人教B版（2019）必修第一册《3.1.3 函数的奇偶性》2022年同步练习卷（1）（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第一册《3.1.3 函数的奇偶性》2022年同步练习卷（1）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-25 16:16:40 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第一册《3.1.3 函数的奇偶性》2022年同步练习卷（1）
一 、单选题（本大题共6小题，共30分）
1.（5分）已知函数，，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
2.（5分）下列函数中是奇函数的为()
A. B. C. D. y=x
3.（5分）设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
4.（5分）设为奇函数，且当时，，则当时，等于（ ）
A. B. C. D. e x+1
5.（5分）已知定义在上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
6.（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共3小题，共12分）
7.（4分）已知函数为自然对数的底数，则
A. 为奇函数
B. 方程的实数解为
C. 的图象关于轴对称
D. ，，且，都有
8.（4分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则
A. 当时，
B. 函数有个零点
C. 的解集为
D. ，，都有
9.（4分）下列说法正确的是
A. 在中，若，则点是边的中点
B. 已知，，若，则
C. 已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则
D. 若三角形的两内角，满足，则此三角形必为钝角三角形
三 、填空题（本大题共4小题，共20分）
10.（5分）已知函数，则使得成立的的取值范围是 ______.
11.（5分）已知函数的定义域为，当时，；当时，则______.
12.（5分）函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是____________________.
13.（5分）写出一个最小值为2021的偶函数f（x）=____________________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
14.（12分）若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，求f(x)的解析式.
15.（12分）已知定义在上的函数是增函数．
若，求的取值范围；
若函数是奇函数，且，解不等式．
16.（12分）根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点，且过点；当时，曲线是函数图像的一部分．专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．
试求的函数关系式；
若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？
17.（12分）若函数对任意的均有，则称函数具有性质
判断下面函数①，②是否具有性，并说明理由；
全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性；
若函数具有性质，且，求证：是否对任意，均有
18.（12分）已知函数为常数是定义在上的奇函数，且．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ判断并用定义证明在上的单调性；
Ⅲ解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由题意得，即函数为偶函数，
又当时，，有，
故函数的减区间为，增区间为
又，，
由，可得
故选：
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
此题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
2.【答案】D;
【解析】略
3.【答案】B;
【解析】解：由，知为上的奇函数且在上单调递增，
由，可得，
又不等式对任意恒成立．
在恒成立，
在上恒成立，，
的取值范围为．
故选：．
由的解析式，可知为上的奇函数且在上单调递增，再根据不等式对任意恒成立，可得在上恒成立，然后求出的范围．
该题考查了函数恒成立问题和函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属中档题．
4.【答案】D;
【解析】当x＜0时，-x＞0，
∵当x≥0时，
又∵f(x)为奇函数，
∴.
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在上是增函数，函数在处连续，所以函数在上是增函数，
又，所以不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为
故选
6.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同偶函数对称区间上的单调性相反的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础题．
由题意可先判断出在上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，从而可比较与的大小，解不等式可求的范围
解：在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，
在上单调递增，
，
，
解不等式可得，，
故选：．
7.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性和单调性， 考查指数方程求解， 属于中档题．
根据可判断对错根据，列含指数幂的方程， 换为对数式， 即可求出的值， 可判断错误根据定义法， 讨论出函数是上的增函数， 故判断正确.
解：函数的定义域为，
，
所以是奇函数， 故正确
，
， 则有，
故结论错误
函数是奇函数， 函数图象关于原点对称， 不关于轴对称， 故错误
，，且，
则有，
时， ，
所以， 即，
所以函数在上为增函数，
当时， ，故，
当时， ，故，
综上，，且，都有，
故正确.
