人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2022年同步练习卷（1）（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2022年同步练习卷（1）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-25 16:16:21 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2022年同步练习卷（1）
一 、单选题（本大题共7小题，共35分）
1.（5分）函数在区间上是减少的，在实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2.（5分）下列函数中，在区间上单调递减的是
A. B.
C. D.
3.（5分）设函数是上的减函数，则有
A. B. C. D.
4.（5分）已知函数在单调递增，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5.（5分）下列命题是真命题的是
A. 函数在上是减函数最大值为
B. 函数在是增函数，最小值为
C. 函数在区间先减再增，最小值为
D. 函数在区间先减再增，最大值为
6.（5分）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.（5分）若函数是增函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
8.（5分）已知f（t）是定义在区间[-1，1]上的增函数，且，则x的取值范围为____________________.
9.（5分）函数，的单调递增区间是 ______，单调递减区间是 ______.
10.（5分）函数的单调减区间为______.
11.（5分）设函数的定义域为，能说明若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增”为假命题的一个函数是 ______.
12.（5分）函数，的单调递增区间是 ______；单调递减区间是 ______.
三 、解答题（本大题共4小题，共48分）
13.（12分）已知函数的图象过原点，且
求实数，的值；
判断并用定义证明函数在区间上的单调性．
14.（12分）设，其中
当时，求函数的图像与直线交点的坐标；
若函数有两个不相等的正数零点，求的取值范围；
若函数在上不具有单调性，求的取值范围．
15.（12分）已知是奇函数，且．
求实数，的值；
判断函数在区间上的单调性，并加以证明．
16.（12分）已知函数，，从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题．
①已知函数，若在定义域上为偶函数；
②已知函数在上的值域为；
③已知函数，满足
证明在上的单调性；
解不等式
四 、多选题（本大题共2小题，共8分）
17.（4分）下列数中，满足对任意，，当时，都有的是
A. B.
C. D.
18.（4分）在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数等双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线问题，可以用双曲余弦型函数来刻画则下列结论正确的是
A.
B. 为偶函数，且存在最小值
C. ，
D. ，，且，
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：因为在区间上是减函数，所以为函数减区间的子集．
①当时，的减区间为则有，解得；
②当时，的减区间为在区间上是减函数成立，所以
③当时，函数是减函数，
综①②③，得实数的取值范围为
故选：
因为在区间上是减函数，所以为函数减区间的子集，分及两种情况讨论即可．
此题主要考查二次函数的单调性问题，注意抛物线开口方向影响其单调区间．
2.【答案】A;
【解析】解：选项：，故在上单调递减；
选项，在上单调递增；
选项，在上单调递增；
选项，在上单调递增；
故选：
分别利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数的单调性进行判断．
此题主要考查基本函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：函数是上的减函数，
则
故选：．
根据一次函数的单调性由的系数可得，解可得答案．
这道题主要考查一次函数的单调性．
4.【答案】D;
【解析】解：函数在单调递增，
在大于零且单调递增，
，且，求得，
故选：
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得的范围．
此题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5.【答案】D;
【解析】解：：一次函数在上为减函数，，错误，
：反比例函数在是增函数，，错误，
：二次函数的对称轴为，开口向下，在区间先增后减，，错误，
：二次函数的对称轴为，开口向上，在区间先减后增，，正确，
故选：
利用一次函数的单调性判断，利用反比例函数的单调性判断，利用二次函数的单调性判断
此题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查的知识点是函数单调性的性质，属于基础题．
由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．
解：函数的图象是方向朝上，对称轴为，
又函数在区间上是减函数，
故，
解得
故选
7.【答案】B;
【解析】解：当时，函数是增函数，最大值为：，最小值大于，
