6.4平行关系 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
6.4平行关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设、是两个平面，、是两条直线，下列推理正确的是( )
A. B.
C. D.
已知直线、，平面、，给出下列命题：
若，，且，则；若，，且，则
若，，且，则；若，，且，则
其中正确的命题是 ( )
A. B. C. D.
已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是( )
A.
B.
C.
D.
如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱中，，，，分别在，上移动，始终保持平面，设，，则函数的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
设平面平面，点，点，是的中点，当，分别在平面，内运动时，那么所有的动点( )
A. 不共面
B. 当且仅当，分别在两条直线上移动时才共面
C. 当且仅当，分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D. 共面
已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
；；
；．
其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知，为两个不重合的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是．( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的个数是
若，，，则；
若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；
若，，，则；
若，，，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图所示的四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的是( )
A. B. C. D.
设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 、是两条异面直线，若，则．
D. 若，则
如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积不变 B. 平面
C. D. 平面平面
如图所示的四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件 时，就有平面注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况
如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，，，的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面平面；平面；平面；平面；平面．其中正确结论的序号是 ．
在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内不含边界一点，当点满足 时，平面填一个满足题意的条件即可
如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：
水的部分始终呈棱柱状；
水面四边形的面积不改变；
棱始终与水面平行；
当时，是定值．
其中正确说法是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，为平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面．
判断与的位置关系，并证明你的结论；
判断与平面的位置关系，并证明你的结论．
本小题分
如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
求证：平面平面
若平面，求证：为的中点．
本小题分
如图所示，三棱柱，底面是边长为的正三角形，侧棱底面，点，分别是棱，上的点，点是线段上的动点，．
当点在何位置时，平面
若平面，判断与的位置关系，并求与所成的角的余弦值．
本小题分
如图，已知四棱锥中，分别是的中点，底面，且
证明：平面；
若，求三棱锥的体积．
本小题分
如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点靠近，靠近；
求证：平面．
在上确定一点，使平面平面．
本小题分
已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上．
如图，若，求证：平面平面．
如图，若满足，则点满足什么条件时，平面．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质．
根据空间线面位置关系的定义，判定定理和性质进行判断．
【解答】
解：由于，，则或，若，显然结论错误，所以A错误；
由于，根据线面平行的性质可知，所以B正确；
由于，则或为异面直线，故，不一定平行，所以C错误；
由于，则或相交，则若，相交，，均与交线平行，显然结论不成立，所以D错误．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，属基础题，利用线面、面面平行、垂直的判定与性质定理可以证明正确；利用线面平行的性质定理和线面垂直，面面垂直的判定定理可证正确；举反例可以否定．
【解答】
解：对于，显然与不平行，否则根据面面平行和线面垂直的性质定理易得，与已知矛盾，设，设平面，，，，
在内取一点，作，垂足为，作，垂足为，则由面面垂直的性质定理可得，，又若，，且，，
在平面四边形中有三个角为直角，，根据二面角的定义可得平面，故正确；
对于，若，，且，，可以相交，故错误；
对于，若，，且，和不一定垂直，甚至可以平行，故错误；
对于，，过作平面，使之与相交与直线，则，又，，，，又，，故正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，证明平面平面，从而得点的轨迹是线段，由此能求出线段的长度范围．
【解答】
解：取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，如图所示，
