第三章函数的概念和性质 单元训练（含解析）

第三章单元训练
（共22题，共150分）
一、选择题（共8题，共40分）
（5分）函数 的定义域为
A． B．
C． D．
（5分）已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立的 取值范围为
A． B．
C． D．
（5分）甲、乙两人沿同一方向前往 米外的目标 ，甲前 米以 的速度前进，剩下 米以 的速度前进，乙前半段时间以 的速度前进，后半段时间以 的速度前进，则以下关于两人去往 地的路程与时间函数图象关系中正确的是
A．B．C．D．
（5分）定义域为 的偶函数 在 为减函数，当不等式 成立时，实数 的取值范围是
A． 或 B． 或
C． D．
（5分）已知定义域为 的函数 在 上为减函数，且函数 为偶函数，则 ．
A． B．
C． D．
（5分）若对于任意实数 总有 ，且 在区间 上是增函数，则
A． B．
C． D．
（5分）已知 是一次函数，且满足 ，则 等于
A． B． C． D．
（5分）已知定义在 上的函数 为增函数，且 ，则 等于
A． B．
C． 或 D．
二、多选题（共4题，共20分）
（5分）下列各函数中，最小值为 的是
A． B．
C． D．
（5分）已知定义在 上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ，；② ，当 时，都有 ；③ ．则下列选项成立的是
A．
B．若 ，则
C．若 ，
D． ，，使得
（5分）若函数 具有下列性质：①定义域为 ；②对于任意的 ，都有 ；③当 时，，则称函数 为 的函数．若函数 为 的函数，则以下结论正确的是
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为单调递减函数 D． 为单调递增函数
（5分）设函数 ，则下列结论正确的是
A．当 时，函数 在 上有最小值
B．当 时，函数 在 上有最小值
C．对任意的实数 ，函数 的图象关于点 对称
D．方程 可能有三个实数根
三、填空题（共4题，共20分）
（5分）函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
（5分）函数 的定义域为 ，若对于任意 ， 时，都有 ，则称函数 在 上为非减函数，设函数 在 上为非减函数，且满足以下三个条件：① ；② ；③ ．则 ； ．
（5分）设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为 ．
（5分）若关于 的方程 的两个实数根是 ，，则 的最小值是 ．
四、解答题（共6题，共70分）
（10分）已知函数 是定义在 上的奇函数．
(1) 求函数 的解析式；
(2) 若存在 ，使不等式 成立，求实数 的最小值．
（12分）已知函数 ， 为实常数
(1) 求证函数 在区间 上单调递增．
(2) 求 在 上的最小值．
（12分）设函数 ，．
(1) 当 时，求函数 的最小值．
(2) 当 时，求函数 的最小值．
（12分）设函数 ，若 在区间 上有最大值 ，最小值 ．
(1) 求 ， 的值．
(2) 若 ，且 在区间 上单调，求实数 的取值范围．
（12分）对于区间，若函数 同时满足：① 在 上是单调函数；②函数 ， 的值域是 ，则称区间 为函数 的“保值”区间．
(1) 求函数 的所有“保值”区间．
(2) 函数 是否存在“保值区间”？若存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由．
（12分）已知函数 ．
(1) 若 ，，，且 在 上的最大值为 ，最小值为 ，试求 ， 的值；
(2) 若 ，，且 对任意 恒成立，求 的取值范围（用 来表示）．
答案
一、选择题（共8题，共40分）
1. 【答案】D
【解析】函数有意义时，
则 ．
2. 【答案】D
3. 【答案】B
【解析】设乙到达目标 所用的时间为 ，则 ，解得 ，
所以乙到达目标 所用的时间为 ，排除选项A和C；
因为甲前 米以 的速度前进，乙前半段时间以 的速度前进，
所以甲的速度比乙的速度慢，排除选项D．
4. 【答案】B
【解析】因为 为 上的偶函数，且在 为减函数，
则 等价于 ， 为减函数，
则 ，两边平方得 ，
则 ，且 ，得 或 ．
5. 【答案】C
【解析】因为函数 为偶函数，
所以函数 关于直线 对称．
所以 ，．
又函数 在 上为减函数，
所以 ．
A项，，故A错误；
B项，，故B错误；
C项，，故C正确；
D项，，故D错误．
6. 【答案】D
【解析】由 可得 为偶函数，且在 上单增，
由偶函数性质可知其在区间 上，
因为 ，，
所以 ．
7. 【答案】A
【解析】设 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
所以 解得 ，．
所以 ．
8. 【答案】B
【解析】令 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 ．
令 ，则 ，
所以 ．
因为函数 为定义在 上的增函数，
所以 ，变形可得 ，
解得 或 ．
所以 或 ．
令 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，
则，