函数是增函数，时，，
可得并且，可得．
故选：．
求出函数在的最大值与最小值，判断函数的单调性，利用函数的图象的变换，推出结果即可．
该题考查函数的单调性以及分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．
8.【答案】;
【解析】略
9.【答案】[0，1] [1，3];
【解析】解：的对称轴为，且开口向下，
函数，的单调递增区间为，单调递减区间是
故答案为：，
先求出函数的对称轴和开口方向，再利用二次函数的图象与性质求解即可．
此题主要考查二次函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】（3，+∞）;
【解析】解：由，可得或
令，则函数在上单调递增
函数在定义域内为减函数
函数的单调减区间为
故答案为：
确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可得到结论．
此题主要考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，确定内外函数的单调性是关键．
11.【答案】f（x）=（x-）2+，x∈[0，1]，（答案不唯一）．;
【解析】根据题意，要求函数的定义域为，在上的最大值为，但在上不是增函数，
可以考虑定义域为上，先减后增的函数的二次函数，
函数，符合，
故答案为：，，答案不唯一
根据题意，可以构造在定义域为上，先减后增的函数，满足最大值为，即可得答案．
此题主要考查函数的单调性与单调区间，涉及常见函数的单调性，属于基础题．
12.【答案】（1，+∞） [0，1）;
【解析】解：函数，的对称轴为，且开口向上，
函数单调递增区间是，单调递减区间是
故答案为：，
先求出二次函数的对称轴和开口方向，再利用二次函数的单调性即可求解．
此题主要考查二次函数的单调性，属于基础题．
13.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=a 2x+b的图象过原点，且f（1）=1，
则，解得a=1，b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f（x）=2x-1，
则g（x）=，
函数在区间（0，+∞）上单调递减．
证明如下：
设0＜＜，
则=，
因为0＜＜，
所以，
故g（）＞g（），
所以函数在区间（0，+∞）上单调递减．;
【解析】
利用，，建立关于，的方程组，求解即可；
利用函数单调性的定义判断并证明即可．
此题主要考查了函数解析式的求解，函数单调性的证明，解答该题的关键是掌握利用函数单调性定义证明的一般步骤，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
14.【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=-x+3，
联立方程，解得或，
故焦点坐标为（1，3）和（3，9）．
（II）函数f（x）有两个不相等的正数零点，
设方程-ax+3=0有两个不等的正实根，，
即，解得，
故a的取值范围为（2，+∞）．
（III）函数f（x）=-ax+3在上单调递增，在上单调递减，
∵函数f（x）在（-∞，0）上不具有单调性，
∴0，解得a＜0，
故a的取值范围为（-∞，0）．;
【解析】
当时，，联立方程，求解坐标，即可求解．
由已知条件可得，，解出的取值范围，即可求解．
根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．
此题主要考查二次函数的性质与图象，属于中档题．
15.【答案】解：（1）f（x）是奇函数，f（2）=4，则f（-2）=-4
联立方程组得，解之得．
（2）由（1）得f（x）==x+，
函数f（x）在区间（0，2）上的单调递减，
证明：
由题意求导数得f′（x）=1-，
∵x∈（0，2），
∴＞1，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的单调递减．;
【解析】
由奇函数得，联立解得方程组即可，先判断函数的单调性，然后利用导数证明即可．
本题考察函数的奇偶性和单调性，利用导数符号判断和证明单调性是常用方法．
16.【答案】解：①由f（x+1）在定义域[b-1，b+1]上为偶函数，可得b-1+b+1=0，即b=0，
且f（x）=-ax+4的对称轴方程为x=，即a=2，
∴a=2，b=0；
②（i）当a＞1时，f（x）=+b在[1，2]上单调递增，则有，解得a=2，b=0；
（ii）当0＜a＜1时，f（x）=+b在[1，2]上单调递减，则有，方程组无解．
综上，a=2，b=0；
③由，满足f（2-x）+f（x+2）=0，可得f（x）的对称中心为（2，0），得a=2，b=0．
由①或②或③得a=2，b=0，则g（x）=，x∈（-1，1），
证明：（1）任取，∈（-1，1），且-1＜＜＜1，
则g（）-g（）==，
∵-1＜＜＜1，∴-＞0，-1＜0，
∴g（）-g（）＜0，即g（）＜g（），
则g（x）在（-1，1）上单调递增；
解：（2）∵g（-x）=，∴g（x）为奇函数．
由g（t-1）+g（2t）＜0，即g（2t）＜g（1-t），
且g（x）在（-1，1）上单调递增，得，解得0＜t＜．
∴不等式g（t-1）+g（2t）＜0的解集为（0，）．;
【解析】
由①②③中的任何一个条件都能求得，，代入函数的解析式．
直接利用函数单调性的定义证明在上单调递增；
判定函数为上的奇函数，把不等式变形，再由函数的单调性转化为关于的不等式组求解．
此题主要考查函数的单调性、奇偶性、对称性的判定及应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查函数的单调性与单调区间，属基础题.
