北师大版（2019）必修第二册《1.8 三角函数的简单应用》2022年同步练习卷（含解析）

北师大版（2019）必修第二册《1.8 三角函数的简单应用》2022年同步练习卷（1）
一 、单选题（本大题共11小题，共55分）
1.（5分）函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点，与轴交于点，点在的图象上，点、关于点对称，则下列说法中正确的是
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
C. 函数在上单调递减
D. 函数的图象关于点对称
2.（5分）［2021 四川省攀枝花市高一期末］已知是关于x的方程的两根，则实数a＝ ( )
A. 3 B. 3 C. D.
3.（5分）若数据，，，，的平均数为，方差为，则数据，，，，的平均数和方差分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.（5分）关于函数，下列说法正确的是
A. 是奇函数，最大值为 B. 是奇函数，最大值为
C. 是偶函数，最大值为 D. 是偶函数，最大值为
5.（5分）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数的解析式为
A. B.
C. D.
6.（5分）下列有关命题的叙述错误的是
A. 若“”为假命题，则与均为假命题
B. 已知向量，，则“”是“”的充分不必要条件
C. 命题“若，则的逆否命题为“若，则”
D. 命题“，”的否定是“，”
7.（5分）函数在区间上的所有零点之和等于
A. B. C. D.
8.（5分）已知是实数，则函数的图象可能是
A. B.
C. D.
9.（5分）已知函数，，则
A. B. 在区间上有个零点
C. 的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴
10.（5分）已知函数为常数，的图象关于直线对称，则函数的图象
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
11.（5分）已知函数的图象经过点，，则下列结论正确的是
A. 是图象的一条对称轴
B. 图象的对称中心为，
C. 的解集为，
D. 将的图象向右平移个单位所得函数图象关于轴对称
二 、多选题（本大题共1小题，共4分）
12.（4分）若两直线，的倾斜角分别为，，则下列四个命题是假命题的有
A. 若，则两直线的斜率
B. 若，则两直线的斜率
C. 若两直线的斜率，则
D. 若两直线的斜率，则
三 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）已知函数的图象如图所示，将函数图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则关于的方程在区间上有 ______个实数解．
14.（5分）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________.
15.（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为 ______ ．
16.（5分）给出下列命题：
函数的振幅为；
函数在定义域内为增函数；
函数的最小正周期为；
函数，的一个对称中心为
其中正确命题的序号是 ______ .
四 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）函数的部分图象如图所示，其中轴．
试写出函数的解析式；
将的图象向左平移个单位得到函数的图象．若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
18.（12分）如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点，在上，设矩形的面积为
按下列要求写出函数关系式：
① 设，将表示成的函数关系式
② 设，将表示成的函数关系式.
请你选用中的一个函数关系式，求的最大值.
19.（12分）如图，在一个水平面内，河流的两岸平行，河宽单位：千米村庄，和供电站恰位于一个边长为单位：千米的等边三角形的三个顶点处，且，位于河流的两岸，村庄侧的河岸所在直线恰经过的中点现欲在河岸上，之间取一点，分别修建电缆和，设，记电缆总长度为单位：千米．
求的解析式；
当为多大时，电缆的总长度最小，并求出最小值．
20.（12分）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．
根据条件写出米关于分钟的解析式；
在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米？
21.（12分）疫情期间，某药店根据口罩的销售数据，绘制了天的函数图像，其中销售单价元个与时间天的关系如图甲所示，日销售量个与时间天的关系如图乙所示．

