考点08：导数的综合应用-2023年新高考数学2018-2022五年真题汇编（含解析）

考点08：导数的综合应用
(2022·云南省·历年真题)当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
(2022·浙江省·历年真题)已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
(2021·山西省·历年真题)设，若为函数的极大值点，则( )
A. B. C. D.
(2021·山西省·历年真题)设，，，则( )
A. B. C. D.
(2021·湖南省·历年真题)若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
(2022·浙江省·历年真题)已知函数及其导函数的定义域为，记若，均为偶函数，则( )
A. B. C. D.
(2022·云南省·历年真题)已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是
(2021·全国·历年真题)写出一个同时具有下列性质的函数 ．
；当时，；是奇函数．
(2021·湖南省·历年真题)函数的最小值为 ．
(2022·云南省·历年真题)已知函数．
若，求的取值范围；
证明：若有两个零点，则．
(2022·云南省·历年真题)已知函数
当时，求的最大值
若恰有一个零点，求的取值范围．
(2022·浙江省·历年真题)已知函数．
当时，讨论的单调性
当时，，求实数的取值范围
设，证明：．
(2021·山西省·历年真题)已知函数，已知是函数的极值点．
求；
设函数证明：．
(2021·北京市市辖区·历年真题)已知函数．
若，求在， 处切线方程；
若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
(2022·江西省·历年真题)已知函数．
当时，讨论的单调性
当时，，求的取值范围．
(2022·江西省·历年真题)已知函数，为的导数．证明：
在区间存在唯一极大值点；
有且仅有个零点．
(2022·江西省·历年真题)已知函数．
讨论的单调性；
若存在两个极值点，证明：．
(2022·陕西省西安市·期末考试)已知函数．
若，证明：当时，；
若在只有一个零点，求．
(2022·浙江省·历年真题)已知函数和有相同的最小值．
求
证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
(2022·浙江省·历年真题)设函数．
求的单调区间
已知，，曲线上不同的三点，，处的切线都经过点证明：
若，则
若，，则．
注：是自然对数的底数
(2022·云南省·历年真题)已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程：
若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
(2021·湖南省·历年真题)已知函数．
讨论的单调性；
设，为两个不相等的正数，且，证明：．
(2021·全国·历年真题)已知且，函数．
当时，求的单调区间；
若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
(2022·湖北省·其他类型)已知函数，为的导函数．
Ⅰ当时，
(ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(ⅱ)求函数的单调区间和极值；
Ⅱ当时，求证：对任意的，，且，有．
(2021·四川省·其他类型)已知函数．
讨论的单调性；
是否存在，，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
(2019·江苏省·历年真题)设函数，，，，为的导函数．
若，，求的值；
若，，且和的零点均在集合中，求的极小值；
若，，，且的极大值为，求证：．
(2022·山东省济南市·月考试卷)设函数．
若曲线在点处的切线与轴平行，求；
若在处取得极小值，求的取值范围．
答案
1.
解：因为函数定义域为，所以依题可知，，，
而，所以，即，
所以，
因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

2.
解：设正四棱锥的高为，底面边长为，球心为，由已知易得球半径为，
所以，
因为，
故所以，求导，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
故该正四棱锥体积的取值范围是

3.
解：因为，
Ⅰ所以当时，函数在单调，无极值，不合条件；
Ⅱ当时，因为，
所以，若并且时，，
由，得：或，
由，得：，
所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；
若，并且时，，
由，得：或，
由，得：，
所以这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；
若，并且时，，
由，得：，
由，得：或，
这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；
若，并且时，，
由，得：，
由，得：或，
所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；
因此，若为函数的极大值点，则，必须满足条件：
并且或并且．
由此可见，，均错误；
又总有成立，所以C错误，D正确．
故选D．

4.
解：，，
，
令，，
令，则，
，
，
，，
在上单调递增，
，
，即，，
取，则，
即，
同理令，，
再令，则，
，
，
，，
在上单调递减，
，
，即，
同样的，取，则，
即，
．
故选：．

5.
解：函数是增函数，恒成立，
函数的图象如图，，即取得坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于，不成立．
点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．
故选：．
画出函数的图象，判断与函数的图象的位置关系，即可得到选项．
本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．
6.
解：由为偶函数可知关于直线对称，
由为偶函数可知关于直线对称，
结合，根据关于直线对称可知关于点对称，
根据关于直线对称可知：关于点对称，
综上，函数与均是周期为的周期函数，所以有，所以不正确
，，，故，所以C正确．
，，所以B正确
又，所以，所以不正确．

7.
解：至少要有两个零点和，
构造函数，对其求导，，
若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，
在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意，
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，即
，，
故，所以．

8.答案不唯一，均满足
解：取，则，满足，
，时有，满足，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足．
故答案为：答案不唯一，均满足

9.
解：函数的定义域为，
当时，，
此时函数在上为减函数，
所以；
当时，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时取得最小值，为，
，
函数的最小值为．
故答案为：．