故选
8.【答案】ACD;
【解析】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，
则，
所以，正确；
当时，有一个零点，
当时，有一个零点，
由奇函数性质得，故有个零点，错误；
当时，得，当时，得，正确；
当时，，
则，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，时，，时，，
故此时函数有最大值，
根据函数对称性可知，时，函数取得最小值，
故，正确．
故选：
由已知结合函数的性质分别检验各选项即可判断．
此题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
9.【答案】AD;
【解析】解：对于：在中，若，利用三角形法则，则点为边的中点，故正确；
对于：已知，，所以，由于，则，故错误；
对于：已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则，解得，故错误；
对于：若三角形的两内角，满足，由于，，，，所以，则此三角形必为钝角三角形，故正确．
故选：
直接利用三角形法则判定的结论，利用向量的坐标运算和向量的共线判断的结论，利用共线向量的充要条件判断的结论，利用三角函数的值的范围判断的结论．
此题主要考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，共线向量的充要条件，三角函数的值，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10.【答案】;
【解析】解：令，将其向右平移个单位长度，
得，
所以是函数向右平移个单位得到的．
而易知是偶函数，
当时，，，
时，显然，当，，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而可知在上单调递增，在上单调递减
所以时，有，解得，
所以的取值范围为
故答案为：
通过研究的性质来研究的性质，再根据单调性解不等式即可．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，导数的应用，属于中档题．
11.【答案】;
【解析】解：由于函数的的定义域为，
当时，；
当，时，，
所以，
由于，
所以
故
故答案为：
直接利用函数的定义域和函数的奇偶性的应用求出函数的解析式．
此题主要考查的知识要点：函数的关系式的求法，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12.【答案】{x|1≤x≤3};
【解析】略
13.【答案】（答案不唯一）;
【解析】略
14.【答案】当x=0时，f(0)=0.当x＜0时，-x＞0，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，
所以
即当x＜0时，
故;
【解析】略
15.【答案】解：由题意可得：
解得，
即的范围是．
函数是奇函数，且，
，
，
，
，
．
不等式的解集为．;
【解析】这道题主要考查函数的单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键，属于中档题．
由题意可得，，由此解不等式组求得的范围．
由题意可得，所以，即可得出结论．
16.【答案】解：，将代入得，
所以时，，
将代入得
所以时，
所以
得，
当得
所以当和这两个时间段老师多提问，增加活动环节.;
【解析】
此题主要考查了函数模型的应用 ，考查了学生的运算能力
利用待定系数法求出二次函数解析式，将点代入
求出另一段的解析式，即可求解；
分段解不等式，求出的范围，在的范围建议老师多提问，增加学生活动环节即可.
17.【答案】（1）解：函数①y=（a＞1），
则f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=+-2×=（+a-2），
因为a＞1，则+a-2，且＞0，
所以f（x-1）+f（x+1）-2f（x）＞0，
故f（x-1）+f（x+1）＞2f（x），
所以函数①y=（a＞1）具有性质P；
②y=不具有性质P，
比如当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=（-2）3+0=-8＜2×（-1）3=2f（x），
不满足定义，
故函数②y=不具有性质P；
（2）解：当x为有理数时，具有性质P，理由如下：
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2-n（x-1+x+1-2x）=2＞0，
所以具有性质P；
当x为无理数时，具有性质P，理由如下：
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2=2＞0，
所以具有性质P．
综上所述，函数y=g（x）具有性质P；
（3）证明：假设f（k）为f（1），f（2）， ，f（n-1）中第一个大于0的值，
则f（k）-f（k-1）＞0，
因为f（x）具有性质P，
则f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1），
所以f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1）＞ ＞f（k）-f（k-1）＞0，
则f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+ +f（1）＞0，
这与f（n）=0（n＞2，n∈N）矛盾，
故假设不成立，
则原命题成立，
所以对任意1≤k≤n-1，k∈N均有f（k）≤0．;
【解析】
利用题中定义以及所给的函数，结合基本不等式，可以检验函数①是否具有性质，代入特殊值，即可检验函数②是否具有性质；
分别讨论为有理数和无理数，根据题中所给的定义以及函数，检验计算，即可判断；
利用反证法，结合所给的定义进行推理，即可证明．
此题主要考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ依题意，，解得，，所以．
Ⅱ函数在上单调递增，证明如下：
任取，则，，
从而，
所以，
所以函数在上单调递增．
Ⅲ原不等式可化为：，即，
由Ⅱ可得，函数在上单调递增，所以
解得，即原不等式解集为．;
【解析】这道题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
Ⅰ依题意，，解得，，可得函数的解析式．
Ⅱ利用函数的单调性的定义证明函数在上单调递增．
Ⅲ原不等式可化为，根据函数在定义域上单调递增，可得，由此求得的范围．
一 、单选题（本大题共6小题，共30分）
1.（5分）已知函数，，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
2.（5分）下列函数中是奇函数的为()
A. B. C. D. y=x
3.（5分）设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
4.（5分）设为奇函数，且当时，，则当时，等于（ ）
A. B. C. D. e x+1
5.（5分）已知定义在上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
6.（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共3小题，共12分）
7.（4分）已知函数为自然对数的底数，则
A. 为奇函数
B. 方程的实数解为
C. 的图象关于轴对称
D. ，，且，都有
8.（4分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则
A. 当时，
B. 函数有个零点
C. 的解集为
D. ，，都有
9.（4分）下列说法正确的是
A. 在中，若，则点是边的中点
B. 已知，，若，则
C. 已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则
D. 若三角形的两内角，满足，则此三角形必为钝角三角形
三 、填空题（本大题共4小题，共20分）
10.（5分）已知函数，则使得成立的的取值范围是 ______.
