第5课时 与圆有关的比例线段1
习题2.5 (第40页)
1．解 如图所示，设两条弦相交于P，PA＝12，PB＝18，PD∶PC＝3∶8.令PD＝x，则PC＝x.
由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，
∴12×18＝x2.∴x＝9 (cm)．即PD＝9 cm.
∴PC＝×9＝24 cm.
故CD＝24 cm＋9 cm＝33 cm.
2．解 如图(1)是轴纵断面图，图(2)是圆头部分的图形，其中弦CD＝30，直径AB＝72，且AB⊥CD于M，因此BM就是圆头部分的长．设BM＝x，由相交弦定理得MC·MD＝MB·MA.
而MC＝MD，∴2＝MB·MA＝(AB－MB)·MB.
∴152＝(72－x)x.解得x≈36±33，∴x1≈69，x2≈3.
∴轴的全长可能是160＋69＝229，或者160＋3＝163.
3．证明 如图所示，延长CP与圆相交于点D.
∵OP⊥PC，∴PC＝PD.
∵PA·PB＝PC·PD，
∴PC2＝PA·PB.
4．解 设⊙O的半径为x.
∵PO＝PC＋x，∴ PC＝PO－x＝12－x.
又PB＝PA＋AB＝6＋7＝.
∵PA·PB＝PC·PD，
∴6×＝(12－x)(12＋x)．
解得x＝8.
5．证明 ∵NMQ与NBA是⊙O′的割线，
∴NM·NQ＝NB·NA，
而PQ是⊙O′的切线，
∴NB·NA＝PN2.
∴PN2＝NM·NQ.
6．证明 ∵PA是⊙O的切线，
∴MA2＝MB·MC.
∵M是PA的中点，
∴MP＝MA.
∴MP2＝MB·MC.
∴＝.又∵∠BMP＝∠PMC，
∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB＝∠MCP.
7．证明 如图所示，连接GC.
∵∠1和∠2是同弧上的圆周角，
∴∠1＝∠2.
∵AD⊥BC，CF⊥AB，
∴∠2＝90°－∠ABD，
∠3＝90°－∠ABD.
∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.
又∠CDH＝∠CDG，CD＝CD
∴Rt△CHD≌Rt△CGD.
∴DH＝DG.
8．证明 如图所示，连接OC，则∠AOC的度数等于弧的度数．
∵∠CDE的度数等于弧度数的一半，而＝，
∴∠AOC＝∠CDE.∴∠POC＝∠PDF.
又∵∠DPF＝∠OPC，∴△POC∽△PDF.
∴＝.∴PO·PF＝PC·PD.
又∵PC·PD＝PB·PA，
∴PO·PF＝PB·PA.
9．解 如图(1)所示，∵DG和FE是圆内相交的弦，
图(1)
∴CF·CE＝CD·CG.
∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE.
∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，
即＝.
而∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC
∵∠AEC＝∠G，∴∠ACD＝∠G.
∴AC∥FG.
图(2)
如果∠BAD＝∠CAD，如图(2)所示，连接BC，BD，BG，BE.
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD.
∴BD＝CD.
∠ABD＝∠ACD.
∵∠ACD＝∠1，∠ABD＝∠2，
∴∠1＝∠2.
∴＝，∴∠3＝∠4.
∴△ABE≌△ACE.
∴BE＝CE.∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
∴AE⊥BC.
∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上．
∵AB＝AC，EB＝EC，∴AB＋EC＝AC＋EB.①
由①可以推出，四边形ABEC存在内切圆(证明略)．
2-5与圆有关的比例线段
一、选择题
1．如图所示，PC切⊙O于A，PO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于
B，若AC∶CP＝1∶2，则PO∶OB等于
( )．
A．2∶1 B．1∶1
C．1∶2 D．1∶4
解析 在题图中连接OA，则OA⊥PC，
∴△PAO∽△PBC，
∴＝，即＝，
又∵OA＝OB，AC∶CP＝1∶2，设AC＝x，则CP＝2x，
∴CA＝x＝BC，∴＝＝2，∴PO∶OB＝2∶1.
答案 A
2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形个数分别为
( )．
A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6
解析 ∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，
PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.
∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．
即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.
答案 C
3．圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是
( )．
A．2 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
解析 由相交弦推论即可得．
设另一条弦被分成x cm，
4x cm.则2＝x·4x，所以x＝2 cm.
所以弦长为10 cm.
答案 C
4．如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC等于
( )．
A．2 B.
C．2 D．2
解析 延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM＝，OC＝2.
答案 D
二、填空题
5．如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．
解析 由相交弦定理知
EA·EB＝EC·ED. (*)
又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3，
∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，
∴CE＝－4(舍去)或CE＝1.
∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.
答案 5
6．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)
解析 如题图所示，由于PA、PB均为⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知PA＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.
答案 AB OP
7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．
解析 ∵CE为⊙O切线，D为切点，
∴ED2＝EA·EB.
又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，
又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.
在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.
由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2
得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.
答案 3
8．已知PAB、PCD是⊙O的两条割线，PC＝AB，PA＝20，CD＝11，则AB的长为________．
解析 设PC＝AB＝x，则x(x＋11)＝20×(20＋x)，
解得x＝25.所以AB的长为25.
答案 25
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
求证：AB＋CD＝AD＋BC
证明 因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.
所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即AB＋CD＝AD＋BC.
10．如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.
求证：PC·PD＝AE·AO.
证明 连接OP，∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
11．(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．
解 法一 连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝AB＝(AP＋PB)＝(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.
因为AB垂直CD于P，
所以CP＝CD＝5 cm.
在Rt△COP中，
由勾股定理，
得OC2＝PC2＋PO2，
所以(3k)2＝52＋(2k)2，
即5k2＝25，所以k＝(取正根)．
所以半径OC＝3k＝3 (cm)．
法二 设AP＝k，PB＝5k，
由相交弦定理：
CP·PD＝AP·PB，
即2＝k·5k.
