系的方法进行判断，准确的理解判断方法及的含义是解决本题的关键，属于中档题．
若，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，表示有的可能性使推断出现错误，不表示有的可能患有肺病，也不表示在个吸烟的人中必有人患有肺病，故可得结论．
【解答】
解：若，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，不表示有的可能患有肺病，故A正确；
不表示在个吸烟的人中必有人患有肺病，故B不正确；
不表示有每个吸烟的人有的可能性会患肺病，故C不正确；
从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验，属于基础题，解题时，根据随机变量的观测值计算公式，
得到，由于没有的把握认为两个分类变量和有关系，故，代入各项值即可完成判断．
【解答】
解：，
因为没有的把提认为两个分类变量和有关系，
所以，代入验证可知或满足．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了独立性检验的基本思想，求列联表中参数值以及的观测值，进而判断选项的正误，属于中档题．
解本题时，由列联表数据关系求出各参数值即可确定得正误，根据的参考公式求值，由结合临界值判定表知“没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关”，由此可确定、、的正误．
【解答】
解：由列联表数据得，，，，
，，即A正确
晕机 不晕机 合计
男
女
合计
，即B正确
且没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关；即C错误；D正确．
故本题选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了独立性检验和古典概型的计算，考察学生的数据分析能力与计算能力，属中档题．
由古典概型公式得，可得、、、，再由公式得出，对照临界值表可得结论．
【解答】
解：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢甲队的人”为事件，
由已知得，
所以，，，．
．
故犯错误的概率不超过的前提下认为年龄与甲队的被喜欢程度有关．
故答案为

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查回归分析及独立性检验，属于中档题．
根据题意，逐项进行判断即可．
【解答】
解：在线性回归模型中，决定系数 越接近于，表示回归效果越好，故正确；
两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于，故错误；
在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，正确；
两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故正确；
回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点，故错误；
若 ，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在个吸烟的人中必有人患有肺病，故错误；
从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误，故正确．
综上正确的有．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验，属于中档题．
根据没有的把握认为男、女市民对大会的评价有差异，求出关于的表达式，从而可以通过解不等式得到的取值范围，再加上是正整数，从而可以得到答案．
【解答】
解：由题意可知，，
由题意可知，
整理得，又，，
所以的最小值为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题利用命题真假的判断，考查了最小二乘法、相关系数、独立性检验、相关指数、正态分布等知识，属于中档题．
根据相关概念，逐项排除，即可求出结果．
【解答】
解：由相关性与相关系数的关系，可得若它们的相关性越强，
则相关系数的绝对值越接近于，故正确；
由正态分布的性质知一定，越小则波动越小总体分布越集中，越大总体越分散，
故正确；
对分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故正确；
用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故正确；
根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量，的值可能与有误差，只是一个预测值，故错误．
即正确的有：．
故答案为．
17.【答案】解：由频率分布直方图可知，，
所以在抽取的人中，“围棋迷”有人，
从而列联表如下：
非围棋迷 围棋迷 总计
男
女
总计
．
因为，
所以没有的把握认为“围棋迷”与性别有关．
由中列联表可知名“围棋迷”中有男生名，女生名，
所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的名学生中，有男生名，记为，，，有女生名，记为，．
则从名学生中随机抽取人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共种
其中人恰好一男一女的有：，，，，，，共种．
故人恰好一男一女的概率为．

【解析】本题考查独立性检验，及古典概型，属于中档题．
利用频率分布直方图求出列联表的值，再求出，进而即可得结果；
利用列举法，根据古典概型求概率即可．
18.【答案】解：由题可知，喜欢甜品的人数为人，
完成列联表如下：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生
北方学生
合计
由题意，，
有的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”．
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
则的分布列为
所以的数学期望．
【解析】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由已知条件能完成列联表；
，对比临界值表即可得结论；
的所有可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
19.【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为件，
因为甲的一级品的频数为，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为，所以乙的一级品的频率为；
根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【解析】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
根据列联表，求出，再将的值与比较，即可得出结论．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，
样本中指标值不小于60的人数为，
标值小于60的人数为80，
列联表如下：
指标值小于60 指标值不小于60 合计
有抗体 40 80 120
没有抗体 40 40 80
合计 80 120 200
，
所以有95%的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”；
(2)注射疫苗后产生抗体的概率，
由题可知，X~B(4，)，
的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
【解析】本题考查频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差、n次独立重复试验与二项分布，属于中档题.
（1）根据频率分布直方图求出相关数据，完成列联表，求出的值，即可求出结果；
（2）由题可知，X~B(4，)，求出X的值和相应的概率，即可求出结果.
21.【答案】解：由可得：；
由可得：；
由可得：；
所以列联表如下：
男生 女生 总计
分钟以上
分钟以下
总计
因为，
所以没有的把握认为完成作业所需时间在分钟以上与性别有关．
抽取的人中，需要抽取男生：人，女生：人，
取值，，，，
，，
，
所以的分布列为
．
【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，考查离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．
计算，判断问题；
取值，，，，计算对应的概率即可．
22.【答案】解：Ⅰ，应收集位女生的样本数据；
Ⅱ由频率分布直方图可得，
该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率为；
Ⅲ由Ⅱ知，位学生中有人每周平均体育运动时间超过小时，
人每周平均体育运动时间不超过小时，
又因为样本数据中有份是关于男生的，份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
　　 男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过小时
每周平均体育运动时间超过小时
总计
，
有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
【解析】本题主要考查独立性检验，频率分布直方图，分层抽样等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，属于中档题．
Ⅰ根据人，其中男生人，女生人，可得应收集多少位女生的样本数据；
Ⅱ由频率分布直方图可得，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率；
Ⅲ写出列联表，求出，与临界值比较，即可得出结论．
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