北师大版（2019）必修第二册《1.7 正切函数》2022年同步练习卷（1）（含答案）

北师大版（2019）必修第二册《1.7 正切函数》2022年同步练习卷（1）
一 、单选题（本大题共9小题，共45分）
1.（5分）若，则
A. B.
C. D.
2.（5分）已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上的每一个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的函数图象恰好关于直线对称，则的一个值是
A. B. C. D.
4.（5分）定义：，函数，下列选项正确的是
A. 函数为偶函数
B. 函数不是周期函数
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象关于对称
5.（5分）［2021济南外国语学校高一月考］函数的单调递增区间为 ( )
A. B.
C. D.
6.（5分）关于函数的叙述中，正确的有
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③是偶函数；
④的图象关于点对称．
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
7.（5分）已知函数，则下列说法正确的是
A. 图像的对称中心是
B. 在定义域内是增函数
C. 是奇函数
D. 图像的对称轴是
8.（5分）已知实数，，，则
A. B. C. D.
9.（5分）已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若，则，则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共3小题，共12分）
10.（4分）下列关于函数的说法正确的是
A. 在区间上单调递增
B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称
D. 图象关于直线成轴对称
11.（4分）多选已知函数，任意，下列正确的是
A.
B.
C.
D.
12.（4分）已知函数，，且在单调递增，则下列说法正确的是
A.
B. 将函数的图象向左平移个单位所得图像关于轴对称
C. 的对称中心是
D. 若，则
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
13.（5分）函数，若，则______
14.（5分）满足，的角的集合______
15.（5分）已知函数，若至少存在两个不相等的实数，，使得，则实数的取值范围是 ______.
16.（5分）若函数，求…__________.
17.（5分）给出下列五个命题：
①函数的一条对称轴是；
②函数的图象关于点对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若，则，其中；
⑤函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为
以上五个命题中正确的有_______填写所有正确命题的序号
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
18.（12分）函数，其中部分图象如图所示，是该图象的最高点，，是图象与轴的交点．
求的最小正周期及的值；
若，求的值．
19.（12分）已知为锐角，，
求的最小正周期、对称中心．
求函数在区间上的最大值、最小值及相应的的值。
20.（12分）已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示．

求，；若，求
21.（12分）已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示．
求，；
若，求．
22.（12分）如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌边与水平方向的夹角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设米，该监理人员观察广告牌的视角；
试将表示为的函数；
求点的位置，使取得最大值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是正确作图，利用角的范围比较出三角函数线的大小．
根据题意在坐标系画出单位圆，并且作出角得正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较出三角函数线的大小．

解：由三角函数线的定义作出下图：

是角的终边，圆是单位圆，
则，，，
，
，即，
故选
2.【答案】A;
【解析】解：，则，
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，
所以，结合函数与在上的图像可知，
存在唯一的，使得
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有个．

故选：
因为，讨论或，结合函数图像理解分析．
此题主要考查三角函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
3.【答案】C;
【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数，再将图象上的每一个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的函数的图象，
该图象恰好关于直线对称，
对于选项：当时，，故错误；
对于选项：当时，，故错误；
对于选项：当时，，故正确；
对于选项：当时，，故错误．
故选：
直接利用正弦型函数的性质的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
4.【答案】D;
【解析】解：画出函数的图象如图所示；

由图可知：
函数图象不关于轴对称，故不正确；
函数是最小正周期为的函数，故不正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故不正确；
函数的对称轴为，当时，，故正确．
故选：
画出函数的图象，通过函数图象可以直观的看出何时取到最值，对称轴以及周期性等问题．
此题主要考查了分段函数的定义、图象与性质的应用问题，也考查了画图与识图的能力，是中档题．
5.【答案】B;
【解析】对于函数，令，，得，，所以函数的单调递增区间为，．故选B．
6.【答案】C;
【解析】解：函数的周期为，故①错误；
由，解得，，
可令，可得在区间内单调递增，故②正确；
为奇函数，故③错误；
由的对称中心为，可得的对称中心为，
可令，可得的图象关于点对称，故④正确．
故选：
由正切函数的周期公式，计算可判断①；由正切函数的单调区间，可判断②；由诱导公式和奇偶性的定义，可判断③；由正切函数的对称中心可判断④．
此题主要考查三角函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】A;
【解析】

此题主要考查正切函数的图象与性质，属于基础题.
根据正切函数的图象与性质逐一判断即可.

解：①令，解得的对称中心是，正确；
②令，则，
所以在内是增函数 ，错误；
③的对称中心没有，不是奇函数，错误；
④无对称轴，错误
故选
8.【答案】A;
【解析】解：实数，
，
，
而函数在区间上单调递增，故有，

，即
故选：
由题意利用特殊角的三角函数的值，正切函数的单调性，判断出，结合正弦函数的图象判定，得到答案．
此题主要考查特殊角的三角函数的值，正切函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】B;
【解析】
此题主要考查复合命题的真假判定，涉及三角函数的单调性，属基础题，
注意正切型函数在定义域的每一个连续区间上单调，但在整个定义域内不单调，命题可通过举反例进行否定，然后根据复合命题的真假法则进行判定，注意：或命题中至少有一个正确，才是正确的，且命题中只要有假，即是假命题.