∴k＝，
∴＝＝3，
即⊙O的半径为3 cm.
第2课时 圆内接四边形的性质与判定定理1
习题2.2 (第30页)
1．证明 ∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABD和△ABE均为直角三角形．
设O是AB的中点，连接OE、OD，则
OE＝AB，OD＝AB，∴OE＝OD＝OA＝OB.
∴A、B、D、E四点共圆．
∴∠CED＝∠ABC.
2．证明 如图所示，设四边形ABCD的对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．连接EF、FG、GH、HE，则FG∥BD， GH∥AC.
又∵AC⊥BD，∴FG⊥GH.
同理可证HE⊥EF.
∴∠HEF＋∠FGH＝180°.
∴F、G、H、E四点共圆．
3．证明 ∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FCE＝∠A.
∵∠CFG＝∠FCE＋∠CEF，
∠DGF＝∠A＋∠AEG，
而∠AEG＝∠CEF，∴∠CFG＝∠DGF.
2-2圆内接四边形的性质与判定定理2
一、选择题
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有
( )．
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形
③∠A的外角与∠C的外角互补
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
答案 B
2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A为
( )．
A．55° B．50°
C．45° D．40°
解析 由∠A＋∠ADC＋∠E＝180°，∠A＋∠ABC＋∠F＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠A＝(180°－∠E－∠F)＝50°.
答案 B
3．圆内接平行四边形一定是
( )．
A．正方形 B．菱形
C．等腰梯形 D．矩形
解析 由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．
答案 D
4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形
( )．
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
解析 由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定：
△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB.
答案 B
二、填空题
5．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则________四点共圆．
解析 由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圆．
答案 B、C、E、F
6．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．
解析 四边形ABCD内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×＝120°，最小角为360°×＝60°.
答案 120° 60°
7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.
解析 由∠A＝∠BOD＝30°，∠BCD＝180°－∠A＝150°.
答案 30° 150°
8．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.
解析 由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1.
答案 1或－1
三、解答题
9．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，
∴OA＝OC＝OB＝OD.
则点A、B、C、D到点O的距离相等，
∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．
10．如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.
求证：AE·AC＝AF·DE.
证明 连接BD，因为AB∥CD，所以BD＝AC.
因为A、B、D、F四点共圆，所以∠EBD＝∠F.
因为∠E为△EBD和△EFA的公共角，
所以△EBD∽△EFA.
所以＝.
所以＝，
即AE·AC＝AF·DE.
11．(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
(1)证明：B、D、H、E四点共圆；
(2)证明：CE平分∠DEF.
证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，
所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°，
故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
因为∠EBD＋∠EHD＝180°，
所以B、D、H、E四点共圆．
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD＝30°.
由(1)知B、D、H、E四点共圆．
所以∠CED＝∠HBD＝30°.
又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，
由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF＝30°，
所以CE平分∠DEF.
第二讲 直线与圆的位置关系
第1课时 圆周角定理
习题2.1 (第26页)
1．证明 如图所示，设AO的延长线与⊙O相交于E，则AE是⊙O的直径．连接DO、BE.
∵AO是⊙C的直径，AE是⊙O的直径，
∴∠ADO＝∠ABE＝90°.
∴DO∥BE.又∵O是AE的中点，
∴AD＝BD，即点D是AB的中点．
2．解 连接BC、AC.
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB是直角.
由射影定理得CD2＝AD·BD，
即CD2＝AD(AB－AD)．
∴62＝AD(13－AD)＝13AD－AD2.
解得AD＝4或AD＝9.
3．证明 如图所示，连接AB、AC.
∵＝，
∴∠ABE＝∠ACD.
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠BAE＝90°－∠DAC.
又∵AD⊥BC，
∴∠ACD＝90°－∠DAC.
∴∠ABE＝∠BAE.
即△ABE是等腰三角形，故AE＝BE.
2-1圆周角定理
一、选择题
1．下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的有
( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 考查圆的一些基本概念．
答案 B
2．如图所示，D是的中点，与∠ABD相等的角的个数是
( )．
A．7 B．3
C．2 D．1
解析 由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．
答案 B
3．如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于
( )．
A．4π B．8π
C．12π D．16π
解析 连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
又AB＝4，
∴OA＝OB＝4，
∴S⊙O＝π·42＝16π.
答案 D
4．如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( )．
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析 由推论1知∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，
∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
答案 B
二、填空题
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP，由推论2知∠CPA＝90°，
即CP⊥AB，由射影定理知AC2＝AP·AB，
∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.
答案 6.4
6．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AC＝4 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于D，则CD的长为________ cm.
解析 由AB为⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB＝5 cm，因S△ACB＝AC·BC＝AB·CD.
故3×4＝5·CD，所以CD＝ cm.
答案
7．如图所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．
解析 由圆周角定理得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以周长等于9.
答案 9
8．如图所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是B的中点，E是A的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是________．
解析 如图所示，连接AD.
∵AB＝AC，D是B的中点，
∴AD过圆心O.
∵∠A＝40°，
∴∠BED＝∠BAD＝20°.
∠CBD＝∠CAD＝20°.
∵E是A的中点，
∴∠CBE＝∠CBA＝35°.
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.
答案 55° 20° 105°
三、解答题
9．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD和CD的长．
解 ∴AB是⊙O的直径，
∵AC⊥BC.
∵CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
∵AC＝3 cm，
BC＝4 cm，
∴AB＝5 cm.
∴AD＝ cm，
BD＝ cm.
∵CD2＝AD·BD＝×＝ cm2.
∴CD＝ ＝ cm，AD＝ cm，
BD＝ cm.
10．如图，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求DE的长．
解 在题图中∵＝，
∴∠ADB＝∠CDE，
又∵＝B，
∴∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，
∴＝，即＝，
∴ED＝2.5 cm.
