人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》2022年同步练习卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》2022年同步练习卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-25 16:15:31 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》2022年同步练习卷
一 、单选题（本大题共5小题，共25分）
1.（5分）不等式的解集是
A. B.
C. D.
2.（5分）下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
3.（5分）对于函数，下列说法正确的是
A. 若，，则函数的最小值为
B. 若，，则函数的单调递增区间为
C. 若，，则函数是单调函数
D. 若，，则函数是奇函数
4.（5分）已知，则有
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
5.（5分）函数的图象最低点的坐标是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共3小题，共15分）
6.（5分）已知，则与的大小关系是__________.
7.（5分）若，，且，则的最小值为 ______.
8.（5分）已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为____________.
三 、解答题（本大题共4小题，共48分）
9.（12分）已知，，求证：
；
10.（12分）当时，求函数的最小值；
设，求函数的最大值．
11.（12分）已知函数，若，，求证：
12.（12分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为
试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；
怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查分式不等式的解法
同解转化为整式不等式，再由一元二次不等式的解法求解.
解：不等式等价于，解得或
故选
2.【答案】B;
【解析】
该题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
A.时不成立；
B.，利用基本不等式的性质即可判断出正误；
C.由，可得，即可判断出正误
D.，即可判断出正误．
解：时不成立；
B.，当且仅当时取等号，因此正确．
C.由，可得，因此不正确；
D.，当且仅当时取等号，因此不正确．
故选：．
3.【答案】D;
【解析】解：对于，当时，，显然最小值不会是，故错误；
对于，当，，则函数的单调递增区间为，，故错误；
对于，当，时，则函数在区间和上分别是单调函数，故错误；
对于，显然，故是奇函数，故正确．
故选：
当，不同时为时，显然函数为奇函数，然后利用单调性的判断方法，特值法逐项判断即可．
此题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断和求法，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】
该题考查函数的最值，函数的单调性，属于基础题．
利用对勾函数的单调性，即可求出结果．
解：令，
由对勾函数的单调性可得，时，函数单调递增；时，函数单调递减；
在时，函数单调递增；时，函数单调递减；
故时，取得最大值，
因为，
所以有最大值
故选：．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查的知识点是函数的最值及基本不等式，属于中档题.
将函数的解析式化为，又，由基本不等式，我们易得，取最小值，即得函数的图象的最低点坐标．
解：
，
当且仅当，即时，取最小值，
故函数的图象的最低点坐标是
故选
6.【答案】;
【解析】
此题主要考查了不等式比较大小，属于较易题.
作差化简整理即可得结果.
解：
，，
故答案为
7.【答案】;
【解析】解：由原式可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
将原式变形，可得，则可化为，利用基本不等式即可进行求解．
此题主要考查了基本不等式及其应用，属于中档题，
8.【答案】5;
【解析】略
9.【答案】证明：（1）因为a＞0，b＞0，a+b=2，
所以0＜a＜2，0＜b＜2，
则3+=3+（2-a）2=4-4a+4=（2a-1）2+3≥3，
当且仅当取等号．
（2）证明：∵a+b=2，
∴a+1+b=3，
∴=，
当且仅当且a+b=2，即a=b=1时取等号．;
【解析】
根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
结合基本不等式的“乘”法，即可求解．
此题主要考查不等式的证明，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键你，属于中档题．
10.【答案】解：∵x＞2时，
∴x-2＞0，
函数=x-2++2=4，当且仅当x=3时，取等号．
∴函数的最小值为4．
（2）∵0＜x＜3，
∴6-2x＞0，2x＞0．
那么函数===，当且仅当x=时，取等号．
∴求函数的最大值为．;
【解析】
函数，结合基本不等式即可求解最小值；
函数，结合基本不等式即可求解最大值；
此题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质是解决本题的关键．属于基础题．
11.【答案】证明：
f（x）在（0，1）单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以a∈（1，+∞），b∈（0，1），f（a）=f（b） lga+lgb=0 lg（ab）=0 ab=1，
，
，
当且仅当，即 时等号成立，
所以．;
【解析】
利用基本不等式的性质，进行证明即可．
此题主要考查基本不等式的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=20000，∴b=
广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），
广告的面积S=（a+20）（3b+30）=30（a+2b）+60600；
（2）S=30（a+2b）+60600=30（a+）+60600≥30×2=12000+60600=72600，
当且仅当a=，即a=200时，取等号，此时b=100．
故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．;
【解析】
根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积；
利用基本不等式，即可求得最值．
此题主要考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解答该题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．
一 、单选题（本大题共5小题，共25分）
1.（5分）不等式的解集是
A. B.
C. D.
2.（5分）下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
3.（5分）对于函数，下列说法正确的是
A. 若，，则函数的最小值为
B. 若，，则函数的单调递增区间为
C. 若，，则函数是单调函数
D. 若，，则函数是奇函数
4.（5分）已知，则有
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
5.（5分）函数的图象最低点的坐标是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共3小题，共15分）
6.（5分）已知，则与的大小关系是__________.