10.解：定义域为，，
令，所以当时，，单调递减
当时，单调递增，要使得恒成立，
即满足．
由知，若有两个零点，则，
而，
即，
因为函数在上单调递增，所以成立，
令，且，易知在上单调递减，在上单调递增，
不妨设要证明，即证明，
即证明 证明在上恒成立．
下面构造函数，
则恒成立，
在单调递增，而，
所以，即在上恒成立，
从而得证．
11.解：当时，，定义域为．
，
当单调递增，当单调递减，
故．
，定义域为．
，
令
若，，由知，此时无零点．
若，，
当时，，，故单调递增，且，符合题意．
当时，有两个不等的实根，，
若，在上单调递增，在单调递减，此时，此时无零点．
若，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，当时，，符合题意，
若，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，当时，，符合题意．
综上，的取值范围为．
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的最值及利用导数研究函数的零点，属于难题．
12.解：
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
令对恒成立
又
令，则
若，即，
所以使得当时，有单调递增，矛盾
若，即时，
在上单调递减，
，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
求导易得
令
即，证毕．
【解析】本题考查了利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用导数解证明不等式，属于难题。
13.解：由题意，的定义域为，
令，则，，
则，
因为是函数的极值点，则有，即，所以，
当时，，且，
令，
因为，
则在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以时，是函数的一个极大值点．
综上所述，；
证明：由可知，，
要证函数，即需证明，
因为当时，，
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
所以，当时，，
当时，，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，
所以，即函数．
【解析】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．
确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出的值，然后进行证明，即可得到的值；
将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明，即可证明．
14.解：由，可得，
故，，
从而，
所以在， 处切线方程为，即；
，
由，可得，
解得，经检验符合题意，所以，
求导，
令，则或，
令，则或，
令，则，
极大值 极小值
所以函数的递增区间为和，递减区间为， ，
故函数在处取得极大值，即极大值为，
函数在处取得极小值，即极小值为，
又因为当时，，当时，，
由此得知，函数的最大值为，最小值为．

【解析】利用等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组解出首项和公差，进而可得到其通项公式；
先利用条件求出等比数列的首项和公比，然后利用求和公式即可解决；
本题考查函数切线方程的求法，考查求导判断函数的单调性与极值，属于中档题．
利用导数的几何意义即可求解
由函数在处取得极值，得，再利用导数求得单调性与最值．
15.解：当时，，，
记，
因为，所以在上单调递增，
又，
得当时，即在上单调递增；
当时，即在上单调递减．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，；
当时，即，
令，
记，
令，因为，所以，
所以在上单调递增，即
所以在上单调递增，即，
故当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，所以，
综上可知，实数的取值范围是．

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，属于较难题．
当时，，两次求导，利用导数即可确定函数的单调区间；
分类讨论，当时，不等式恒成立，当时，利用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而求得的取值范围．
16.证明：的定义域为，
则，
令，
则，
令，
则在恒成立，
在上为减函数，
又，，
由零点存在性定理可知，
函数在上存在唯一的零点，
结合单调性可得，在上单调递增，在上单调递减，
可得在区间存在唯一极大值点；
由知，当时，单调递增，
则，则在上单调递减；
当时，单调递增，
则，则在上单调递增；
由于在上单调递减，
且，，
由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点，结合单调性可知，
当时，单调递减，
则，故单调递增；
当时，单调递减，
则，单调递减．
当时，，，
于是，单调递减，
其中
，
．
于是可得下表：