11．(拓展深化)如图①所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
证明 (1)如图③，连接BE.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB2＝AD·AE.
(2)如图④，连接BE，
结论仍然成立，证法同(1)．
第3课时 圆的切线的性质及判定定理1
习题2.3 (第32页)
1．证明 如图所示，连接OD、AO，过O作AC的垂线与AC相交于E.
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.
∵△ABC是等腰三角形，∴∠BAO＝∠CAO.
∴Rt△ADO≌Rt△AEO.
∴OD＝OE.
∴点E在圆上．
∴AC与⊙O相切．
2．证明 如图所示，连接OQ，则OQ是⊙O的半径，
且OQ⊥RQ.
∴∠B＝∠OQB.
∵∠QPR＝∠BPO＝90°－∠B，
∠PQR＝90°－∠OQB，
∴∠QPR＝∠PQR.
∴RP＝RQ.
3．证明 如图所示，连接OD.
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵OA＝OD，∴∠1＝∠3.
∴∠2＝∠4.
又∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△CDO≌△CBO.
∴∠CDO＝∠CBO.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°.
∴∠CDO＝90°.
∴DC是⊙O的切线．
2-3圆的切线的性质及判定定理
一、选择题
1．已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是
( )．
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
解析 圆心到l的距离是4.5 cm小于圆的半径6.5 cm，故圆与l相交．
答案 C
2．下列说法中正确的个数是
( )．
①垂直于半径的直线是圆的切线；
②过圆上一点且垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
④过切点且垂直于切线的直线必过圆心；
⑤过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
⑥同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 ①不正确，因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线；②不正确，因为过圆上一点不一定是半径的外端点，所以不一定是圆的切线；③正确；④正确；⑤不正确，必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线；⑥正确．
答案 B
3．如图所示，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为
( )．
A. B.
C．10 D．5
解析 连接OC，则有∠COP＝60°，
OC⊥PC，可求OC＝.
答案 A
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为
( )．
A．1 B. C. D.
解析 ⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，
∴OB＝＝R，
∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，
∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.
答案 C
二、填空题
5．直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为5，则r的取值范围是__________．
解析 由直线与圆相交的等价条件易得．
答案 r>5
6．如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.
解析 连接OB，则OB⊥AB，
∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，
∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，
又OB＝OD，
∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，
∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.
答案 55°
7．如图所示，直线AB与⊙O相切于点P，CD是⊙O的直径，C、D与AB的距离分别为4 cm、2 cm，则⊙O的半径为________．
解析 利用圆的切线及梯形中位线的知识解决．
答案 3 cm
8．如图所示，⊙O内接正方形ABCD中，⊙O的半径为4 cm，则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.
解析 利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形的知识解决．
答案 4
三、解答题
9．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．
解 △AED为直角三角形，理由如下：
连接OE，∵ED为⊙O切线，
∴OE⊥ED.
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠OEA，
∴OE∥AC，∴AC⊥DE，
∴△AED为直角三角形．
10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？
解 过E作EF⊥CD于F，
∵DE平分∠ADC，
CE平分∠BCD，
∠A＝∠B＝90°，
∴AE＝EF＝BE＝AB.
∴以AB为直径的圆的圆心为E，
∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB，
∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系．
11．(拓展深化)如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AC＝6，求AD的长．
(1)证明 如图，连接OA，
∵sinB＝，∴∠B＝30°，∵∠AOC
＝2∠B，∴∠AOC＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解 ∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝AO＝6.
第2课时 平行线分线段成比例定理
习题1.2 (第9页)
1．解 如图所示，由本节例3知，△OCD与△OAB的三边对应成比例．
∴＝.
∵CD＝6，AB＝8，BD＝15，
∴＝.
解得OB＝.
∴OD＝15－＝.
2．证明 如图所示，
(1)∵DE∥BC，
∴＝， ＝.
∴＝.∴＝.①
(2)∵DE∥BC，
∴＝，＝.
∴＝，即＝.②
由①、②得＝，即BG2＝GC2.
∴BG＝GC.
3. 解 方案1：如图所示，在AB的一侧选择一个点C，连接AC，测量出AC的长．在AC上选一点D，过点D作DE∥AB(即∠1＝∠2)，再测量出CD、DE的长．此时，△CDE与△CAB的三边对应成比例，所以由＝，就可以计算出AB的距离．
方案1
方案2：如图所示，在AB的一侧选择一个点C，使AC⊥AB.同时保证BC的距离能够测量．测出AC、BC的长度，
方案2
由勾股定理即可算出AB的长．
说明：此题是一个开放性问题，测量AB长度的方案还有许多(如取∠ACB为特殊角等)，因此，可以鼓励学生去积极探索不同方案．
4．(1)证明 如图所示，连接AC，
∵EF∥AD∥BC，
∴＝，即EG＝·BC，
＝，即GF＝·AD.
∵＝，∴＝.
而＝，∴＝.
∴＝.
∴EF＝EG＋GF＝·BC＋·AD
＝BC＋AD.
∴3EF＝BC＋2AD.
(2)证明 如果＝，那么＝.同理可推得＝.
∴EF＝EG＋GF＝·BC＋·AD＝BC＋AD.
∴5EF＝2BC＋3AD.
(3)解 如果＝，那么＝.
同理可推得＝.
∴EF＝EG＋GF＝BC＋AD.
∴(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
1-2平行线分线段成比例定理
一、选择题
1．若＝，则下列各式一定成立的是
( )．
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析 ＝?ad＝bc.＝?ac＝bd，∴A不正确．
＝?ad＝bc，∴B正确．
同理知C、D均不正确．
答案 B
2．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是
( )．
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 A
3．如图所示，在△ACE中，B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是 ( )．
A．BD∥CE?＝
B．BD∥CE?＝
C．BD∥CE?＝
D．BD∥CE?＝
解析 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A、B、C都是正确的，D是错误的，故选D.
