山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试数学预测压轴试卷1（含解析）

山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试
数学试卷
一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
4．设命题，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
7．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
8．为了得到函数的图像，只需将函数的图像
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
9．已知点为角α终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
13．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
14．设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．8
16．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
17．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分.
21．已知向量，，则______.
22．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是______．
23．_______．
24．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为______．
25．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的体积是_______________.
三、解答题:本题共3小题，共25分.
26．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
27．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
28．已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试
数学试卷
答案与解析
一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设有，
故选：B .
2．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C
3．已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故.
故选：D
4．设命题，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题，的否定为：，.
故选：B.
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B．
6．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
故选：A
7．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【解析】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
8．为了得到函数的图像，只需将函数的图像
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】由已知中平移前函数解析式为y＝sinx，根据函数图象平移“左加右减“的原则，
要使平移后函数解析式为：，
则向右平行移动个单位长度，
故选B．
9．已知点为角α终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点为角α终边上一点，
所以，
故选：C
10．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
11．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据解析式可知：最小正周期.
故选：A.
12．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】连接ON，则
由题可得
故选：B.
13．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
14．设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，则，解得
当时，则，解得
综上所述：的取值范围是
故选：A.
15．函数的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是5，
故选：B
16．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
17．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
18．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：C
19．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
20．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分.
21．已知向量，，则______.
【答案】5
【解析】因为向量，，所以，
所以，
故答案为：5.
22．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是______．
【答案】8
【解析】如图所示：
，，
又，，
解得：，
所以棱柱的侧面积.
故答案为：8
23．_______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
24．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为______．
【答案】0.38
【解析】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为．
故答案为：0.38
25．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的体积是_______________.
【答案】
【解析】空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，
则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,
所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线长为
所以这个球面的体积.
故答案为:
三、解答题:本题共3小题，共25分.
26．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】证明：（1）设与交于点，接，
底面是菱形，
为中点，
又因为是的中点，
，
面，平面
平面．
（2）底面是菱形，
，
底面，底面，
，且，平面．
平面．
平面，
．
27．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是-3，最大值是.
【解析】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
28．已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3)
【解析】，所以为上的增函数，
证明： 任取，，且，
∵，∴，又，
∴，即，
∴为上的增函数；
（3）
【解析】不等式，
等价于
即，
∵为上的增函数，
∴，解得，故不等式的解集为.