点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，
，，
平面，平面，
平面，同理，平面，
，，平面，
平面平面，
动点在正方形包括边界内运动，且面，
点的轨迹是线段，
，，
，
当与重合时，的长度取最小值为，
当与或重合时，的长度取最大值为．
线段的长度范围为
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查线面平行、面面平行的判定和性质、函数的图象与性质作得到线面平行和面面平行，进而得到，的长度的表达式，在直角三角形中，由勾股定理得到，的关系式，结合双曲线的图象得到结论．
【解答】
解：如图，过作，交于点，连接，
因为平面，平面，可得平面，
又因为平面，，平面，平面，
所以平面平面．
又平面与平面和平面分别交于和，
所以，
可得，，
因为，所以．
在中，，即，
所以，
所以函数的图象为焦点在轴上的双曲线上支的一部分．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面平行的性质，涉及线面垂直的性质，线面平行的判定与性质，属中档题，
做一条与直线异面的直线，使平面，根据已知，利用面面平行的性质可得直线平面，设直线分别与平面、交于点，，线段中点，过与垂直的平面记作，连接，设线段中点，可以通过线线平行证得，，进而得到平面平面，得出平面，进一步得到，证得在平面内，再讨论平行与或者与相交时，即可证明在内．
【解答】解：如图所示，做一条与直线异面的直线，使平面，
平面平面，直线平面，
设直线分别与平面、交于点，，线段中点，
过与垂直的平面记作，
连接，设线段中点，连接，，，，．
在中，，直线平面，
在中，，直线，
又，平面，
又，是异面直线，
，是异面直线，
，是相交直线，
平面平面，
平面，
平面，
直线，
平面，．
当平行与时，中点比在平面上，
当与了相交时，可平移为异面，点也在平面内．
故不论，如何运动，所有的动点都在平面内
故选D．
6.【答案】
【解析】解：由，，，，则平面与可能相交，故不正确；
，，可能有，则不成立，可得不正确；
，，或，异面，则不正确；
，或，异面，则不正确．
综上可得，没有正确的命题．
故选：．
由面面平行的判定定理，即可判断的正误；运用线面平行的性质定理，即可判断的正误；
由面面平行的判定定理和性质，即可判断的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断的正误．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面，平面与平面位置关系的判定，属于基础题．
根据线面平行，面面平行的判定和性质逐项进行求解即可．
【解答】
解：选项A，若，，则与没有公共点，，故A正确；
选项B，若，，则，或，异面，故B错误；
选项C，若，，，则与可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若，，，则，或，异面，，相交，故D错误．
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行，面面平行的性质定理、判定定理，属于中档题．
依据线面平行，面面平行的性质定理，判定定理去逐一判定，也可举出反例．
【解答】
解：对于，若，与可能平行，也可能相交，故错误；
对于，若三点在平面的两侧，则平面与平面相交，故错误；
对于，若，，，则或，故错误；
对于，若，，，则，故正确．
故正确的只有个．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属于中档题．
利用线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于，如图，因为，，分别为所在棱的中点，，又平面，平面，平面，同理可得平面，
又，平面，平面，
平面平面，又平面，平面，故A正确；
对于，如图，若平面，平面，平面平面，则，又为中点，为中点，这与正方形中，分别为所在边的中点矛盾，平面不成立，故B错误；
对于，如图，由正方体性质可得，，分别为所在棱的中点，，，又平面，平面，平面，故C正确；
对于，如图，设为所在棱中点，连接，为所在棱中点，．
若平面，且与平面有公共点，平面，
又平面即为平面，显然点平面，这与平面矛盾，平面不成立，故D错误．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定、性质的应用，属中档题．
根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可．
【解答】
解：，则可能，也可能，A错误；
若相交，当，都平行于交线时，满足条件，故B错误；
若，、是两条异面直线，过，的平面分别与相交于，，则，必相交，由线面平行的性质定理知：，，
又，则，利用面面平行的判定定理知，C正确；
由，可得或，若，结合条件，可得；
若，又，则或，而条件中，则．
若，则，可得D正确．
故选CD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】
解：对于，由题意知，平面，平面，
从而平面，
故BC上任意一点到平面的距离均相等，
所以以为顶点，平面为底面的三棱锥，即三棱锥的体积不变，
故A正确；
对于，连接，，则，
又平面，平面，
平面，
由知：平面，，
平面平面，
又平面，
平面．
故B正确；
对于，由于平面，所以，
若，则平面，
则，则为中点，与为动点矛盾，
故C错误；
对于，连接，由且，
可得平面，
又平面，
平面平面，
故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属中档题．
利用线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，逐一判定各选项即可．
【解答】
解：
对于，如图，因为，，分别为所在棱的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确；
对于，如图，若平面，因为平面，平面平面，则，又因为为中点，所以为中点，这与正方形中，分别为所在边的中点矛盾，所以平面不成立，故B错误；
对于，如图，由正方体性质可得，因为，分别为所在棱的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，故C正确；
对于，如图，若平面，设为所在棱中点，连接，因为为所在棱中点，所以，平面，且与平面有公共点，所以平面，又因为平面即为平面，显然点不在平面内，这与平面矛盾，所以平面不成立，故D错误．
故选：．