则 ．
所以 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以 或 ．
因为 ，
所以 ．
二、多选题（共4题，共20分）
9. 【答案】C；D
【解析】对于选项A，当 时，，所以 的最小值不是 ；
对于选项B，因为 ，故 的最小值为 ；
对于选项C，；所以当 时，该函数取最小值 ；
对于选项D，，所以该函数的最小值为 ．
10. 【答案】C；D
【解析】由条件①得 是偶函数，条件②得 在 上单调递增，
所以 ，故A错；
若 ，则 ，解得 ，故B错；
若 ，则 或
因为 ，
所以 或 ，故C正确；
因为定义在 上函数 的图象是连续不断的，且在 上单调递增，
所以 ，
所以对 ，只需 即可，故D正确．
11. 【答案】A；C
【解析】 定义域关于原点对称，令 则有 ，令 ，则有 ，所以 ，故 是奇函数；令 ，，且 ，所以 ，又 且 ，，则 ，即 ，所以 ，所以 是单调减函数．
12. 【答案】C；D
【解析】对于A，当 时，函数 ，
函数在 上为增函数，函数 的值域为 ，
所以函数 在 上没有最小值，所以A不正确；
对于B，当 时，函数 的草图如图所示，
此时函数 的值域为 ，所以函数 在 上没有最小值，所以B不正确；
对于C，函数 ，满足 ，
所以函数 的图象关于原点对称，
又函数 的图象是由函数 沿 轴平移 个单位长度得到的，
所以函数 的图象关于 对称，所以C正确；
对于D，令 ，，则 ，
解得 ，所以D正确．
三、填空题（共4题，共20分）
13. 【答案】
【解析】 恒成立， 时， 成立，
时，满足 即
即 ，所以 ．
14. 【答案】 ；
【解析】由③知，当 时，，即 ；
当 时，，即 ，得 ；
由②知：当 时，，即 ，
所以 ；
当 时，，又 ，
即 ，
所以 ，解得：；
同理可得：，，，
因为 ，，
函数 在 上为非减函数，
所以 ，故 ，
所以 ．
15. 【答案】
【解析】 为奇函数，满足 ，
所以 ，
即 ，所以 与 异号，
当 时， 且 在 上为增函数，
所以 时，； 时，，则 时，；
当 时， 的图象与 的图象，关于原点对称，
所以 时，； 时，，则 时，，
所以不等式的解集为 ．
16. 【答案】
【解析】由题意得 ，解得 或 ．
又 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，，
所以
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
四、解答题（共6题，共70分）
17. 【答案】
(1) 因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
(2) 因为 ，
所以 在 上单调递增，
由 在 上有解，可得 在 上有解，
即 在 上有解．
设 ，则 ，则 在 上有解，
所以 ，
故实数 的最小值为 ．
18. 【答案】
(1) 因为 ，
所以 关于 对称，且开口向上，
故 在 上单调递增．
(2) ① 时，，
所以 在 上最小值为 ，
② 时，，
所以 在 上最小值为 ，
③ 时， 在 上单调递减，
所以 ，
④ 时， 在 上单调递增，
所以 ，
⑤ 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以 ，
综上： 时，，
时，，
时，．
19. 【答案】
(1) 当 时，，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ．
(2) 当 时，任取 ，
，
因为 ，，
所以 ．
所以 ，即 ．
所以 在 上为增函数．
故 ．
20. 【答案】
(1) 由于函数 ，，其对称轴为 ，
当 时，函数 在区间 上单调递增，
由题意可得： 解得
当 时，函数 在区间 上单调递减，
由题意可得： 解得
综上可得： 或
(2) 若 ，则由（）可得 ，，
，
再由函数 在区间 上单调可得 或 ，
解得 或 ，
故实数 的取值范围是 ．
21. 【答案】
(1) 因为 的值域为 ，且在 上值域为 ，
所以 ，从而 在 上单调递增，
则 得 或
又 ，所以 即 的保值区间为 ．
(2) 若 存在保值区间，则有：
①若 ，此时 在 上单调递减．
则
消去 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，，即 ，
又 所以 ，
因为 ，
当 时，，符合条件；
②若 时，此时 在 上为增函数，
则 消去 得 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，，即 ，
又 所以 ，
，
当 时，，又 ，所以 ．
综上，．
22. 【答案】
(1) 抛物线的对称轴为 ．
①当 时，即 时，当 时，
，，
所以 所以 ，；
②当 时，即 时， 在 上为增函数，
与 矛盾，无解．
综合得：，．
(2) 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 因为 ，所以 ．
（ⅰ）若 ，即 时， 在 单调递减，
此时 即 得
此时 ，所以 ，所以 ；
（ⅱ）若 ，即 时，
在 单调递减，在 单调递增，
此时，，
只要 ，
当 时，，；
当 时，，．
综上得：① 时，；
② 时，；
③ 时，．