答案 D
4．如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为
( )．
A．2∶1 B．3∶1
C．4∶1 D．5∶1
解析 要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.
答案 C
二、填空题
5．如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．
解析 由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.
根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得结论．
答案 3∶10
6．如图所示，已知a∥b，＝，＝3，则AE∶EC＝________.
解析 ∵a∥b，∴＝，＝.
∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.
又∵＝，∴＝＝，
∴＝，∴＝.∴＝＝.
答案
7．如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5 cm，AG＝3 cm，BG＝5 cm，EF＝12.9 cm，则DH＝________，EK＝________.
解析 由l1∥l2∥l3，可得＝，
所以DH＝＝＝7.5 (cm)，
同理可得EK的长度．
答案 7.5 cm 34.4 cm
8．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________，AD∶DB＝________.
解析 ∵DE∥BC，∴＝＝.
∵BF∶EF＝3∶2，∴＝＝.∴AC∶AE＝3∶2.
同理DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即＝.
∴＝.即＝＝2，
即＝2.∴AD∶BD＝2∶1.
答案 3∶2 2∶1
三、解答题
9．如图所示，已知平面α∥平面β，点P是平面α、β外一点，且直线PAB、PCD分别与α、β相交于A、B、C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)如果PA＝4 cm，AB＝5 cm，
PC＝3 cm，求PD的长．
(1)证明 ∵α∥β，平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD，
∴AC∥BD.
(2)解 ∵AC∥BD，
∴＝，∴＝，∴CD＝，
∴PD＝3＋＝.
10．已知AD是△ABC的内角平分线，求证：＝.
证明 过C作CE∥AD交BA的延长线于E，如图所示，
则∠AEC＝∠BAD，∠DAC＝∠ACE.
又∠BAD＝∠DAC，∴∠AEC＝∠ACE，∴AC＝AE，
又由AD∥CE知＝，
∴＝.
11．(拓展深化)如图所示，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋的值．
解 过点D作DG∥AB交EC于G，
则＝＝＝，而＝，
即＝，
所以AE＝DG，
从而有AF＝DF，
EF＝FG＝CG，
故＋＝＋
＝＋1＝.
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
第1课时 平行线等分线段定理
习题1.1 (第5页)
1．解 如图所示，设AB为待7等分的长为6厘米的线段．
作法 (1)过点A作射线AC；
(2)在射线AC上以适当的长度顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HK＝KM；
(3)连接BM；
(4)过D、E、F、G、H、K做BM的平行线，分别交AB于点D′、E′、F′、G′、H′、K′，则D′、E′、F′、G′、H′、K′即为线段AB的7等分点．
2．解 猜想：BE＝EF＝FD.
证明：∵M是AB的中点，N是DC的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥CN，且AM＝CN，
∴四边形ANCM是平行四边形．
∴MC∥AN，∴ME平分BF，即BE＝EF，
同理可证：FD＝EF，∴BE＝EF＝FD.
3．证明 ∵E、F分别是梯形ABCD中AB、DC边上的中点，
∴EF∥AD∥BC.
∴G、H分别是梯形对角线BD、AC的中点．
∴EG＝AD，FH＝AD， EH＝BC，FG＝BC.
又∵GH＝EH－EG，GH＝FG－FH，
∴2GH＝EH＋FG－(EG＋FH)
＝BC＋BC－
＝BC－AD，∴GH＝(BC－AD)．
1-1平行线等分线段定理
一、选择题
1．如图所示，已知a∥b∥c，直线AB与a、b、c交于点A、E、B，直线CD与a、b、c交于点C、E、D，若AE＝EB，则有
( )．
A．AE＝CE
B．BE＝DE
C．CE＝DE
D．CE>DE
解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．
答案 C
2．顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是
( )．
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析 本题可由三角形的中位线定理求得．
答案 B
3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于
( )．
A．9 B．10
C．11 D．12
解析 过点O作一条与CD平行的直线，然后结合平行线等分线段定理即可解得最后答案．
答案 A
4．如图， AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10 cm，则BO的长为
( )．
A. cm B．5 cm
C. cm D．3 cm
解析 ∵CD∥EF，OD＝DF，
∴C为OE中点，∴OC＝CE.
∵AB∥CD，AO＝OD，
∴O为BC中点，
∴BO＝OC，∴OB＝BE＝ cm.
答案 A
二、填空题
5．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.
解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．
答案
6．在梯形ABCD中，M、N分别是腰AB和腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN＝________.
解析 由梯形的中位线定理直接可得．
答案 3
7．梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm.
解析 设梯形较大，较小的底分别为a，b，
则有可得：a＝13.
答案 13
8．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝5 cm，则AC＝________cm；若BD＝20 cm，则EF＝________cm.
解析 ∵E为AB的中点，EF∥BD，∴F为AD的中点．∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5 cm，则AD＝10 cm.又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm，则EF＝BD＝10 cm.
答案 15 10
三、解答题
9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E为AB的中点．
求证：△ECD为等边三角形．
证明 过E作EF∥BC交DC于F，连接AC，如图所示．
∵AD∥BC，E为AB中点，∴F是DC中点．①
又∵DC⊥BC，EF∥BC，∴EF⊥DC.②
∴由①②知，EF是DC的垂直平分线，
∴△ECD为等腰三角形．③
∵BC＝AB，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
又∵E是AB中点，
∴CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝30°.∴∠ECD＝60°.④
由③④知，△ECD为等边三角形．
10．如图，在?ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点．
求证：AP＝PQ＝QC.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，
∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.
∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.
∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，
∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.
11．(拓展深化)如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF＝BF.
证明 如图所示，连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形．
∴O是AE的中点．
∵在梯形ABCD中，
DC∥AB，在△EAB中，
OF∥AB，
又∵O是AE的中点，
∴F是EB的中点，
∴EF＝BF.
