考点11：解三角形-2023年新高考数学2018-2022五年真题汇编（含解析）

考点11：解三角形
(2021·全国·历年真题)年月日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为单位：，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足由点测得点的仰角为与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为．( )
A. B. C. D.
(2022·江西省·历年真题)在中，，，，则( )
A. B. C. D.
(2020·云南省红河哈尼族彝族自治州·期末考试)在中，，，，则( )
A. B. C. D.
(2022·福建省·单元测试)的内角的对边分别为若的面积为，则 ( )
A. B. C. D.
(2022·浙江省·历年真题)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积设某三角形的三边，，，则该三角形的面积 ．
(2021·山西省·历年真题)记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
(2021·浙江省·历年真题)在中，，，是的中点，，则 ， ．
(2022·江西省·历年真题)的内角，，的对边分别为，，若，，，则的面积为 ．
(2022·云南省·历年真题)已知中，点在边上，当取得最小值时， ．
(2022·江西省·历年真题)如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则 ．
(2021·山东省泰安市·期中考试)在中，，，，点在线段上，若，则 ； ．
(2021·山东省济宁市·月考试卷)在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则 ， ．
(2022·浙江省·历年真题)记的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，且，．
求的面积
若，求．
(2022·浙江省·历年真题)在中，角，，所对的边分别为，，已知，．
求的值
Ⅱ若，求的面积．
(2021·全国·历年真题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．
若，求的面积；
是否存在正整数，使得为钝角三角形若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(2021·北京市市辖区·历年真题)已知在中，，．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ在下列三个条件中选择一个作为已知，，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
；
周长为；
面积为．
(2022·安徽省·历年真题)中，．
求；
若，求周长的最大值．
(2021·江苏省连云港市·月考试卷)在锐角中，角的对边分别为已知．
求角；
求的取值范围．
(2022·江西省·历年真题)的内角，，的对边分别为，，设．
求；
若，求．
(2022·江西省·历年真题)在平面四边形中，，，，．
求；
若，求．
(2022·云南省·其他类型)在中，内角，，的对边分别是，，，若，，．
求；
求边上的高．
(2022·云南省·历年真题)记的内角、、的对边分别为、、，已知．
证明：
若，，求的周长．
(2022·浙江省·历年真题)记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求
求的最小值．
(2022·云南省·其他类型)在中，C.
求
，且的面积为，求的周长．
(2021·湖南省·历年真题)记的内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，．
证明：；
若，求．
(2021·天津市·历年真题)在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
(2021·云南省·历年真题)的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
(2019·北京市·历年真题)在中，，，．
求，的值；
求的值．
(2019·天津市·历年真题)在中，内角，，所对的边分别为，，已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
(2022·云南省·历年真题)中，角，，所对的边分别为，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ设，，求和的值．
1.
解：过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点，如图所示，
在中，，则，
由正弦定理得，即，
在中，，，由正弦定理得，即，
联立两式解得．
在中，，则，
可得、两点到水平面的高度差．
故本题选 B．

2.
解：由余弦定理可得，
解得．
在中，，
由余弦定理可得
故选A．

3.
解：在中，，，
，，
则
．
故选：．

4.
的内角，，的对边分别为，，，的面积为，
，
，
，．
故选C．

5.
由题意，．

6.
解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：．

7.
解：由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，
解得负值舍去，
所以，
在中，
由余弦定理，
所以；
在中，由余弦定理．
故答案为：；．

8.
解：由余弦定理有，
，，，
，
，
．
故答案为．

9.或
解：设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．

10.
解：由已知得，
、、 重合于一点，
，，
在中，由余弦定理得

，
，
由，得，
在中，由余弦定理得
．
故答案为：．

11.
解：如图所示，
在直角三角形中，，，可得，，
在中，由正弦定理可得，可得；
根据三角形内角和可知，
，
即有
，
故答案为；．

12.