解：命题是错误的，函数在定义域的每一个连续区间上单调递减，但在整个定义域内不单调，比如和时函数值相等；
命题是错误的，事实上，但是，
为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.
故选
10.【答案】AB;
【解析】此题主要考查了正切函数的图象与性质的相关知识，属于基础题.
逐个分析即可.解：令，解得，，
显然满足上述关系式，故正确；
易知该函数的最小正周期为，故正确；
令，解得，，任取值不能得到，故错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误．
故选
11.【答案】AC;
【解析】
本题重点考查正切函数的性质，属于一般题.
利用正切函数的性质逐个判断即可.

解：因为，故正确；
因为，故错误；
因为在递增，故，故正确；
因为当时，
当时，，故错误，
故选
12.【答案】BC;
【解析】解：，，
，
，，即，，
在单调递增，，即，
，解得，
令，可得，故错误；
故
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，
故所得图象关于轴对称，故正确；
令，，求得，，
故的对称中心是，，故正确；
若，则，故错误，
故选：
由题意，利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
此题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】或;
【解析】解：函数，
若，则，
当时，，求得，
当时，，求得，
故答案为：或
先求出得值，可得，由此分类讨论，求得的值．
此题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
14.【答案】{，};
【解析】解：因为，
所以，
，；
，；
又因为
所以或，
集满足条件的角的集合为
故答案为：
根据正弦函数的值，结合角的取值范围，即可求得满足条件的角的集合．
此题主要考查了由正弦函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】[，]∪[，+∞）;
【解析】解：函数，若至少存在两个不相等的实数，，
使得，
即至少存在两个不相等的实数，，使得
，，，
即 ①．
当时，由不等式组①可得，无解；
当时，由不等式组①可得，；
当时，由不等式组①可得，；
当时，由不等式组①可得，；
由于当时，成立，即成立，
故和的解集有交集，和的解集有交集，和的解集有交集，，
故的范围为
故答案为：
由题意，利用正弦函数的最大值以及周期性，可得至少包含一个周期，即，由此求得实数的取值范围．
此题主要考查正弦函数的最大值以及周期性，属于中档题．
16.【答案】;
【解析】
根据正切函数的周期性即可得到结论．
此题主要考查函数值的计算，根据正切函数的周期性是解决本题的关键．
解：正切函数的周期，
则，，
则，
则…，
故答案为：
17.【答案】①②⑤;
【解析】

此题主要考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.
根据诱导公式、三角函数的图象与性质逐项进行判断即可.

解：①将代入可得函数最大值 ，为函数对称轴，故①正确；
②函数的图象关于点对称，包括点，故②正确；
③ ，故③错误；
④利用诱导公式 ，可得不同于的表达式，故④错误；
⑤对进行讨论，去绝对值，利用正弦函数图象得出函数，与直线仅有有两个不同的交点，则，故⑤正确.
故答案为①②⑤.
18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为，
又是该图象的最高点，
∴，则，解得，
又，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f（x）=0，解得，则，
由图象可知，，
∴，，
又，则，
在△PMN中，由余弦定理有，，
∴，令，则，即-6x+2=0，
∴16A4-88A2+9=0，解得，
∴或．;
【解析】
由直接得出最小正周期，再由求得；
由图象可知，，利用两点间的距离公式可得到，，再利用余弦定理建立关于的方程，解出即可．
此题主要考查由函数的部分图象确定其解析式，考查余弦定理以及两点间距离公式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解，
又是锐角，
，
，
，
由得对称中心为；
，
，
当 即时，的最大值为，
当 ，即时，的最小值为;
【解析】
此题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
使用诱导公式化简，使用和角公式化简利用正弦函数的性质得出答案；根据的范围和正弦函数的性质得出的最值．
20.【答案】解：由图可知，的最小正周期，
则，即，
将代入得，
又，
所以；
因为，
所以，
所以，，
故;
【解析】此题主要考查正切函数的图像与性质，余弦函数的性质，以及同角三角函数关系式，二倍角公式的应用，属于基础题.
由图可知，的最小正周期，则，将代入得，由，得；
由题意，，由同角三角函数关系得，，由二倍角公式得
21.【答案】解：（1）由图可知，g（x）的最小正周期，
则，即ω=2，
将（0，1）代入f（x）=2cos（2x+φ），得．
又-π＜φ＜0，所以．
（2）因为，
所以，
所以，tanα=±2，
故．;
【解析】
根据正切函数的图象求出函数的周期，结合条件即可求出 和的值．
根据条件，先求出的值，结合同角三角函数的关系式进行求解即可．
此题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．
22.【答案】解析：作于，作于，交于，，
作于，则；
在直角中，，，则，；
在直角中，有；
在直角中，有；
；
再由题意可知：监理人员只能在点右侧，即
由得：；
令，则；
，
当且仅当即时，等号成立；
此时，；
又易知：是锐角，即，
而在是增函数；
当时，取最大值．;
【解析】
此题主要考查解三角形的实际应用，以及由基本不等式求最值，属于难题.
由三角函数及两角和差的公式进行化简求值；
由得，由基本不等式求最值.