第4课时 弦切角的性质1
习题2.4 (第34页)
1．证明 ∵TC是圆的切线，∴∠BTC＝∠A.
∵∠ATC＝∠ATB＋∠BTC，
∠TBC＝∠A＋∠ATB，
∴∠ATC＝∠TBC.
2．证明 ∵AC是⊙O′的切线，AD是⊙O的切线，∴∠ 1＝∠C，∠2＝∠D，
∴△ACB∽△DAB.
∴＝.∴AB2＝BC·BD.
2-4弦切角的性质
一、选择题
1．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于
( )．
A．40° B．55°
C．65° D．70°
解析 ∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，
∴∠EDF＝55°.
答案 B
2．如图所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为
( )．
A．2 B．3
C．2 D．4
解析 连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
答案 C
3．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为
( )．
A．40° B．100° C．120° D．30°
解析 ∵AP是⊙O 的切线，∴∠ABC＝∠CAP＝40°，
又∠ACP＝100°，∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，
即∠BAC所对的弧为120°.
答案 C
4．如图所示，AB是⊙O直径，直线EF切⊙O于B，C、D为⊙O上的点，∠CBE＝40°，＝，则∠BCD的度数是
( )．
A．110° B．115° C．120° D．135°
解析 由AB⊥EF得∠ABC＝90°－∠CBE＝50°，
∴2∠ABC＝100°，又＝，∴50°，
∴∠BCD＝(180°＋50°)＝115°.
答案 B
二、填空题
5．如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．
解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．
答案 ∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB
6．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且＝，且、为圆周长，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.
解析 弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．
答案 45° 135° 45° 90°
7．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.
解析 连接OB、OC，
则OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
∴∠BDC＝∠BOC＝50°.
答案 50°
8．如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为________．
解析 ∵∠BAC＝∠AOB，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
∴∠B＝×(180°－50°)＝65°.
答案 65°
三、解答题
9．如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．
解 因为PA与⊙O相切于点A，
所以∠PAC＝∠ABP＝25°.
又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.
又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，
所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.
10．如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，∠C＝130°，AD是⊙O的直径，过B作⊙O的切线FE，求∠ABE的度数．
解 因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠C＝130°，所以∠A＝50°.
连接OB，则∠ABO＝50°，所以∠AOB＝80°.
又因为∠ABF＝∠AOB＝40°，
所以∠ABE＝180°－∠ABF＝180°－40°＝140°，
即∠ABE＝140°.
11．(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．
(1)证明 因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)解 因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，
所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝ cm.
第4课时 直角三角形的射影定理1
习题1.4 (第22页)
1．解 ∵△ABC是直角三角形，CD是AB边上的高，
∴CD2＝AD·BD，
∴602＝25×BD，
∴BD＝144，
∴AB＝AD＋BD＝25＋144＝169.
又∵AC2＝AD·AB，∴AC＝＝65.
又∵BC2＝BD·AB，
∴BC＝＝156.
2．证明 ∵CD⊥AB，∴△ACD是直角三角形．
又∵∠BAC＝60°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝AC.
又∵BD＝AB－AD，
∴BD＝AB－AC.
3．作法 (1)作一直线l，在l上截取线段AD＝b，BD＝a；
(2)过D作AB的垂线l′；
(3)以AB的中点O为圆心，OB的长为半径作弧，与l′交于点C，则CD即为所求．
证明：连接AC、BC、OC.
∵OC＝OB＝AB，∴△ABC为直角三角形．
∵CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD＝ab.
∴CD为线段a和b的比例中项．
1-4直角三角形的射影定理2
一、选择题
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，则相似三角形共有
( )．
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
解析 如图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，
△ABD∽△CBA，共有3对．
答案 D
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是
( )．
A. B. C. D．2
解析 如图所示，由射影定理得
CD2＝AD·BD，
又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x (x>0)．
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，
在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.
答案 C
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则的值为
( )．
A. B. C. D.
解析 由题意得，CD2＝AD·BD，
∴BD＝.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
则＝＝，故＝.
答案 A
4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD长为( )．
A．m sin2α B．m cos2α
C．m sin αcos α D．m sin αtan α
解析 由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，
即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.
又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，
∴AD＝mcos αsin α.故选C.
答案 C
二、填空题
5．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．
解析 因为四边形ABCD为矩形，
所以∠A＝∠D＝90°.
因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.
因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.
又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.
答案 ①③
6．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.
解析 如图，连接AC，CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，
∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD＞BD，∴AD＝9.
答案 9
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a－b＝1，tan A＝，其中a、b分别是∠A和∠B的对边，则斜边上的高h＝________.
解析 由tanA＝＝和a－b＝1，
∴a＝3，b＝2，故c＝，∴h＝＝.
答案
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，
sin∠ACD＝，则CD＝________，BC＝________.
解析 在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.
∴BD＝AB－AD＝－4＝，
由射影定理CD2＝AD·BD＝4×＝9，
∴CD＝3.又由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.
答案 3
三、解答题
9．如图所示，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F.
求证：AF·FD＝CF·FE.
证明 因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以△AFE和△CFD都是直角三角形．
又因为∠AFE＝∠CFD，所以Rt△AFE∽Rt△CFD.
所以AF∶FE＝CF∶FD.
所以AF·FD＝CF·FE.
10．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
解 在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.
又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.
∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°，
故在Rt△BAC中，AD⊥BC，
由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，∴CD＝.
11．(拓展深化)已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
解 (1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，
则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48，
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm, 16 cm.
(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝(cm)；
同理：BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
第3课时 相似三角形的判定及性质
习题1.3 (第19页)
1．证明 如图，连接BE、CD.
∵∠ABE和∠ACD是同弧上的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACD.
又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.
∴＝.
2．证明 如图所示，(1)在△ABE和△ACD中，∵∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD.
∴＝.
∴AB·CD＝AC·BE.