11.（5分）已知函数的定义域为，当时，；当时，则______.
12.（5分）函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是____________________.
13.（5分）写出一个最小值为2021的偶函数f（x）=____________________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
14.（12分）若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，求f(x)的解析式.
15.（12分）已知定义在上的函数是增函数．
若，求的取值范围；
若函数是奇函数，且，解不等式．
16.（12分）根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点，且过点；当时，曲线是函数图像的一部分．专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．
试求的函数关系式；
若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？
17.（12分）若函数对任意的均有，则称函数具有性质
判断下面函数①，②是否具有性，并说明理由；
全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性；
若函数具有性质，且，求证：是否对任意，均有
18.（12分）已知函数为常数是定义在上的奇函数，且．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ判断并用定义证明在上的单调性；
Ⅲ解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由题意得，即函数为偶函数，
又当时，，有，
故函数的减区间为，增区间为
又，，
由，可得
故选：
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
此题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
2.【答案】D;
【解析】略
3.【答案】B;
【解析】解：由，知为上的奇函数且在上单调递增，
由，可得，
又不等式对任意恒成立．
在恒成立，
在上恒成立，，
的取值范围为．
故选：．
由的解析式，可知为上的奇函数且在上单调递增，再根据不等式对任意恒成立，可得在上恒成立，然后求出的范围．
该题考查了函数恒成立问题和函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属中档题．
4.【答案】D;
【解析】当x＜0时，-x＞0，
∵当x≥0时，
又∵f(x)为奇函数，
∴.
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在上是增函数，函数在处连续，所以函数在上是增函数，
又，所以不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为
故选
6.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同偶函数对称区间上的单调性相反的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础题．
由题意可先判断出在上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，从而可比较与的大小，解不等式可求的范围
解：在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，
在上单调递增，
，
，
解不等式可得，，
故选：．
7.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性和单调性， 考查指数方程求解， 属于中档题．
根据可判断对错根据，列含指数幂的方程， 换为对数式， 即可求出的值， 可判断错误根据定义法， 讨论出函数是上的增函数， 故判断正确.
解：函数的定义域为，
，
所以是奇函数， 故正确
，
， 则有，
故结论错误
函数是奇函数， 函数图象关于原点对称， 不关于轴对称， 故错误
，，且，
则有，
时， ，
所以， 即，
所以函数在上为增函数，
当时， ，故，
当时， ，故，
综上，，且，都有，
故正确.
