函数的零点、方程的根及函数图象专题
一．选择题（共16小题）
1．已知函数f（x）＝，若函数y＝[f（x）]2﹣1与y＝af（x）的图像恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，+∞）
2．函数f（x）＝1﹣（x﹣π）sinx在区间上的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2π C．4π D．6π
3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．f（x）＝|sinx|cosx
D．
4．已知函数y＝f（x），x∈[﹣π，π]的图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数若函数y＝f（x）﹣2有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣3，4） C．（﹣3，6） D．（﹣3，+∞）
6．已知函数f（x）＝与函数y＝k（x2﹣1）的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）
D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
7．已知函数．则当α∈[0，π]时，f（x）的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．设f（x）为R上的偶函数且f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2﹣2x，若方程f（x）＝loga（x+1）在（﹣1，3）内只有3个解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（3，5） C．（1，3） D．（3，+∞）
9．已知二次函数y＝x2﹣4x+a的两个零点都在区间（1，+∞）内，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4） B．（3，+∞） C．（3，4） D．（﹣∞，3）
10．函数的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．函数f（x）＝x2ln|x|﹣2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
13．函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
14．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+a﹣1＝0有且仅有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2e，1﹣e） B．（1﹣e，0） C．（﹣∞，1﹣e） D．（1﹣e，2e）
16．已知函数，若函数y＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，3] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞）
二．填空题（共1小题）
17．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝（x﹣2a）ex+2a2﹣4．若f（x）的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为 ．
三．解答题（共1小题）
18．已知函数f（x）＝a|lnx|+x+，g（x）＝ex+e﹣x﹣a|ln（ax）|﹣，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求的值；
（2）讨论g（x）的零点个数．函数的零点、方程的根及函数图象专题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知函数f（x）＝，若函数y＝[f（x）]2﹣1与y＝af（x）的图像恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，+∞）
解：依题意，
当x＞0时，f'（x）＝e（lnx+1），
所以，在区间递减；在区间递增．
所以，当0＜x＜1时，f（x）＜0；当x＞1时，f（x）＞0；f（1）＝0．
当x≤0时，，
f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
所以f（x）在区间（﹣∞，﹣1），f'（x）＞0，f（x）递增；
在区间（﹣1，0），f'（x）＜0，f（x）递减，
所以f（x）≤f（﹣1）＝2，．
由此画出f（x）的大致图象如下图所示，
由图可知，若直线y＝t与y＝f（x）的图象有3个交点，则﹣1＜t＜2．
由于函数y＝[f（x）]2﹣1与y＝af（x）的图象恰有6个不同的公共点，
即[f（x）]2﹣1＝af（x），[f（x）]2﹣af（x）﹣1＝0有6个不同的根，
由于Δ＝a2﹣4×（﹣1）＝a2+4＞0，
所以，解得．
故选：A．
2．函数f（x）＝1﹣（x﹣π）sinx在区间上的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2π C．4π D．6π
解：令f（x）＝0，则，
又y＝sinx关于点（π，0）对称，也关于点（π，0）对称，作出两函数的图象如下图所示，
由图象可知，y＝sinx与在区间上共有四个交点，且关于点（π，0）对称，每对的横坐标之和为2π，
∴函数f（x）在区间上的所有零点之和为2×2π＝4π．
故选：C．
3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．f（x）＝|sinx|cosx
D．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，故排除选项CD；
又当x＞0时，ex＞e﹣x，则，故排除选项B．
故选：A．
4．已知函数y＝f（x），x∈[﹣π，π]的图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由图象可知，函数f（x）为奇函数，故排除选项BD，
且x∈（0，π）时，f（x）＞0，而对于C，，故排除选项C．
故选：A．
5．已知函数若函数y＝f（x）﹣2有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣3，4） C．（﹣3，6） D．（﹣3，+∞）
解：当x≥1时，f（x）＝lnx+1，令lnx+1﹣2＝0，解得x＝e，
∴x＝e是函数y＝f（x）﹣2的一个零点，
∴当x＜1时，y＝x2+4x+a﹣2有两个零点，即x2+4x+a﹣2＝0在（﹣∞，1）上有两个不同的实数解，
∴，解得﹣3＜a＜6．
故选：C．
6．已知函数f（x）＝与函数y＝k（x2﹣1）的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）
D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
解：当x≤0时，令x3﹣x＝k（x2﹣1），即（x2﹣1）（x﹣k）＝0，则x＝﹣1或x＝1（舍）或x＝k，
①当k≤0且k≠﹣1时，lnx＝k（x2﹣1）在（0，+∞）上仅有一个解，令g（x）＝lnx﹣kx2+k（x＞0），则，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，
故函数g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，即lnx＝k（x2﹣1）在（0，+∞）上仅有一个解，符合题意；
②当k＞0时，此时x3﹣x＝k（x2﹣1）在（﹣∞，0]上仅有一个解，则需lnx＝k（x2﹣1）在（0，+∞）上有两个解，
令，解得，易知函数g（x）在单调递增，在单调递减，
由于当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，且g（1）＝0，
故要使g（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需即可，即，故k＞0且时符合题意；
③当k＝﹣1时，此时x3﹣x＝k（x2﹣1）在（﹣∞，0]上仅有一个解，则需lnx＝k（x2﹣1）在（0，+∞）上有两个解，
而，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，至多有一个零点，不合题意；
综上，实数k的取值范围为
故选：B．
7．已知函数．则当α∈[0，π]时，f（x）的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，∴，∴恒成立，∴f（x）的定义域为R，