(2)在△ABC和△AED中，
∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC(或∠BAC＝∠BAE－∠EAC)，
∠EAD＝∠CAD＋∠EAC(或∠EAD＝∠CAD－∠EAC)，
又∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.
又∵∠BCA＝∠EDA，∴△ABC∽△AED.
∴＝.
∴AC·ED＝AD·BC.
3．解 如图所示，设A′C′＝x.
要使△ABC∽△A′B′C′只须＝即可．
∵∠A＝∠A′，∴当x＝时，△ABC∽△A′B′C′.
4．作法
(1)作线段B′C′，使B′C′＝BC；
(2)以B′为顶点，B′C′为始边，作∠D′B′C′＝∠B；
(3)在B′D′上截取线段B′A′，使B′A′＝AB；
(4)连接A′C′，则△A′B′C′为所作三角形．
5．证明 ∵EF∥AD∥BC，∴＝，＝.
∵AD＝BC，∴＝.∴＝.
又∵∠AEB＝∠HEG，∴△AEB∽△HEG.
∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB.
6．证明 ∵DE∥AB，
∴＝＝.①
又∵EF∥BC，∴＝＝.②
∴＝.由①、②知＝，
而∠FOD＝∠COA，∴△FOD∽△COA.∴＝.
∴在△ABC和△DEF中，有＝＝.
∴△ABC∽△DEF.
7．证明 在△ACD和△BCE中，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE.
∴＝，即AD·BC＝BE·AC.
8．解 方案1：(1)在地面适当位置选取一点C，连接BC，测量出BC的距离；
(2)在点C竖立一根垂直于地面的标尺杆；
(3)在BC的延长线上取一点D，使点D、标尺杆的顶点E和树尖在一条直线上；
(4)测量CD的距离．
在这个方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC、CD、CE的长可以由测量而得，所以可以求出树高AB的长．(没有考虑测量仪的脚架高)
方案2：(1)在地面上选取一点C，连接BC；
(2)测出∠BCA；
(3)在地面上选取一点D，使∠DCB＝∠BCA；
(4)过D作BC的垂线，交BC于E；
(5)测量DE、CE、BC的长，由这三个量可以求得AB的长．
因为按方案2的实施，易知Rt△ABC∽Rt△DEC.(没有考虑测量仪的脚架高)
方案3：(1)把一面镜子放在离树a米的点E；
(2)一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A；
(3)量得ED为b米，人的眼睛距地面的高度为c米，即可求AB的长．
因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，
所以△ABE∽△CDE.
9．证明 如图所示，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.
(1)设AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝.
又∵D、D′分别为BC、B′C′的中点，
∴＝＝＝.
又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.
∴＝＝k.
其余两组对应中线之比同理可证．
(2)设AE、A′E′分别是△ABC、△A′B′C′中∠A和∠A′的内角平分线．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′.
∴∠BAE＝∠B′A′E′.∴△ABE∽△A′B′E′.
∴＝＝k.
同理可证，其余两个对应角的内角平分线之比也等于相似比．
10．解 在△AEF和△CDF中，
∵∠DCF＝∠EAF，
∠DFC＝∠EFA，
∴△AEF∽△CDF.
∴＝＝.
∴＝k2＝.而S△AEF＝6，
∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54 (cm2)．
11．解 问题1：相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比．
证明：设△ABC∽△A′B′C′.AD、A′D′分别是∠A、∠A′的外角平分线，分别交BC、B′C′的延长线于D、D′.
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′.
又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4，
而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3.
∴∠BAD＝B′A′D′.
又∵∠B＝∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴＝＝k.
问题2：△ABC∽△A′B′C′，以△ABC的三条边为直径，分别向△ABC外作半圆(如图所示)，同样，以△A′B′C′的三条边为直径，分别向△A′B′C′外作半圆．
则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方．
说明 将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题．
问题3：如图所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
＝.则＝k.
说明 该题是一个开放型问题，可以由联想、类比等方法得到许多新问题．在教学中应引导、启发和鼓励学生去探究、猜想．
1-3相似三角形的判定及性质
一、选择题
1．如图所示，给出下列条件：
①∠B＝∠ACD；
②∠ADC＝∠ACB；
③＝；
④AC2＝AD·AB.
其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析
题号
判断
原因分析
①
√
∵∠B＝∠ACD，又∠A＝∠A，∴由判定定理1，知△ABC∽△ACD
②
√
∵∠ADC＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴由判定定理1，知△ABC∽△ACD
③
×
∵＝，∴＝，由判定定理2知，不能单独判断△ABC∽△ACD
④
√
∵AC2＝AD·AB，∴＝，又∠A＝∠A，由判定定理2，知△ABC∽△ACD
答案 C
2．如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有
( )．
①∠AED＝∠B
②＝
③＝
④DE∥BC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.
答案 C
3．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则AC∶BC的值是
( )．
A．3∶2 B．9∶4
C.∶ D.∶
解析 ∵∠B为公共角，∴Rt△BCD∽Rt△BAC，
同理Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD.
∴＝，又∵AD＝3，CD＝2，
∴＝，即AC∶BC＝3∶2.
答案 A
4．如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是
( )．
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
解析 由CM＝CN知∠CMN＝∠CNM，
∴∠AMB＝∠ANC，
又＝，
故△ABM∽△ACN.
答案 B
二、填空题
5．如图所示，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．
解析 ∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，
又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝.
故△ADE与△ABC的相似比为1∶.
答案 1∶
6．如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为__________．
解析 ∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，
∴△AOB∽△A1OB1，
∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．
∴△A1OB1的外接圆直径为2.
答案 2
7．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．
解析 在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.
∵E为AB的中点，∴＝＝，
∴＝.
答案
8．如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为________．
解析 ∵E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝，又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
答案 6
三、解答题
9．如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD＝BC，取AB的中点F，连接FD交AC于点E.
(1)求的值；
(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．
解 (1)如图所示，过点F作FM∥AC，交BC于点M.
∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，
∴FM＝AC，由FM∥AC，
得∠CED＝∠MFD，∠ECD＝∠FMD.
∴△FMD∽△ECD.
∴＝＝.
∴EC＝FM＝×AC＝AC，
∴＝＝.
(2)∵AB＝a，∴FB＝AB＝a.
又FB＝EC，∴EC＝a.
∵EC＝AC，∴AC＝3EC＝a.
10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
求证：FD2＝FB·FC.
证明 ∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，
∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.
又∵∠1＝∠2，∠1＝∠A.
∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，
∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，
∵∠FDC＝∠FBD.
又∵∠F是公共角．
∴△FBD∽△FDC，∴＝，
∴FD2＝FB·FC.
11．(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，
(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．
解 (1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，
△EMF∽EAM.
以下证明：△AMF∽△BGM.
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E
＝∠BMG，∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM.
(2)当α＝45°时，
可得AC⊥BC且AC＝BC.
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝2.
又∵△AMF∽△BGM，
∴＝.
∴BG＝＝＝.
又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，
∴CG＝4－＝.
∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝ ＝.
检测1 新人教A版选修4-1
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为
( )．
A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm
解析 设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.
答案 A
2．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是
( )．
A. B. C. D.
解析 ＝2，∴＝，故＝，
∴S△ADE∶S四边形DBCE＝4∶5.
答案 C
3．如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于
( )．
A．3∶14 B．14∶3
C．17∶3 D．17∶14
解析 过Q点作QM∥AP交BC于M，
则＝＝，
又∵＝，∴＝.
又＝＝，
＝＝，
∴＝，∴＝.
答案 B
4．如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有
( )．
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
解析 注意到∠A＝∠C＝60°，可设AD＝a，则AC＝3a，而AB＝AC＝BC＝3a，所以AE＝BE＝a，所以＝＝，又＝＝，所以＝，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD.
答案 B
5．如图所示，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若S△AEF＝6 cm2，则S△CDF为
( )．
A．54 cm2 B．24 cm2
C．18 cm2 D．12 cm2
解析 ∵△AEF∽△CDF，
∴＝2＝2＝2＝.
∴S△CDF＝9S△AEF＝54 cm2.
答案 A
6．如图所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；
④S△AOD＝S△BOC.
其中正确的个数为
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.
利用三角形的面积公式可知S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．
∵S△ADC＝S△BCD
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC，④正确．
故①③④都正确．
答案 C
7．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14， AC＝19，则MN的长为
( )．
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
解析 延长BN交AC于D，
则△ABD为等腰三角形，
∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.
又M、N分别是BC、BD的中点，
故MN＝CD＝2.5.
答案 B
8．如图所示，在?ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于
( )．
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
解析 因为AB∥CD，所以△ABF∽△EDF，
所以＝＝，所以＝2＝，
又△DEF与△BEF等高，所以＝＝＝.
故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.
答案 A
9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：
(1)∠B＋∠DAC＝90°；
(2)∠B＝∠DAC；
(3)＝；
(4)AB2＝BD·BC.
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有
( )．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析 验证法：(1)不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C不能判定∠BAD＋∠DAC＝90°；而(2)中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∵△DAC为直角三角形，∴△ABC为直角三角形；在(3)中，＝可得△ACD∽△BAD，所以∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，∴∠BAD＋∠DAC＝90°；而(4)中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．
∴正确命题有3个．
答案 A
10．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有
( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D． 4个
解析 假设有一点P，
设AP＝x，则PB＝7－x.
(1)若△PAD∽△PBC，
则＝，
即＝，
得x＝<7，符合条件．
(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P有3个．
答案 C
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案填在题中横线
上)
11．如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.
解析 EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，
∴＝，
又DF＝20，∴DE＝8.
答案 8
12．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．
解析 ∵MN是△ABC的中位线，
∴△MON∽△COA，且＝，
∴S△MON∶S△COA＝()2＝.
答案
13．在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4，则BC＝________.
解析 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.
答案 8
14．若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．
解析 设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意，得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.
答案 20 cm,30 cm
15．如图，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于点F，则＋的值为________．
解析 过D作DG∥CE交AB于G，
则＝＝，
又∵＝，
∴AE＝EG.
∴＝＝1.
又∵＝＝，
EF＝DG，
∴＝.∴＝.
∴＋＝.
答案
16．在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积是______．
解析 因∠B＝∠D＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD的延长线交于E，则得到Rt△BCE和Rt△ADE，由题目条件知，△ADE为等腰直角三角形，所以DE＝AD＝2，所以S△ADE＝×2×2＝2.
又可证Rt△EBC∽Rt△EDA，
所以＝2＝2＝3.
∴S△EBC＝3S△EDA，∴S四边形ABCD＝S△EBC－S△ADE＝4.
答案 4
三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明，证明过
程或演算步骤)
17．(10分)已知：如图所示，AB∥CD，OD2＝OB·OE.
求证：AD∥CE.
证明 ∵AB∥CD，∴＝.
∵OD2＝OB·OE，∴＝.
∴＝.∴AD∥CE.
18．(10分)如图，已知BE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12 cm，求BE，DG的长．
解 ∵BE∥CF，∴＝，
∵AB∶BC＝1∶2，
∴AE∶AF＝1∶3.
∵CF＝12 cm，
∴BE＝12×＝4(cm)．
∵CF∥DG，
∴＝.
又∵AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，
∴＝.
∴DG＝·CF＝24(cm)．
19．(12分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC；
(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．
(1)证明 ∵AB2＝DB·CE，AB＝AC，∴＝.
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∴△ADB∽△EAC.
(2)解 ∵△ADB∽△EAC，
∴∠DAB＝∠E.
∴△ADB∽△EDA.
∴∠DAE＝∠ABD.
∴∠ABC＝＝70°，
∴∠DAE＝∠ABD＝180°－70°＝110°.