减函数 增函数 大于 减函数 大于 减函数 小于
结合单调性可知，函数在上有且只有一个零点，
由函数零点存在性定理可知，在上有且只有一个零点，
当时，
，
因此函数在上无零点．
综上，有且仅有个零点．
【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力，难度较大．
的定义域为，求出原函数的导函数，令，进一步求导，得到在上为减函数，进行求解即可；
根据题意，研究函数的单调性，进行求解即可．
17.解：函数的定义域为，
可得：，
设，，
当时，恒成立，即恒成立，
此时函数在上是减函数，
当时，判别式，
当时，，即，即恒成立，
此时函数在上是减函数，
当时，令得，或．
当时，；
当，
所以在和上是减函数，在上是增函数．
综上：当时，在上是减函数，
当时，在和上是减函数，在上是增函数．
证明：若存在两个极值点，
由知，
且是的两根，
则，
不妨设，
则
，
则，
可知：要证，
即证，
即证明，
则证，
即证，
即证在上恒成立，
设，，其中，
求导得，
则在上单调递减，
当时，，即，
故，
则成立．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于难题．
求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
可知：要证，即证，进行求解即可．
18.证明：当时，函数，
则，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，
，
在单调递增，，
解：在只有一个零点方程在只有一个根，
在只有一个根，
即函数与的图象在只有一个交点．
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
在只有一个零点时，．
【解析】本题考查了利用导数研究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于拔高题．
通过求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明；
分离参数可得在只有一个根，即函数与的图象在只有一个交点，即可求得．
19.解：由题知，，
当时，，，，则两函数均无最小值，不符题意
当时，在单调递减，在单调递增；
在单调递减，在单调递增；
故，，
所以，即，
令，则，
则在单调递增，又，所以．
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且．
时，此时，显然与两条曲线和
共有个交点，不符合题意；
时，此时，
故与两条曲线和共有个交点，交点的横坐标分别为和；
时，首先，证明与曲线有个交点，
即证明有个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在个零点，设为，在上存在且只存在个零点，设为．
其次，证明与曲线和有个交点，
即证明有个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在个零点，设为，在上存在且只存在个零点，设为．
再次，证明存在，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于难题．
20.解：，故在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，则，，满足：
则，，是的三个正实数根，即．
记，，
，
则在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
由于，，是的三个正实数根，
则，，．
又由于时，，，
，时，，
于是，．
由于，要证，只需证．
即，由知，时，．
综上所述，，得证
由于，，则在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
则，，．
又由于时，，，
，时，，
于是，，故
由于，
记，，则．
要证明：，记，，．
只需证明：．
即证：．
由，，
故，
只需证：．．
由于，即证：．
记，，则在上单调增，
于是，
记，只需证．
由，
知在上单调递减故，得证
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于较难题．
21.解：当时，，，，又时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
令，有，
在区间，各恰有一个零点，也即在区间，各恰有一个零点，
则，
Ⅰ若时，则
令，，分别在和单调递减和单调递增，易知当时，取得最小值，
所以，
当时，，于是在递增，与在上有一个零点矛盾．
Ⅱ若时，令则
所以在递增，又，，
即，，且当时，，单调递减
当时，，单调递增，，
，，
且在上递增，在上递减，在上递增．
又，故，，于是
，，
综上，．
【解析】本题考查利用导数求函数切线，利用导数证明函数零点．
22.解：由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
证明：由，得，
即，
由在单调递增，在单调递减，
所以，且，
令，，
则，为的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以，
故函数在单调递增，
，，得证．
同理，要证，即证，
根据中单调性，
即证，
令，，
则，令，
，，单调递增，
，，单调递减，
又，，且，
故，，
，
恒成立，
得证，
则．
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．
首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，
利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．
23.解：，
求导，
．
令，即，此时单调递减．
单调递增区间为，单调递减区间为．
．
，
，
，
，
．
，则．
．
．
故．
【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数图像的交点个数，属于较难题．
求导，根据导数的正负求解单调区间；
，
利用导数即可求解．
24.解：当时，，
故，
，
，
曲线在点处的切线方程为，即．
，，
，
令，解得，
当，，
当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为，无极大值．
证明：Ⅱ由，则，
对任意的，，且，令，，
则，
，
，
令，，
当时，，
在单调递增，
当，，即，
，，，
，，
由Ⅰ可知当时，，
即，，
由可得，
当时，对任意的，，且，有．
【解析】本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．
Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；
根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；
Ⅱ要证不等式成立，只要证明，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．
25.解：
令，解得，或．
时，，函数在上单调递增．
时，可得函数在，上单调递增，在上单调递减．
时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
由可得：
时，函数在上单调递增，
则，，
解得，，满足条件．
时，函数在上单调递减，在单调递增，
若，即时，函数在上单调递减．
则，，
解得，，满足条件．
若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．
则，
此时若，则，
，故不符合题意；
若，则，
，，不符合题意，舍去；
时，函数在上单调递增，
则，，解得，，不满足条件，舍去．
综上可得：存在，，使得在区间的最小值为且最大值为．
，的所有值为：，或．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了分类讨论思想，属于中档题．
令，解得，或对分类讨论，即可得出单调性．
对分类讨论，利用的结论即可得出．
26.解：，，
，，
，解得．
，，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合中，
若：，，则，舍去；
，，则，舍去；
，，则，舍去；
，，则，舍去；
，，则，舍去；
，，则．
因此，，，
可得．
，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
可得时，函数取得极小值，．
证明：，，，
，
．
．
令．
解得：
单调递增，单调递减，
可得时，取得极大值为，
此时，
．
因此．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
由，可得，根据，可得，解得．
，，设令，解得，或，令，解得或根据和的零点均在集合中，通过分类讨论可得：只有，，可得，可得：利用导数研究其单调性可得时，函数取得极小值．
，，，．令解得：，可得时，取得极大值为，通过计算化简即可证明结论．
27.解：函数的导数为
，
由题意可得曲线在点处的切线斜率为，
可得，且，
解得；
的导数为，
当时，则，此时在递增；在，递减，
可得在处取得极大值，不符题意；
当时，若，则，递增；若，则，递减，
可得在处取得极大值，不符题意；
当时，则，此时在递减；在，递增，
可得在处取得极大值，不符题意；
当时，此时，在上递增，无极值，不符合题意；
当时，则，此时在递减；在，递增，
可得在处取得极小值，满足题意．
综上可得，的取值范围是．
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
求得的导数，由导数的几何意义，可得，进行求解即可；
根据题意，对分类讨论，进行求解即可．
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