解：在中，角，，所对的边分别为，，．
，，，
由正弦定理得：，即，
解得．
由余弦定理得：
，即，
解得或舍，
，．
故答案为：；．

13.解：边长为的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故．
由正弦定理得：．，故．
14.解：由于，，则．
由正弦定理知，则．
由，则．
故，则，
的面积．
15.解：因为，
根据正弦定理可知，
则，故，，
，
所以为锐角，则，
因此，．
显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
又，则，即，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，
，故．

16.Ⅰ；Ⅱ若选，；若选，．
Ⅰ由正弦定理，可得，
所以舍去或，故；
Ⅱ由Ⅰ可知，，故不能选；
若选，设，则，
故周长为，解得，
即，，
设中点为，则在中，由余弦定理，
，解得；
若选，设，则，
故，
解得，即，，
设中点为，则在中，由余弦定理，
，解得；
综上：若选，；若选，．
17.解：在中，设内角，，的对边分别为，，，
因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
因为，所以．
由知，，因为，即，
由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式可得，
所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．
18.解：，
，
，
，
，
，
为锐角三角形，，
，
，
为锐角三角形，，，
解得，
，
，
，
的取值范围为．
19.解：的内角，，的对边分别为，，，
又，
则，
由正弦定理得：，
，
，
．
，，
由正弦定理得，
，
即，
即，
即，
，
，
，，
．
20.解：，，，由正弦定理得：，
即，，
，，．
，，，
．

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由正弦定理得，求出，由此能求出；
由，得，再由，利用余弦定理能求出．
21.解：，
，即是锐角，
，
，
由正弦定理，，
得，
又为锐角，
则
由余弦定理得，
即，
即，
得，
解得或舍，
则边上的高．
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
由正弦定理，进行求解即可
利用余弦定理求出的值，即可求出．
22.解：证明：已知
可化简为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，即证，
由可知，，
，，
，，的周长为．
【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目．
利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；
由余弦定理求出即可得出三角形的周长．
23.解：，且，
，，
又，，，．
又，，．
由正弦定理，
得，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，．
【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题，属于中档题．
由二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切函数公式化简得，即可求；
由正弦定理，二倍角公式化简得，令，利用对勾函数性质即可得解．
24.解：，
，
，
．
，
，
，
由余弦定理得
，
所以的周长为．
【解析】本题考查了解三角形与三角恒等变换
利用二倍角正弦公式进行计算，根据三角形内角的取值范围即可求解
利用三角形面积公式与余弦定理解三角形，即可求得三角形周长
25.解：证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，舍；
当时，；
综上所述，．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．
利用正弦定理求解；
要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．
26.解：Ⅰ由余弦定理以及，，，
则，
，
；
Ⅱ由正弦定理，以及，，，
可得；
Ⅲ由，及，可得，
则，
，
．
【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
Ⅰ根据余弦定理即可求出的大小；
Ⅱ根据正弦定理即可求出的值；
Ⅲ根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
27.解：，即为，
可得，
，
，
若，可得，，
又，所以不成立，
，
由，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由为锐角三角形，可得且，
解得，
可得面积
【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．
运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
运用余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，求得的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．
28.解：，，．
由余弦定理，得
，
，；
在中，，
，
由正弦定理有：，
，
，
，为锐角，
，
．
【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．
利用余弦定理可得，代入已知条件即可得到关于的方程，解方程即可；
，根据正弦定理可求出，然后求出，代入即可得解．
29.解：Ⅰ在三角形中，由正弦定理得，所以，
又由，
得，即，
又因为，得，，
由余弦定理可得
；
Ⅱ由Ⅰ得，
从而，
，
故
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
Ⅰ根据正余弦定理可得；
Ⅱ根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．
30.解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，
，
即，
，
又，．
Ⅱ在中，，，，
由余弦定理得，
由，得，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用．
Ⅰ由正弦定理得，结合，由此能求出．
Ⅱ由余弦定理得，由，得，，由此能求出．
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