根据题意函数为在上为增函数的函数，根据基本初等函数的单调性逐一判断即可.
解：由，当时，，
所以函数为在上为增函数的函数．
选项，在上为增函数，符合题意；
选项，在上为减函数，不符合题意；
选项，在上为增函数，符合题意；
选项，在上为增函数，符合题意．
故选
18.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，函数的极值和基本不等式，构造函数的应用，函数的导数和单调区间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性和基本不等式，构造函数的应用，函数的导数和单调区间的关系判断、、、的结论．
解：对于：双曲正弦函数和双曲余弦函数满足，
只有当时，，但是对于其他的值不一定成立，故错误；
对于：，故函数为偶函数，由于，故，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于：函数和函数都为单调递增函数，
所以也为增函数，当时，，
令，令，
则，
所以在单调递增，
所以，
所以，即，故正确；
对于：不妨设，
所以，
则，即，
由选项得：在上单调递增，
由于所以函数为奇函数，
所以函数的图像关于原点对称，在上单调递增，
故，，且， ，故正确．
故选：
一 、单选题（本大题共7小题，共35分）
1.（5分）函数在区间上是减少的，在实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2.（5分）下列函数中，在区间上单调递减的是
A. B.
C. D.
3.（5分）设函数是上的减函数，则有
A. B. C. D.
4.（5分）已知函数在单调递增，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5.（5分）下列命题是真命题的是
A. 函数在上是减函数最大值为
B. 函数在是增函数，最小值为
C. 函数在区间先减再增，最小值为
D. 函数在区间先减再增，最大值为
6.（5分）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.（5分）若函数是增函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
8.（5分）已知f（t）是定义在区间[-1，1]上的增函数，且，则x的取值范围为____________________.
9.（5分）函数，的单调递增区间是 ______，单调递减区间是 ______.
10.（5分）函数的单调减区间为______.
11.（5分）设函数的定义域为，能说明若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增”为假命题的一个函数是 ______.
12.（5分）函数，的单调递增区间是 ______；单调递减区间是 ______.
三 、解答题（本大题共4小题，共48分）
13.（12分）已知函数的图象过原点，且
求实数，的值；
判断并用定义证明函数在区间上的单调性．
14.（12分）设，其中
当时，求函数的图像与直线交点的坐标；
若函数有两个不相等的正数零点，求的取值范围；
若函数在上不具有单调性，求的取值范围．
15.（12分）已知是奇函数，且．
求实数，的值；
判断函数在区间上的单调性，并加以证明．
16.（12分）已知函数，，从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题．
①已知函数，若在定义域上为偶函数；
②已知函数在上的值域为；
③已知函数，满足
证明在上的单调性；
解不等式
四 、多选题（本大题共2小题，共8分）
17.（4分）下列数中，满足对任意，，当时，都有的是
A. B.
C. D.
18.（4分）在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数等双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线问题，可以用双曲余弦型函数来刻画则下列结论正确的是
A.
