2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.3对数 练习（含答案）

对数
一、 选择题
1. 对数式 中实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
2. 已知正实数 满足 , 则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 , 则 等于
A. B. 2 C. 3 D. 1
4. 设 , 则
A. B.
C. D.
5. 科学记数法是一种记数的方法. 把一个数 表示成与10 的 次幂相乘的形式, 其中 . 当 时, . 若一个正整数 的 16 次方是 12 位数, 则 是（）（参考数据:
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 已知 都是大于 1 的正数, 且 , 令 , 则 的大小关系为（）
A. B.
C. D.
二. 多选题
7. 定义新运算 “ ”: , 则对任意实数 , 有
A. B.
C. D.
8. 已知正数 满足 , 则（）
A. B.
C. D.
三. 填空题（共 3 小题）
9. 若对数 存在, 则 的取值范围为
10. 若 , 用 表示 , 则
11. 十六、十七世纪之交, 随着天文、航海、工程、贸易及军事的发 展, 改进数字计算方法成了当务之急, 数学家约翰 纳皮尔正是在 研究天文学的过程中, 为了简化其中的计算而发明了对数, 后来 数学家欧拉发现了对数与指数的关系, 即 , 现已 知 , 则
四. 解答题（共 3 小题）
12. 把下列各式中的对数式化为指数式, 指数式化为对数式.
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) .
13. 化简求值:
(1) ;
(2) ;
14. （1）若 , 求 的值;
(2) 已知 , 求 的值.
参考答案
1. 【解答】解: 要使对数式 有意义,
则 解得 ,
故选: .
2. 【解答】解：设 , 且 时, , 分数无意义)则 ,
,,.
故选: .
3.【解答】解: ,
故选: .
4.【解答】解: 因为 , 且 , 所以 ,
又因为 , 且 , 所以 ；
所以 ;由 , 得 ,由 , 得 ,所以 ,所以 ,又因为 , 所以 ,
即 .
故选: .
5.【解答】解：由题意可设 ,
因为正整数 的 16 次方是 12 位数, 所以 , 所以 ,因为 , 所以 , 所以 , 则
所以故选: .
6.【解答】解：由 ,因为 都是大于 1 的正数,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,因为 , 且 是单调增函数,
所以 .
故选: .
二. 多选题
7.【解答】解: 对于 , 由题意 , 故 错 误;对于
, 故正确;对于 ,所以 , 即 , 故正确;对于
, 故正确.
故选: .
8. 【解答】解：由于正数 , 满足 , 设 ,则 ,
对于 , 同理 ,
, 故 正确,
对于
, 则 , 故 正确,
对于 ）, 故 错误,
对于 , 故 正确.
故选: .
三. 填空题
9. 【解答】解: 对数 存在, ,
解得: 或 , 即 的取值范围为:
故答案为: .
10. 【解答】解: ,故答案为: .
11. 【解答】解: 因为 , 所以 , 故 ,
所以 ,故 .故答案为: .
四. 解答题（共 3 小题）
12.【解答】解:
（1） ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) .
13. 【解答】解: (1)
(2)
14.【解答】解:
（1） ;
另解: 由 , 可得 ,
, 即 ,
则 , 所以 ;
(2) ;
;
;
;
;
; .