考点07：导数的几何意义-2023年新高考数学2018-2022五年真题汇编（含解析）

考点07：导数的几何意义
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
(2022·江西省·历年真题)函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
(2021·云南省·历年真题)已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
(2022·江西省·历年真题)设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
(2022·浙江省·历年真题)若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
(2022·浙江省·历年真题)曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ．
(2021·全国·历年真题)曲线在点处的切线方程为 ．
(2021·全国·历年真题)已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则取值范围是 ．
(2022·江西省·历年真题)曲线在点处的切线方程为 ．
(2020·福建省漳州市·期末考试)在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点为自然对数的底数，则点的坐标是 ．
(2021·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期中考试)曲线在点处的切线方程为 ．
(2021·四川省乐山市·月考试卷)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共91.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(2022·全国·历年真题)本小题分
已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
若，求
求的取值范围．
(2022·全国·历年真题)本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
设，讨论函数在上的单调性
证明：对任意的，，有．
(2022·江西省·历年真题)本小题分
设函数，曲线在点处的切线与轴垂直．
求
若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于．
(2021·福建省·历年真题)本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
若，求的取值范围．
(2022·江苏省连云港市·期末考试)本小题分
已知函数．
求曲线的斜率等于的切线方程；
设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
(2022·江西省·历年真题)本小题分
已知函数．
讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(2022·河南省·其他类型)本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线的斜率为的切线方程；
Ⅱ当时，求证：；
Ⅲ设，记在区间上的最大值为当最小时，求的值．
答案
1.
解：先求函数的导函数，
则由函数的几何意义可知在点的切线斜率为．
又因为，
则切线方程为，即．
故选B．

2.
解：的导数为，
由在点处的切线方程为，
可得，解得，
故切点为，可得，即．
故选D．

3.
解：函数，若为奇函数，则，
．
所以：，
可得，
所以函数，可得，
则曲线在点处的切线的斜率为：，
则曲线在点处的切线方程为：．
故选D．

4.
解：，设切点为，故，即由题意可得，方程在上有两个不相等的实数根化简得，，，解得或，显然此时不是根，故满足题意．

5.

解：当时，点上的切线为
若该切线经过原点，则，解得，
此的切线方程为．
当时，点上的切线为．
若该切线经过原点，则，解得，
此时切线方程为．

6.
解：因为，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为，即

7.
解：由题意，，则
所以点和点，，
所以，
所以，
所以，
同理，
所以
故答案为：．

8.
解：，
，
当时，，
在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线方程为：．
故答案为．

9.
解：设，由，得，
，则该曲线在点处的切线方程为，
切线经过点，，
即，则
点坐标为．
故答案为：．

10.
解：，
，
当时，，
曲线在点处的切线方程为，
故答案是．

11.
解：曲线，可得，
曲线在点处的切线的斜率为，
可得：，解得．
故答案为．

12.解：，，且
故在点处的切线方程为
又与相切，将直线代入得
由得
，曲线在点处的切线方程为
，即
由得，
设在点处的切线方程为，
即，
．
令，则
当或时，，此时函数单调递减
当或时，，此时函数单调递增
又，，，
，故
13.解：由题，，
故，，
所以曲线在处的切线方程为
由知，，，
则，
设，，
则
故在上递增，
故，
因此对任意恒成立，
故在上单调递增
设，
则，
由，在上单调递增，
故，时，，
因此，在上递增，
故，
因此，对任意的，，有．
14.解：，
由题意知：，解得；
由可得，
由题意知直线与函数的图象在上至少有一交点，
设，则，
当时， ，
当时，，
当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
故，
显然此时直线与函数的图象在上无交点，
原命题得证．

【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、零点问题，属于一般题．
根据导数的几何意义列方程求解即可．
先把有一个绝对值不大于的零点等价转化为直线与函数的图象在上至少有一交点，求出的取值范围，进而根据的单调性即可证明原命题成立．
15.解：当，，
，
所以切线方程为：，
即，
所以切线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以三角形的面积．
，
要使，只需，
即，
即，
令，，单调递增，
故只需，
因为为增函数，
只需证，
即，
设，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，，
即的取值范围为．

【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题．
根据导数的几何意义进行计算即可．
把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即可．
16.解：的导函数，
令切点为，可得切线的斜率为，
，，
切线的方程为；
曲线在点处的切线的斜率为，
切线方程为，
令，可得，令，可得，
，
由，可知为偶函数，
不妨设，则，
，
由，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则在处取得极小值，且为最小值，
所以的最小值为．
【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程和利用导数研究函数的单调性、极值和最值，属于中档题．
求得的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得，，进而得到切线的方程；
求得切线的斜率和方程，分别令，，求得切线的横截距和纵截距，可得三角形的面积，考虑的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出的最小值．
17.解析：函数，定义域为：，
，且，
在，上单调递增，
在区间取值，代入函数，
，，，
在有且仅有一个零点，
在区间取值，代入函数，
，，，
在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
是的一个零点，则有，
曲线，则有，
曲线在点处的切线方程为：，
即，
可得，
而曲线的切线在点处的切线方程为：，
即，
故曲线在点处的切线也是曲线的切线．
故得证．
【解析】本题考查的单调性，函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．
讨论的单调性，求函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数；
运用曲线的切线方程定义可证明在点处的切线方程为，曲线在点处的切线方程为 ，得证．
18.解：Ⅰ，
由得，
得，
又，，
切线方程为：和，
即和；
Ⅱ证明：欲证，
只需证，
令，，
则，
可知在为正，在为负，在为正，
在递增，在递减，在递增，
又，，，，
，
；
Ⅲ由Ⅱ可得，
在上，，
令，，
则问题转化为当时，的最大值的问题了，
当时，，此时
当时，，
时，，
综上，当取最小值时的值为．
【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查数形结合法，属于中档题．
Ⅰ求导数，由求得切点，即可得点斜式方程；
Ⅱ把所证不等式转化为，再令，利用导数研究在的单调性和极值点即可得证；
Ⅲ先把化为，再利用Ⅱ的结论，引进函数，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴与的关系分析即可．
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