求出关于的函数关系式；
若口罩销量不低于个的时间段为“销售旺期”，则此次“销售旺期”共多少天？在此期间最高日销售金额为多少元？
22.（12分）①将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，②将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变．从这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
问题：______，得到函数的图象．
求的值；
若，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由点，关于点对称可知，故，
所以，，故错误；
结合五点法作图，可得，求得，故，
令，求得，可得函数的图象关于点对称，故正确；
在上，，不单调，故错误；
把函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数，故错误，
故选：
先根据点，关于点对称求出点的坐标，则函数的周期可求，可得的值，结合五点法作图，求出，可得函数解析式，然后利用正弦函数的图象和性质，逐一判断即可得解．
此题主要考查命题真假的判断以及三角函数的图象与性质，由周期求出，由五点作图求出，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】∵，是关于x的方程的两根，∴，，∴，∴，即．故选D．
3.【答案】C;
【解析】解：根据题意，数据，，，，，即，，，，，
若数据，，，，的平均数为，方差为，
则数据，，，，的平均数为，方差为，
故选：
根据题意，分析两组数据之间的关系，由平均数、方差的性质分析可得答案．
此题主要考查数据的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的性质，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查利用三角函数和角与 差角公式化简，结合正弦函数的性质作出判断属容易题.
解：，
由余弦函数的性质知，是偶函数，最大值为
故选
5.【答案】B;
【解析】解：将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，可得的图象；
再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数的图象的图象的图象，
故选：．
利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．
此题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：若“”为假命题，则与均为假命题，正确；
已知向量，，则“”可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，所以不正确；
命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正确；
命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确；
故选：．
利用复合命题的真假判断的正误；充要条件判断的正误；四种命题的逆否关系判断的正误；命题的否定形式判断的正误．
此题主要考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件等知识，是基本知识的考查．
7.【答案】C;
【解析】
该题考查了函数零点、三角函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
函数，可得，解得，进而得出．

解：函数，．
，解得，．
令，，，可得，，．
函数在区间上的所有零点之和为：．
故选：．


8.【答案】C;
【解析】解：函数，因为函数，所以函数是偶函数，所以、D错误；
结合选项B、，可知函数的周期为：，所以，所以不正确，C正确．
故选C
根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．
本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解答该题的关键，好题．
9.【答案】A;
【解析】解：，
对于选项，结合正弦函数的性质可知，，故选项正确，
对于选项，令，，则，即在区间上零点为，故选项错误，
对于选项，可有周期公式可知，，故选项错误，
对于选项，，故不符合对称轴的条件，故选项错误．
故选：
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质，即可求解．
此题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】C;
【解析】此题主要考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，利用三角函数的对称性求得的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． 解：函数为常数，的图象关于直线对称，
，即，，
，
故函数，
当时，为最大值，故错误，故的图象关于直线对称，即正确．
当时，，故错误．
当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，排除
故选
11.【答案】C;
【解析】解：函数的图象经过点，，
可得，由即有，
由，，
即有，可得，
则，
由不为最值，故A错；
可令，可得，，
即有对称中心为，故B错；
由即，可得，
即，，故C对；
的图象向右平移个单位可得，即，
所得函数图象关于原点对称，故D错．
故选：．
由图象经过两点，解方程可得函数的解析式，由对称轴的特点可判断；
由对称中心解方程可判断；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断；
运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断．
该题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系，本题解答该题的关键是了解正切函数的定义域和单调性，知道正切函数在倾斜角所在的范围中不是单调函数，本题是一个基础题．
根据两直线，的倾斜角分别为，，当，时，斜率分别是，，表示出斜率和倾斜角之间的关系，根据直线倾斜角的范围以及正切函数图像的性质进行逐一判别，当倾斜角为时，正切值不存在，得到结论．
解：两直线，的倾斜角分别为，，当，时，对应的斜率分别是，，
，，
对于，倾斜角为直角时，，不存在，所以不正确；
对于，因为倾斜角为钝角时，斜率为负，所以不正确；
对于，当两直线斜率相等时，两倾斜角也等，所以正确.
故选：
13.【答案】8088;
【解析】解：由图可知，
由，得，
因为，所以
，
又由“五点法”可得，
，

将函数图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，最小正周期为，
因为关于的方程在区间上有个实数解，
所以关于的方程在区间上有个实数解．
故答案为：
由题意可求出，再由三角函数的平移和伸缩变化求出，因为的最小正周期为，所以求出在区间上有个实数解，即可求出在区间上解的个数．
此题主要考查三角函数的图形与性质，函数图象变换，数形结合思想，属中档题．
14.【答案】.;
【解析】由，得其周期为，即单摆来回摆动一次所需时间为
15.【答案】;
【解析】
这道题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
由条件利用函数的图象变换规律，得出结论．