故选
8.【答案】ACD;
【解析】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，
则，
所以，正确；
当时，有一个零点，
当时，有一个零点，
由奇函数性质得，故有个零点，错误；
当时，得，当时，得，正确；
当时，，
则，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，时，，时，，
故此时函数有最大值，
根据函数对称性可知，时，函数取得最小值，
故，正确．
故选：
由已知结合函数的性质分别检验各选项即可判断．
此题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
9.【答案】AD;
【解析】解：对于：在中，若，利用三角形法则，则点为边的中点，故正确；
对于：已知，，所以，由于，则，故错误；
对于：已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则，解得，故错误；
对于：若三角形的两内角，满足，由于，，，，所以，则此三角形必为钝角三角形，故正确．
故选：
直接利用三角形法则判定的结论，利用向量的坐标运算和向量的共线判断的结论，利用共线向量的充要条件判断的结论，利用三角函数的值的范围判断的结论．
此题主要考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，共线向量的充要条件，三角函数的值，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10.【答案】;
【解析】解：令，将其向右平移个单位长度，
得，
所以是函数向右平移个单位得到的．
而易知是偶函数，
当时，，，
时，显然，当，，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而可知在上单调递增，在上单调递减
所以时，有，解得，
所以的取值范围为
故答案为：
通过研究的性质来研究的性质，再根据单调性解不等式即可．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，导数的应用，属于中档题．
11.【答案】;
【解析】解：由于函数的的定义域为，
当时，；
当，时，，
所以，
由于，
所以
故
故答案为：
直接利用函数的定义域和函数的奇偶性的应用求出函数的解析式．
此题主要考查的知识要点：函数的关系式的求法，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12.【答案】{x|1≤x≤3};
【解析】略
13.【答案】（答案不唯一）;
【解析】略
14.【答案】当x=0时，f(0)=0.当x＜0时，-x＞0，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，
所以
即当x＜0时，
故;
【解析】略
15.【答案】解：由题意可得：
解得，
即的范围是．
函数是奇函数，且，
，
，
，
，
．
不等式的解集为．;
【解析】这道题主要考查函数的单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键，属于中档题．
由题意可得，，由此解不等式组求得的范围．
由题意可得，所以，即可得出结论．
16.【答案】解：，将代入得，
所以时，，
将代入得
所以时，
所以
得，
当得
所以当和这两个时间段老师多提问，增加活动环节.;
【解析】
此题主要考查了函数模型的应用 ，考查了学生的运算能力
利用待定系数法求出二次函数解析式，将点代入
求出另一段的解析式，即可求解；
分段解不等式，求出的范围，在的范围建议老师多提问，增加学生活动环节即可.
17.【答案】（1）解：函数①y=（a＞1），
则f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=+-2×=（+a-2），
因为a＞1，则+a-2，且＞0，
所以f（x-1）+f（x+1）-2f（x）＞0，
故f（x-1）+f（x+1）＞2f（x），
所以函数①y=（a＞1）具有性质P；
②y=不具有性质P，
比如当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=（-2）3+0=-8＜2×（-1）3=2f（x），
不满足定义，
故函数②y=不具有性质P；
（2）解：当x为有理数时，具有性质P，理由如下：
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2-n（x-1+x+1-2x）=2＞0，
所以具有性质P；
当x为无理数时，具有性质P，理由如下：
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2=2＞0，
所以具有性质P．
综上所述，函数y=g（x）具有性质P；
（3）证明：假设f（k）为f（1），f（2）， ，f（n-1）中第一个大于0的值，
则f（k）-f（k-1）＞0，
因为f（x）具有性质P，
则f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1），
所以f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1）＞ ＞f（k）-f（k-1）＞0，
则f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+ +f（1）＞0，
这与f（n）=0（n＞2，n∈N）矛盾，
故假设不成立，
则原命题成立，
所以对任意1≤k≤n-1，k∈N均有f（k）≤0．;
【解析】
利用题中定义以及所给的函数，结合基本不等式，可以检验函数①是否具有性质，代入特殊值，即可检验函数②是否具有性质；
分别讨论为有理数和无理数，根据题中所给的定义以及函数，检验计算，即可判断；
利用反证法，结合所给的定义进行推理，即可证明．
此题主要考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ依题意，，解得，，所以．
Ⅱ函数在上单调递增，证明如下：
任取，则，，
从而，
所以，
所以函数在上单调递增．
Ⅲ原不等式可化为：，即，
由Ⅱ可得，函数在上单调递增，所以
解得，即原不等式解集为．;
【解析】这道题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
Ⅰ依题意，，解得，，可得函数的解析式．
Ⅱ利用函数的单调性的定义证明函数在上单调递增．
Ⅲ原不等式可化为，根据函数在定义域上单调递增，可得，由此求得的范围．