B. 为偶函数，且存在最小值
C. ，
D. ，，且，
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：因为在区间上是减函数，所以为函数减区间的子集．
①当时，的减区间为则有，解得；
②当时，的减区间为在区间上是减函数成立，所以
③当时，函数是减函数，
综①②③，得实数的取值范围为
故选：
因为在区间上是减函数，所以为函数减区间的子集，分及两种情况讨论即可．
此题主要考查二次函数的单调性问题，注意抛物线开口方向影响其单调区间．
2.【答案】A;
【解析】解：选项：，故在上单调递减；
选项，在上单调递增；
选项，在上单调递增；
选项，在上单调递增；
故选：
分别利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数的单调性进行判断．
此题主要考查基本函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：函数是上的减函数，
则
故选：．
根据一次函数的单调性由的系数可得，解可得答案．
这道题主要考查一次函数的单调性．
4.【答案】D;
【解析】解：函数在单调递增，
在大于零且单调递增，
，且，求得，
故选：
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得的范围．
此题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5.【答案】D;
【解析】解：：一次函数在上为减函数，，错误，
：反比例函数在是增函数，，错误，
：二次函数的对称轴为，开口向下，在区间先增后减，，错误，
：二次函数的对称轴为，开口向上，在区间先减后增，，正确，
故选：
利用一次函数的单调性判断，利用反比例函数的单调性判断，利用二次函数的单调性判断
此题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查的知识点是函数单调性的性质，属于基础题．
由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．
解：函数的图象是方向朝上，对称轴为，
又函数在区间上是减函数，
故，
解得
故选
7.【答案】B;
【解析】解：当时，函数是增函数，最大值为：，最小值大于，
函数是增函数，时，，
可得并且，可得．
故选：．
求出函数在的最大值与最小值，判断函数的单调性，利用函数的图象的变换，推出结果即可．
该题考查函数的单调性以及分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．
8.【答案】;
【解析】略
9.【答案】[0，1] [1，3];
【解析】解：的对称轴为，且开口向下，
函数，的单调递增区间为，单调递减区间是
故答案为：，
先求出函数的对称轴和开口方向，再利用二次函数的图象与性质求解即可．
此题主要考查二次函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】（3，+∞）;
【解析】解：由，可得或
令，则函数在上单调递增
函数在定义域内为减函数
函数的单调减区间为
故答案为：
确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可得到结论．
此题主要考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，确定内外函数的单调性是关键．
11.【答案】f（x）=（x-）2+，x∈[0，1]，（答案不唯一）．;
【解析】根据题意，要求函数的定义域为，在上的最大值为，但在上不是增函数，
可以考虑定义域为上，先减后增的函数的二次函数，
函数，符合，
故答案为：，，答案不唯一
根据题意，可以构造在定义域为上，先减后增的函数，满足最大值为，即可得答案．
此题主要考查函数的单调性与单调区间，涉及常见函数的单调性，属于基础题．
12.【答案】（1，+∞） [0，1）;
【解析】解：函数，的对称轴为，且开口向上，
函数单调递增区间是，单调递减区间是
故答案为：，
先求出二次函数的对称轴和开口方向，再利用二次函数的单调性即可求解．
此题主要考查二次函数的单调性，属于基础题．
13.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=a 2x+b的图象过原点，且f（1）=1，
则，解得a=1，b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f（x）=2x-1，
则g（x）=，
函数在区间（0，+∞）上单调递减．
证明如下：
设0＜＜，
则=，
因为0＜＜，
所以，
