2.3.2 抛物线的简单几何性质
（答案与解析）
一、选择题
1、抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为 ( )
A、 B、- C、4 D、-4
解析：由y=ax2,变形得x2=y,∵抛物线的准线方程是y=1,
∴-=1,解得a=-，选B。
2、(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是 ( )
A、开口向上,焦点为(0,2)
B、开口向右,准线方程为x=-
C、开口向右,焦点为
D、开口向上,准线方程为y=-2
解析：抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2，选AD。3、若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A、4 B、5 C、6 D、7
解析：由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,
则P(3,±2),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A。
4、已知抛物线C:y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=x0,则x0等于( )
A、4 B、2 C、1 D、8
解析：∵x0=x0+，∴x0=1，选C
5、已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A、2 B、3 C、 D、
解析：如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即点F到直线l1的距离d==2，选A。
6、已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为( )
A、18 B、24 C、36 D、48
解析：不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),依题意,l⊥x轴,且焦点F,0,
∵当x=时,|y|=p,∴|AB|=2p=12,∴p=6,又点P到直线AB的距离为=p=6,
故S△ABP=|AB|·p=×12×6=36，故选C。
7、抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是( )
A、1 B、2 C、0 D、无数个
解析：因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F（,0）,
由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,
这样的交点共有2个,
故过点F,M且与l相切的圆有2个，选B。
8、设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,0,所以x1+x2+x3=3×,则||+||+||=x1++x2++x3+=(x1+x2+x3)+=3，故选C。
二、填空题
9、若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
解析：抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.
10、抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
解析：抛物线的焦点坐标F0,,准线方程为y=-,代入=1得|x|=.要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.
11、抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是 .
解析：由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,∵直线AF的斜率为,∴AF的倾斜角为30°.
∵直线AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.
设Am,,m>0,过F作FM⊥AH于点M,则在△FAM中,|AM|=|AF|,
∴-1=+1,解得m=2,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,
∴△AHF的面积是×4×4sin 60°=4.
12、已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
解析：设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形，不妨设直线OB的方程为y=x,
由解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.
三、解答题
13、若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
解：设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),
设A(x0,y0),由题意知M0,-,∵|AF|=3,∴y0+=3,∵|AM|=,∴+y0+2=17,
∴=8,代入方程=2py0得,8=2p3-,解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
14、如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
(1)解：依题意,设直线AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8。
(2)证明：设M(x3,y3),N(x4,y4)，
，
设直线AM的方程为x=ny+1，代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,
所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,=-,
由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.2.3.2 抛物线的简单几何性质
一、选择题
1、抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为 ( )
A、 B、- C、4 D、-4
2、(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是 ( )
A、开口向上,焦点为(0,2)
B、开口向右,准线方程为x=-
C、开口向右,焦点为
D、开口向上,准线方程为y=-2
3、若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A、4 B、5 C、6 D、7
4、已知抛物线C:y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=x0,则x0等于( )
A、4 B、2 C、1 D、8
5、已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A、2 B、3 C、 D、
6、已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为( )
A、18 B、24 C、36 D、48
7、抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是( )
A、1 B、2 C、0 D、无数个
8、设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题
9、若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 。
10、抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= 。
11、抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是 。
12、已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 。
三、解答题
13、若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
14、如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
