山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试数学预测压轴试卷4（含解析）

山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试
数学试卷
一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)
1．复数2﹣i的共轭复数是（　　）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
2．设命题p： k∈N，k2＞2k+3，则p的否定为（　　）
A． k∈N，k2＞2k+3 B． k∈N，k2＜2k+3
C． k∈N，k2≤2k+3 D． k∈N，k2≤2k+3
3．若＜＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．a＜b C．a+b＞ab D．a3＞b3
4．函数的定义域为（　　）
A．{x|x＞﹣1且x≠0} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥﹣1且x≠0} D．{x|x＞﹣1}
5．sinθcosθ＝（　　）
A． B． C．sin2θ D．cos2θ
6．已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（　　）
A． B．π C． D．
7．在△ABC中，点D是BC的中点，则向量＝（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log4x＜1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＜4} B．{x|﹣1≤x＜4} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜2}
10．一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（　　）
A． B． C．πa2 D．3πa2
11．已知6个数据5，7，7，8，10，11，则它的标准差是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知cosα＝ ，且α 为第四象限角，则sinα＝ （　　）
A． B． C． D．
13．某班有男生20人，女生25人，用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为BC，C1D1 的中点，则（　　）
A．AF⊥ED1 B．EF⊥CA1 C．A1F⊥BF D．A1F⊥ED1
15．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）
A．三次都中靶 B．只要两次中靶
C．只有一次中靶 D．三次均未中靶
16．函数f（x）＝x2，其中x∈[﹣2，1]，则f（x）在该区间上的最小值是（　　）
A．1 B．4 C．﹣4 D．0
17．函数y＝﹣lnx的零点所在区间是（　　）
A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）
18．函数的单调增区间为（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
19．要得到函数y＝sin（x+）图象，只需要将函数y＝sinx图象（　　）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
20．已知a＝20.3，b＝23，c＝2﹣1，那么a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分.
21．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（x）的最小正周期为 　 　．
22．已知x＞0，y＞0，且xy＝9，则x+y的最小值为 　 　．
23．已知向量，，，则t＝　 　．
24．已知，求f（f（﹣1））＝　 　．
25．幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为 　 　．
三、解答题:本题共3小题，共25分.
26．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；
（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
27．在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC∩BD＝O，E为棱C1C的中点．
（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）若四边形ABCD为正方形，求证：BD⊥平面A1ACC1．
28．已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范围．
山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．复数2﹣i的共轭复数是（　　）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
【解析】复数2﹣i的共轭复数是2+i．
故选：A．
2．设命题p： k∈N，k2＞2k+3，则p的否定为（　　）
A． k∈N，k2＞2k+3 B． k∈N，k2＜2k+3
C． k∈N，k2≤2k+3 D． k∈N，k2≤2k+3
【解析】命题p： k∈N，k2＞2k+3为全称命题，
则p的否定为 k∈N，k2≤2k+3．
故选：D．
3．若＜＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．a＜b C．a+b＞ab D．a3＞b3
【解析】因为＜＜0，所以b＜a＜0，故B错误，
则﹣b＞﹣a＞0，所以|﹣b|＞|﹣a|，即|b|＞|a|，故A错误；
a+b＜0，ab＞0，所以a+b＜ab，故C错误；
因为函数y＝x3在R上单调递增，所以a3＞b3，故D正确．
故选：D．
4．函数的定义域为（　　）
A．{x|x＞﹣1且x≠0} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥﹣1且x≠0} D．{x|x＞﹣1}
【解析】要使原函数有意义，则：，解得x≥﹣1，且x≠0，
∴原函数的定义域为：{x|x≥﹣1且x≠0}．
故选：C．
5．sinθcosθ＝（　　）
A． B． C．sin2θ D．cos2θ
【解析】sinθcosθ＝×2sinθcosθ＝sin2θ．
故选：A．
6．已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（　　）
A． B．π C． D．
【解析】因为扇形的圆心角为，半径为，
所以扇形的面积为S＝＝．
故选：B．
7．在△ABC中，点D是BC的中点，则向量＝（　　）
A． B． C． D．
【解析】＝．
故选：A．
8．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排，共有＝6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．
因此甲站在中间的概率P＝．另解：甲在三个位置是等可能的，所以甲站在中间的概率P＝．
故选：C．
9．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log4x＜1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＜4} B．{x|﹣1≤x＜4} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜2}
【解析】因为B＝{x|log4x＜1}＝{x|0＜x＜4}，
所以A∩B＝{x|0＜x≤2}，
故选：C．
10．一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（　　）
A． B． C．πa2 D．3πa2
【解析】设球的半径为R，
根据正方体的对角线是球的直径，
可得，所以，
所以球的表面积S＝4πR2＝3πa2，
故选：D．