13.【答案】点在线段上或点与点重合
【解析】
【分析】
本题主要考查线面平行的证明，涉及到面面平行的判定，面面平行的性质，属于基础题．
连接，，，可得平面平面，根据面面平行的性质，即可得解．
【解答】
解：连接，，，
则，，
平面平面，只需，
则平面，
平面．
故只需满足条件点在线段上时，有平面．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面图形的翻折，考查线面、面面间的位置关系，属于中档题．
把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可．
【解答】
解：把图形还原为一个四棱锥，如图所示，
因为，，，分别为，，，，根据三角形中位线的性质，
可得，
平面，平面，
平面，
同理可得平面，
又，，平面，
平面平面，正确；
连接，，交于点，则为中点，连接，为中点，
，又平面，平面，
平面，正确；
，
平面，平面，
直线平面，正确；
，平面，
平面，平面，正确；
，与平面相交，
故EF与平面相交，不正确．
故正确的有，
故答案为：．

15.【答案】在线段上分别为棱的中点，不含端点
【解析】
【分析】
本题考查空间中线面平行及轨迹问题，面面平行的判定以及性质，属于中档题．
分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，因为是侧面内一点，且平面，所以必在线段上不含端点．
【解答】
解：如下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，、，连接，
、、、为所在棱的中点，
，，
，
又平面，平面，
平面
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又，、平面，
平面平面，
是侧面内一点，且平面，
必在线段上不含端点．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题是中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．
由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，由此分析可得结论正确；
水面四边形的面积是改变的；
利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论；
当时，是定值．通过水的体积判断即可．
【解答】
解：根据面面平行性质定理，可得固定时，
在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，
故水的形状成棱柱形，故正确；
水面四边形的面积是改变的，因为是变化的，而是不变的，所以四边形的面积是改变的，故错误；
因为，水面，水面，
所以水面EFGH正确，故正确；
由于水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，
即当时，是定值．故正确．
故答案为．
17.【答案】解：结论：．
证明：，平面，平面，
平面．
又平面，平面平面，
．
结论：平面．
证明：取的中点，连结，，
则，，
平面，平面，
平面．
同理可得平面．
又，，平面，
平面平面
又平面，
平面．
【解析】本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属基础题．
利用线面平行的判定定理可得平面，利用线面平行的性质定理可得
取的中点，连结，，利用面面平行的判定定理可得平面平面，然后根据面面平行的性质可得平面．
18.【答案】证明：，分别为，的中点，
，
平面，平面，平面
，分别为，的中点，
，又，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面
又，，平面，
平面平面．
平面与平面有公共点，平面，
平面平面．
平面平面，平面平面，
，
又，
，
为的中点，
为的中点．

【解析】本题考查平面与平面平行的判定，考查面面平行的性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面；
由平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点．
19.【答案】解：方法一：如图所示，取的中点，连接，过点作于点．
因为，，平面，
所以．
又因为，，为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
故B平面，
此时点为的中点．
方法二：如图所示，取的中点，的中点，连接，，．
因为，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为，分别为，的中点，
所以，
又，平面，，平面，
所以平面，平面，
因为，，平面，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面．
故点即为所求的点，此时点为的中点．
由知，与异面，或就是异面直线与所成的角或其补角，
易求，，，
所以，
所以与所成的角的余弦值为．

【解析】本题考查了线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质、异面直线所成角的相关知识．
方法一：取的中点，连接，过点作于点，证明，进而可得答案；
方法二：取的中点，的中点，连接，，，证明平面平面，即可得到答案；
根据得出与异面，或就是异面直线与所成的角或其补角，求解即可．
20.【答案】解：证明：在四棱锥中，是中点，是的中点，
是的中位线，即，
又平面，平面，平面，
且，
四边形是平行四边形，有，
平面，平面，平面，
又，，平面
平面平面，
又平面，
平面．
连结，，由，
的面积，又，
三棱锥的体积为，
．
故三棱锥的体积为：
．

【解析】本题考查两大点：应用线面平行、平行四边形的判定及性质证线面平行，再由面面平行的判定和性质证线面平行，“分割法”求体积，将三棱锥分割为两个棱锥，再由棱锥的组合关系结合棱锥的体积公式求体积，属于中档题．
由中位线性质、线面平行的判定有平面，由平行四边形的判定及性质有，结合线面平行的判定有平面，根据面面平行的判定和性质可证平面．
由几何体的组合关系有，结合三棱锥体积的求法求三棱锥的体积．
21.【答案】解：取的三等分点靠近点，如图，连接，，
是的三等分点，是的三等分点，
，
是的三等分点，
．
又，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
方法一：如图，连接，．
若平面平面，
且平面平面，平面平面，
则，
是的三等分点，
是的三等分点，
即当为的三等分点时，平面平面．
方法二：当为的三等分点靠近点时，平面平面．
证明如下：如图，连接，．
是的三等分点，是的三等分点，
，
四边形为平行四边形，
，，
平面，平面，
平面，
是的三等分点，是的三等分点，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．

【解析】本题主要考查线面平行，面面平行的判定，是高考中常见的题型，属于中等题．
取的三等分点靠近点，然后证明，得到，即证；
由平面平面，得到，所以也是的三等分点．
22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，，，
平面，平面，平面，
又，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面；
设、于点，连接，取中点，连结、，
且为的中点，，为的中点，
又点为的中点，，
平面，平面，平面，
同理，平面．
，、平面，平面平面，
平面，平面．

【解析】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定，考查推理能力，属于中档题．
由面面平行的判定定理进行证明即可；
设、于点，连接，取中点，连结、，再由线面平行的判定定理及面面平行的性质进行证明即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)