7.（5分）若，，且，则的最小值为 ______.
8.（5分）已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为____________.
三 、解答题（本大题共4小题，共48分）
9.（12分）已知，，求证：
；
10.（12分）当时，求函数的最小值；
设，求函数的最大值．
11.（12分）已知函数，若，，求证：
12.（12分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为
试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；
怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查分式不等式的解法
同解转化为整式不等式，再由一元二次不等式的解法求解.
解：不等式等价于，解得或
故选
2.【答案】B;
【解析】
该题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
A.时不成立；
B.，利用基本不等式的性质即可判断出正误；
C.由，可得，即可判断出正误
D.，即可判断出正误．
解：时不成立；
B.，当且仅当时取等号，因此正确．
C.由，可得，因此不正确；
D.，当且仅当时取等号，因此不正确．
故选：．
3.【答案】D;
【解析】解：对于，当时，，显然最小值不会是，故错误；
对于，当，，则函数的单调递增区间为，，故错误；
对于，当，时，则函数在区间和上分别是单调函数，故错误；
对于，显然，故是奇函数，故正确．
故选：
当，不同时为时，显然函数为奇函数，然后利用单调性的判断方法，特值法逐项判断即可．
此题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断和求法，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】
该题考查函数的最值，函数的单调性，属于基础题．
利用对勾函数的单调性，即可求出结果．
解：令，
由对勾函数的单调性可得，时，函数单调递增；时，函数单调递减；
在时，函数单调递增；时，函数单调递减；
故时，取得最大值，
因为，
所以有最大值
故选：．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查的知识点是函数的最值及基本不等式，属于中档题.
将函数的解析式化为，又，由基本不等式，我们易得，取最小值，即得函数的图象的最低点坐标．
解：
，
当且仅当，即时，取最小值，
故函数的图象的最低点坐标是
故选
6.【答案】;
【解析】
此题主要考查了不等式比较大小，属于较易题.
作差化简整理即可得结果.
解：
，，
故答案为
7.【答案】;
【解析】解：由原式可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
将原式变形，可得，则可化为，利用基本不等式即可进行求解．
此题主要考查了基本不等式及其应用，属于中档题，
8.【答案】5;
【解析】略
9.【答案】证明：（1）因为a＞0，b＞0，a+b=2，
所以0＜a＜2，0＜b＜2，
则3+=3+（2-a）2=4-4a+4=（2a-1）2+3≥3，
当且仅当取等号．
（2）证明：∵a+b=2，
∴a+1+b=3，
∴=，
当且仅当且a+b=2，即a=b=1时取等号．;
【解析】
根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
结合基本不等式的“乘”法，即可求解．
此题主要考查不等式的证明，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键你，属于中档题．
10.【答案】解：∵x＞2时，
∴x-2＞0，
函数=x-2++2=4，当且仅当x=3时，取等号．
∴函数的最小值为4．
（2）∵0＜x＜3，
∴6-2x＞0，2x＞0．
那么函数===，当且仅当x=时，取等号．
∴求函数的最大值为．;
【解析】
函数，结合基本不等式即可求解最小值；
函数，结合基本不等式即可求解最大值；
此题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质是解决本题的关键．属于基础题．
11.【答案】证明：
f（x）在（0，1）单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以a∈（1，+∞），b∈（0，1），f（a）=f（b） lga+lgb=0 lg（ab）=0 ab=1，
，
，
当且仅当，即 时等号成立，
所以．;
【解析】
利用基本不等式的性质，进行证明即可．
此题主要考查基本不等式的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=20000，∴b=
广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），
广告的面积S=（a+20）（3b+30）=30（a+2b）+60600；
（2）S=30（a+2b）+60600=30（a+）+60600≥30×2=12000+60600=72600，
当且仅当a=，即a=200时，取等号，此时b=100．
故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．;
【解析】
根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积；
利用基本不等式，即可求得最值．
此题主要考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解答该题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．