解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
则函数的解析式为，
故答案为：．
16.【答案】（1）（4）;
【解析】解：对于，函数的振幅为；故正确
对于，函数在定义域内不单调，故不为增函数，故错误；
对于，函数中函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，故该函数的最小正周期为，故错误；
对于，函数，的一个对称中心为，故正确．
故答案为：
直接利用三角函数的性质的应用判断的结论．
此题主要考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，其中MN∥x轴，
可得它的一条对称轴为x==-，
可得=+，∴ω=2．
再根据五点法作图，可得2×+φ=0，∴φ=-，故函数f（x）=sin（2x-）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）=2sin（2x+-）=2sin（2x-）的图象．
∵y=g（x）在区间（-m，m）上单调递增，2x-∈（-2m-，2m-），
∴-2m-≥-，且2m-，
求得0＜m≤，即实数m的取值范围为（0，]．;
【解析】
先求出函数的一条对称轴，由周期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得实数的取值范围．
此题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点作图求出，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
18.【答案】解：① 因为，
所以，
又，
所以 ，
故
② 当时， ，
则，
又，
所以 ，
故
由②得 ，
故当时，取得最大值为;
【解析】此题主要考查函数模型的应用，三角恒等变换、三角函数的性质及三角函数模型的应用，属于中档题.
①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；
②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；
利用②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值．
19.【答案】解：（1）由题意知，
CE=EB=，
ED=tanθ，
AE=-tanθ；
则f（θ）=CE+EB+AE
=×2+（-tanθ）
=+，θ∈（0，）；
（2）设g（θ）=，则g′（θ）=，
由g'（θ）=0得sinθ=，∴θ=，
∴g（θ）min=g（）=，
∴f（θ）min=g（θ）min+=2，
∴当∠DCE=时，f（θ）最小，最小值为2．;
【解析】
由题意，用表示出、和，求出即可；
构造函数，利用导数求函数的最小值，以及对应的值．
该题考查了三角函数模型应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是中档题．
20.【答案】解：（1）由题意，
A=50，b=60，T=3；
故ω=，
故y=50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60=10及φ∈[-π，π]得，
φ=-；
故y50sin（t-）+60；

（2）在第一个3分钟内求即可，
令50sin（t-）+60＞85；
则sin（t-）＞；
故＜t-＜，
解得，1＜t＜2；
故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．;
【解析】
由题意，，，；从而可得；再代入初相即可；
在第一个分钟内求即可，令解得．
该题考查了三角函数在实际问题中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：（1）由图甲知，第7天的销售单价是8元/个，
根据图乙知，当0≤x≤10时，y与x的函数关系式为：y=12x；
当10＜x≤15时，设该函数为y=kx+b（k≠0），函数过点（10，120），（15，0），
则，解得：，
所以，y与x的关系为y=-24x+360；
综上所述，y与x的函数关系式为：．
（5）若口罩单日销售量不低于72个时，
①当0≤x≤10时，12x≥72，解得x≥6，
②10＜x≤15时，-24x+360≥72，解得x≤12，
综上所述，此次销售过程中“销售旺期”共有7天，
设甲图中7≤x≤15内函数解析式为m=px+q，可求得：m=-0.5x+11.5，
设销售总额为C元，x=6时，C=576；
③在7≤x≤10范围内时，C=（-0.5x+11.5）×12x=-6+138x，
对称轴，开口向下，
又7≤x≤10，故x=10时，Cmax=780；
④在10≤x≤12范围内时，C=（-0.5x+11.5）×（-24x+360）=12-456x+4140，
对称轴x=19，
又10≤x≤12，故x=10时，Cmax=780，
综上所述：在此期间最高销售金额为780元．;
【解析】
当时，与的函数关系式为：，当时，设该函数为，函数过点，，代入即可求出．
根据中的不等式，令，解不等式即可求出“销售旺期”的天数；再根据函数的单调性，分别求出函数再，的最大值，即可求出答案．
此题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）选择①，将g（x）=cosx的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象．
故．
选择②，将g（x）=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数y=cos2x的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象．
故．
（2）由题意得，得．
因为，所以，所以．
因为，
所以是锐角，所以，
所以，，
所以．;
【解析】
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．
由题意，利用二倍角公式求得的值，再利用两角和差的三角公式求得、的值，可得要求式子的值．
此题主要考查函数的图象变换规律，同角三角函数的基本关系式，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于中档题．