11．已知6个数据5，7，7，8，10，11，则它的标准差是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】数据的平均数为，所以标准差为＝．
故选：A．
12．已知cosα＝ ，且α 为第四象限角，则sinα＝ （　　）
A． B． C． D．
【解析】∵α 为第四象限，
∴sinα＜0 ，
又∵cosα＝ ，
∴ ．
故选：A．
13．某班有男生20人，女生25人，用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由题意可得，女生所占的比例为＝，
故用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为9×．
故选：D．
14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为BC，C1D1 的中点，则（　　）
A．AF⊥ED1 B．EF⊥CA1 C．A1F⊥BF D．A1F⊥ED1
【解析】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为2 ．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2），
E（2，1，0），F（1，2，2），
，，，
，
，
，
据此可得只有A1F⊥ED1成立．
故选：D．
15．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）
A．三次都中靶 B．只要两次中靶
C．只有一次中靶 D．三次均未中靶
【解析】事件“至少有一次中靶”包含事件“三次都中靶”，“只要两次中靶”，“只有一次中靶”，
事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”是互斥事件，
故选：D．
16．函数f（x）＝x2，其中x∈[﹣2，1]，则f（x）在该区间上的最小值是（　　）
A．1 B．4 C．﹣4 D．0
【解析】函数f（x）＝x2是开口向上的抛物线，对称轴为x＝0，
∴f（x）＝x2在[﹣2，0]上单调递减，在[0，1]单调递增，
∴f（x）min＝f（0）＝0．
故选：D．
17．函数y＝﹣lnx的零点所在区间是（　　）
A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）
【解析】函数的定义域为（0，+∞），
∵y′＝﹣＜0，∴函数y＝﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，
∵f（2）＝1﹣ln2＞0，f（3）＝，
∴函数y＝﹣lnx的零点所在区间是（2，3）．
故选：B．
18．函数的单调增区间为（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【解析】∵函数＝1﹣，定义域为{x|x≠0}，
且y＝的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：D．
19．要得到函数y＝sin（x+）图象，只需要将函数y＝sinx图象（　　）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【解析】要得到函数y＝sin（x+）图象，只需要将函数y＝sinx图象向左平移个单位即可，
故选：A．
20．已知a＝20.3，b＝23，c＝2﹣1，那么a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解析】∵函数y＝2x在R上单调递增，3＞0.3＞﹣1，a＝20.3 ，b＝23 ，c＝2﹣1，
∴b＞a＞c，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
21．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（x）的最小正周期为 　2　．
【解析】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为T，
由图像可知，，所以T＝2．
故答案为：2．
22．已知x＞0，y＞0，且xy＝9，则x+y的最小值为 　6　．
【解析】因为x＞0，y＞0，且xy＝9，
所以x+y≥2＝6，当且仅当x＝y＝3时取等号，
所以x+y的最小值为6．
故答案为：6．
23．已知向量，，，则t＝　　．
【解析】根据题意，向量，，
若，则 ＝﹣2+3t＝0，解可得t＝，
故答案为：．
24．已知，求f（f（﹣1））＝　0　．
【解析】∵，
∴f（﹣1）＝﹣1+2＝1，
∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12﹣1＝0，
故答案为：0．
25．幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为 　﹣3　．
【解析】∵幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递减，
∴，∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三．解答题（共3小题）
26．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；
（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
【解析】（Ⅰ）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m＝75（分）；（3分）
前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10＝0.4，
∵中位数要平分直方图的面积，∴（7分）
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10＝0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75% （11分）
利用组中值估算抽样学生的平均分45 f1+55 f2+65 f3+75 f4+85 f5+95 f6
＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71
估计这次考试的平均分是71分．（14分）
27．在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC∩BD＝O，E为棱C1C的中点．
（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）若四边形ABCD为正方形，求证：BD⊥平面A1ACC1．
【解答】证明：（1）连结OE，在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，
四边形ABCD为矩形，∴O是AC中点，
∵E为棱C1C的中点，∴OE∥AC1，
∵OE 平面BDE，AC1 平面BDE，
∴AC1∥平面BDE．
（2）解：在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，CC1⊥平面ABCD，
∵BD 平面ABCD，∴CC1⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵AC 平面ACC1，CC1 平面ACC1，AC∩CC1＝C，
∴BD⊥平面A1ACC1．
28．已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范围．
【解析】（1）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，
必有f（0）＝log2＝0，解可得a＝1，
当a＝1时，f（x）＝log2（﹣x），满足定义域为R，
且f（﹣x）+f（x）＝log2（+x）+log2（﹣x）＝0，f（x）为奇函数，符合题意，
故a＝1；
（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝log2（﹣x），
则f（x）≥1 log2（﹣x）≥log22 ﹣x≥2，
解可得x≤﹣，即x的取值范围为（﹣∞，﹣]．