故g（）＞g（），
所以函数在区间（0，+∞）上单调递减．;
【解析】
利用，，建立关于，的方程组，求解即可；
利用函数单调性的定义判断并证明即可．
此题主要考查了函数解析式的求解，函数单调性的证明，解答该题的关键是掌握利用函数单调性定义证明的一般步骤，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
14.【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=-x+3，
联立方程，解得或，
故焦点坐标为（1，3）和（3，9）．
（II）函数f（x）有两个不相等的正数零点，
设方程-ax+3=0有两个不等的正实根，，
即，解得，
故a的取值范围为（2，+∞）．
（III）函数f（x）=-ax+3在上单调递增，在上单调递减，
∵函数f（x）在（-∞，0）上不具有单调性，
∴0，解得a＜0，
故a的取值范围为（-∞，0）．;
【解析】
当时，，联立方程，求解坐标，即可求解．
由已知条件可得，，解出的取值范围，即可求解．
根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．
此题主要考查二次函数的性质与图象，属于中档题．
15.【答案】解：（1）f（x）是奇函数，f（2）=4，则f（-2）=-4
联立方程组得，解之得．
（2）由（1）得f（x）==x+，
函数f（x）在区间（0，2）上的单调递减，
证明：
由题意求导数得f′（x）=1-，
∵x∈（0，2），
∴＞1，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的单调递减．;
【解析】
由奇函数得，联立解得方程组即可，先判断函数的单调性，然后利用导数证明即可．
本题考察函数的奇偶性和单调性，利用导数符号判断和证明单调性是常用方法．
16.【答案】解：①由f（x+1）在定义域[b-1，b+1]上为偶函数，可得b-1+b+1=0，即b=0，
且f（x）=-ax+4的对称轴方程为x=，即a=2，
∴a=2，b=0；
②（i）当a＞1时，f（x）=+b在[1，2]上单调递增，则有，解得a=2，b=0；
（ii）当0＜a＜1时，f（x）=+b在[1，2]上单调递减，则有，方程组无解．
综上，a=2，b=0；
③由，满足f（2-x）+f（x+2）=0，可得f（x）的对称中心为（2，0），得a=2，b=0．
由①或②或③得a=2，b=0，则g（x）=，x∈（-1，1），
证明：（1）任取，∈（-1，1），且-1＜＜＜1，
则g（）-g（）==，
∵-1＜＜＜1，∴-＞0，-1＜0，
∴g（）-g（）＜0，即g（）＜g（），
则g（x）在（-1，1）上单调递增；
解：（2）∵g（-x）=，∴g（x）为奇函数．
由g（t-1）+g（2t）＜0，即g（2t）＜g（1-t），
且g（x）在（-1，1）上单调递增，得，解得0＜t＜．
∴不等式g（t-1）+g（2t）＜0的解集为（0，）．;
【解析】
由①②③中的任何一个条件都能求得，，代入函数的解析式．
直接利用函数单调性的定义证明在上单调递增；
判定函数为上的奇函数，把不等式变形，再由函数的单调性转化为关于的不等式组求解．
此题主要考查函数的单调性、奇偶性、对称性的判定及应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查函数的单调性与单调区间，属基础题.
根据题意函数为在上为增函数的函数，根据基本初等函数的单调性逐一判断即可.
解：由，当时，，
所以函数为在上为增函数的函数．
选项，在上为增函数，符合题意；
选项，在上为减函数，不符合题意；
选项，在上为增函数，符合题意；
选项，在上为增函数，符合题意．
故选
18.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，函数的极值和基本不等式，构造函数的应用，函数的导数和单调区间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性和基本不等式，构造函数的应用，函数的导数和单调区间的关系判断、、、的结论．
解：对于：双曲正弦函数和双曲余弦函数满足，
只有当时，，但是对于其他的值不一定成立，故错误；
对于：，故函数为偶函数，由于，故，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于：函数和函数都为单调递增函数，
所以也为增函数，当时，，
令，令，
则，
所以在单调递增，
所以，
所以，即，故正确；
对于：不妨设，
所以，
则，即，
由选项得：在上单调递增，
由于所以函数为奇函数，
所以函数的图像关于原点对称，在上单调递增，
故，，且， ，故正确．
故选：