20．(12分)如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．
解 ∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.
∴AC＝，AC＝.
∴＝.设CD＝x，
则＝，解得x＝9.故DC＝9.
21．(12分)如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
证明 (1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△EDC，
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
检测2 新人教A版选修4-1
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的)
1．如图所示，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为
( )．
A. B.
C. D.
解析 过O作OH⊥CD，连接OD，则DH＝CD，由相交弦定理知AE·BE＝CE·DE，而AE＝EB＝4.可设CE＝4x，则DE＝9x，所以4×4＝4x×9x，解得x＝，
即OH＝＝ ＝.
答案 A
2．如图所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC、BD相交于点Q，则图中相似三角形共有
( )．
A．4对 B．2对 C．5对 D．3对
解析 由∠PAC＝∠PBD，可知△PAC∽△PBD，
又∵∠ADB＝∠ACB，∴△AQD∽△BQC.
又由割线定理得PD·PA＝PC·PB，
且∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCD.
又∵∠BAQ＝∠CDQ，∠BQA＝∠DQC，
∴△AQB∽△DQC.∴总共有4对相似三角形．
答案 A
3．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于
( )．
A．120° B．136°
C．144° D．150°
解析 要求圆心角∠BOD的度数，需求圆周角∠A的度数，由圆的内接四边形的性质知：∠A＝∠DCE，即求出∠ECD的度数．而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，可求出∠ECD＝72°，即∠A＝72°，故∠BOD＝2∠A＝144°.
答案 C
4．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是
( )．
A．5 cm B．4 cm
C．3 cm D．2 cm
解析 观察图形与分析已知条件可利用垂径定理来解．连接OC，则CP＝CD＝5 cm，设AP＝x，则PB＝5x，OC＝3x，OP＝2x，在Rt△OCP中，OC2＝CP2＋OP2，即(3x)2＝52＋(2x)2，解得x＝，故OC＝3x＝3 cm.
答案 C
5．如图所示，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是
( )．
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 ∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，
∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.
答案 B
6．如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.
其中正确的有
( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 根据割线定理，①式正确．
答案 A
7．如图所示，已知O是圆心，直径AB和弦CD相交于点P，PA＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于
( )．
A．3 B．8 C．12 D．14
解析 要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知：PA·PB＝PC·PD，解得PB＝＝＝12，故AB＝PA＋PB＝14.
答案 D
8．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝
( )．
A. B.
C. D.
答案 A
9．如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于
( )．
A. B. C．2 D．4
解析 要求，注意到sin α＝，sin β＝，
即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.
答案 B
10．如图，AT切⊙O于T，若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC等于
( )．
A．3 B．4 C．6 D．8
解析 ∵AT为⊙O的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，即＝，
∴BC＝＝＝6.
答案 C
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在横线上)
11．如图所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，D为垂足，AB＝8，若BD＝3AD，则CD＝________.
解析 连接AC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
C为⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，D为垂足，
由射影定理得CD2＝AD·BD.
又∵AB＝8＝AD＋DB，BD＝3AD，
∴AD＝2，BD＝6.故CD2＝2×6＝12，∴CD＝2.
答案 2
12．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.
解析 依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.
答案
13．已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________．
解析 如图所示，延长OP分别交⊙O于C、D两点．
不妨设该圆的半径为r，则有PC＝OC－OP＝r－5，PD＝OP＋OD＝r＋5，
∴PA·PB＝PC·PD，
∴r2－25＝24，∴r＝7.
答案 7
14．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，＝2，点P是OC上一动点，则PA＋PD的最小值为________．
解析 满足PA＋PD最小的点为：连接BD交OC于点P.由于AO⊥OC，
则的度数为90°.
又＝2，∴∠B的度数为30°.
又AB为直径，连接AD，
则∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，BD＝2cos 30°＝.
∴AP＋PD＝PB＋PD＝BD＝.
答案
15．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为______．
解析 由题意可知△PBC∽△PDA，于是由＝＝，得＝＝＝.
答案
16．如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．
解析 ∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，
又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.
答案 4π
三、解答题(本大题共5小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，△ABC内接于圆，AD切圆于A，E是BA延长线上一点，连接CE交AD于D点．若D是CE的中点．求证：AC2＝AB·AE.
证明 过E作EF∥AC交AD的延长线于点F.
∵CD＝DE，∴△ACD≌△FED，
∴AC＝EF(AC2＝AB·AE等价于AC·EF＝AB·AE)．
又∵AD是圆的切线，∴∠B＝∠CAF.
又EF∥AC，∴∠BAC＝∠AEF，
∠CAD＝∠F，∴∠B＝∠F，
∴△ABC∽△EFA.
∴＝，∴AC·EF＝AB·AE，
即AC2＝AB·AE.
18．(10分)已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)AB＝AC，求AC∶BC.
解 (1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD
即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△ABE中，＝＝tan∠B＝tan 30°＝.
19．(12分)如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E.
求证：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.
证明 (1)连接IC，∵I为内心，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.
∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，
∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.
(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，
∴△ECD∽△EAC，∴＝，
∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.
20．(12分)如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.
求证：AB2＝4AP·BQ.
证明 法一 连接OP、OQ，如图所示．
∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AP、BQ为⊙O的切线，
AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A＝∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.
∴△AOP∽△BQO.
∴＝.
∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.
法二 连接OC.
同上可证得∠2＋∠3＝90°.
∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，
利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.
OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.
法三 如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.
∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，
∴∠A＝∠B＝90°，
AP＝PC，CQ＝BQ.
∴四边形ABDP为矩形，
PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，
∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.
∴4AP·BQ＝AB2.
21．(12分)如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.
(1)证明：OM·OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.
证明 (1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.
又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，
OA2＝OM·OP.
(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，
同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，
所以OP·OM＝ON·OK，即＝.
又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，
故∠OKM＝∠OPN＝90°.