①当α＝0时，，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
∴f（x）为R上的奇函数，又f（0）＝，而，∴选项B可能；
②当α＝π时，，由①可知也为R上的奇函数，
又，而，∴选项A也可能；
③当α＝时，，由①知f（x）为R上的偶函数，
又，而，∴选项C也可能．
故选：D．
8．设f（x）为R上的偶函数且f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2﹣2x，若方程f（x）＝loga（x+1）在（﹣1，3）内只有3个解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（3，5） C．（1，3） D．（3，+∞）
解：当x∈[0，1]时，f（x）＝2﹣2x，可知函数f（x）单调递减，∵f（x）为R上的偶函数，可得x∈[﹣1，0）时的图象．
∵f（2﹣x）＝f（x），可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，据此画出图象：
方程f（x）＝loga（x+1）在（﹣1，3）内只有3个解，
则0＜a＜1时，函数y＝f（x）与y＝loga（x+1）的图象只有一个交点，不符合题意，舍去．
∴a＞1，且满足0＜loga（2+1）＜1，解得a＞3．
则实数a的取值范围是（3，+∞），
故选：D．
9．已知二次函数y＝x2﹣4x+a的两个零点都在区间（1，+∞）内，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4） B．（3，+∞） C．（3，4） D．（﹣∞，3）
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+a的两个零点都在区间（1，+∞）内，
∴，
解得3＜a＜4，
故选：C．
10．函数的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：f（﹣x）＝（﹣x）3ln＝﹣x3ln＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，故排除AB，
∵f（）＝0，f（）＝ln＝ln＞0，
∴选项D不符合，选项C符合．
故选：C．
11．函数f（x）＝x2ln|x|﹣2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（﹣x）＝（﹣x）2ln|﹣x|﹣2＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故排除B，
f（1）＝﹣2＜0，故排除C，
f（3）＝9ln3﹣2＞0，故排除A．
故选：D．
12．已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
解：由图像可知函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），
对于A：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故A符合题意；
对于B：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，2）∪（2，+∞），故不B符合，
对于C：函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），故C不符合；
对于D函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），但f（）＝＞0，故D不符合．
故选：A．
13．函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：函数的定义域为R，
∵f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），
∴函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，
当x→+∞时，y＝f（x）→0，故排除B．
故选：A．
14．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，
又f（1）＝＞0，故排除B，
故选：A．
15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+a﹣1＝0有且仅有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2e，1﹣e） B．（1﹣e，0） C．（﹣∞，1﹣e） D．（1﹣e，2e）
解：函数f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}，
对函数f（x）求导：f′（x）＝，
令f′（x）＞0得x＞e，
令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，
在（e，+∞）单调递增，
故在x＝e时，f（x）有极小值为f（e）＝e，f（x）大致图象如图所示：
令t＝f（x），则方程[f（x）]2+af（x）+a﹣1＝0可化为：t2+at+a﹣1＝0，
令a＝0，则t2＝1，t＝±1，即f（x）＝±1，根据f（x）的图象，此时只有一个解，故排除D；
令a＝﹣1，则t2﹣t﹣2＝0，解得：t＝2或t＝﹣1，根据f（x）的图象，此时只有一个解，故排除B；
令a＝﹣6，则t2﹣6t﹣7＝0，解得：t＝7或t＝﹣1，根据f（x）的图象，此时有三个不同解，故排除A．
故选：C．
16．已知函数，若函数y＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，3] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞）
解：依题意，函数f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，
而当x＞0时，，
作出图象如下图所示，
由图象可知，m∈（﹣1，3）．
故选：A．
二．填空题（共1小题）
17．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝（x﹣2a）ex+2a2﹣4．若f（x）的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为 2 ．
解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，而f（x）＝0恰有三个实数根，
于是必有f（0）＝0，即2a2﹣2a﹣4＝0，解得a＝﹣1或a＝2，
当a＝﹣1时，f（x）＝（x+2）ex﹣2，x≥0，此时f′（x）＝ex+（x+2）ex＝（x+3）ex＞0，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，则f（x）≥f（0）＝0，此时f（x）在[0，+∞）只有唯一零点，不合题意；
故实数a的值为2，经验证符合题意．
故答案为：2．
三．解答题（共1小题）
18．已知函数f（x）＝a|lnx|+x+，g（x）＝ex+e﹣x﹣a|ln（ax）|﹣，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求的值；
（2）讨论g（x）的零点个数．
解：（1）当a＝1时，．
当0＜x＜1时，．
当x＞1时，．
所以；
（2）令g（x）＝0，有，x＞0，
则，
即．所以f（ex）＝f（ax）．
当0＜x＜1时，；
当x＞1时，；
所以f（x）在（0，1）上递减；在（1，+∞）上递增．
又因为，所以f（ex）＝f（ax），当且仅当ex＝ax或．
又ex＞1，故ex＝ax和不可能同时成立．
所以g（x）的零点个数是两个函数s（x）＝ex﹣ax和的零点个数之和，其中x＞0．
s'（x）＝ex﹣a，当0＜a≤1时，s'（x）＞0，s（x）递增，s（x）＞s（0）＝1，s（x）无零点．
当a＞1时，令s'（x）＝0，得x＝lna，故s（x）在（0，lna）上递减；在（lna，+∞）上递增．
当1＜a＜e时，s（lna）＝a（1﹣lna）＞0，此时s（x）无零点．
当a＝e时，s（lna）＝0，此时s（x）有一个零点．
当a＞e时，
令，
故h（a）＞h（e）＝e﹣2＞0，所以s（2lna）＞0，
由零点存在性定理，s（x）在和（lna，2lna）上各有一个零点，
此时s（x）有两个零点．在（0，+∞）上递增．
又t，
故a＞0时，t（x）在（0，+∞）上必有一个零点．
综上所述，当0＜a＜e时，g（x）有一个零点；
当a＝e时，g（x）有两个零点；
当a＞e时，g（x）有三个零点．
