2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.3幂函数 同步练习（含答案）

《3.3　幂函数》同步练习
一、基础巩固
1.下列说法正确的是(　　)
A.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα在定义域上是增函数
D.当幂指数α=-7时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
2.下列幂函数为偶函数的是(　　)
A.y=x-1 B.y=
C.y=x D.y=x-2
3.已知4个幂函数的图象如图所示,则图象与函数的解析式大致对应的是(　　)
A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1
4.在下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递减的函数是(　　)
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x6 D.y=x-3
5.已知函数f(x)=,若0A.f(a)B.fC.f(a)D.f6.已知正整数p使得函数f(x)=xp-2在区间(0,+∞)内单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是　 .
7.若(a+1)3<(3a-2)3,则实数a的取值范围是　　　　　.
8.若函数y=(m2-2m-2)是幂函数,且为偶函数,则m的值为　　　　　.
9.比较下列各组中两个数的大小:
(1)(-6.3)4,(-6.2)4;
(2).
10.已知幂函数f(x)=,其中m∈{x∈Z|-2①在区间(0,+∞)内单调递增;
②对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0.
求同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式,并求当x∈[0,3]时,f(x)的值域.
二、能力提升
1.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的有(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若02.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)A.(3,+∞) B.(3,5)
C.(-∞,3) D.(-1,3)
3.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa和y=ax-(a≠0)的图象可能是(　　)
4.有四个幂函数:①y=x-1;②y=x-2;③y=x3;④y=.某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:
(1)是偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在区间(-∞,0)内单调递增.
如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是　　　　　(填序号).
5.已知幂函数f(x)=,且f(2)>f(3),求实数k的取值范围.
6.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
7.已知(a+1)-1<(3-2a)-1,求a的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.C　2.D
3.B　图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1,排除A,D.图象②中对应的幂函数是偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增,所以幂指数必为正偶数,排除C,故选B.
4.A　所给选项都是幂函数,其中y=x-2和y=x6是偶函数,y=x-1和y=x-3不是偶函数,故排除选项B,D;又y=x6在区间(0,+∞)内单调递增,不符合题意,y=x-2在区间(0,+∞)内单调递减,符合题意,故选A.
5.C　∵01.
又f(x)=在区间[0,+∞)内单调递增,
∴f(a)6.(-∞,0),(0,+∞)　∵f(x)=xp-2在区间(0,+∞)内单调递减,
∴p-2<0,即p<2.
∵p为正整数,
∴p=1,即f(x)=x-1,其单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).
7.　因为函数y=x3在R上单调递增,
所以有a+1<3a-2,解得a>.
8.-1或3　因为函数为幂函数,所以m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.
若m=-1,则函数为y=x8,函数为偶函数,符合题意;
若m=3,则函数为y=x12,函数为偶函数,符合题意.
所以m=-1或m=3.
9.解 (1)∵(-6.3)4=6.34,(-6.2)4=6.24,且4>1,
∴y=x4在区间(0,+∞)内单调递增,
∴6.34>6.24,∴(-6.3)4>(-6.2)4.
(2)∵y=在区间(0,+∞)内单调递增,
且,∴.
10.解 因为m∈{x∈Z|-2因为对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
当m=-1时,f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②;
当m=1时,f(x)=x0条件①,②都不满足.
当m=0时,f(x)=x3条件①,②都满足,且在区间[0,3]上单调递增.
所以当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27].
二、能力提升
1.ACD　将点(4,2)的坐标代入f(x)=xα,得2=4α,α=,所以f(x)=.
显然f(x)在定义域[0,+∞)内为增函数,所以A中说法正确;
f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B中说法不正确;
当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C中说法正确;
当00,f>0,所以2.B　∵f(x)=(x>0),
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减.
又f(a+1)∴∴3故a的取值范围为(3,5).
3.C　当a<0时,函数y=ax-是减函数,且在y轴上的截距->0,y=xa在区间(0,+∞)内单调递减,∴A,B,D项均不符合题意.
若a>0,则y=ax-是增函数,且在y轴上的截距-<0,y=xa在区间(0,+∞)内单调递增,故C项可能符合题意.故选C.
4.②　对于函数①,y=x-1是一个奇函数,值域是{y|y∈R,且y≠0},在区间(-∞,0)内单调递减,所以三个性质中有两个不正确;对于函数②,y=x-2是一个偶函数,其值域是{y|y∈R,且y>0},在区间(-∞,0)内单调递增,所以三个性质中有两个正确,符合条件;同理可判断③④中函数不符合条件.
5.解 由f(2)>f(3),可知-k2+k+2<0,
即k2-k-2>0,解得k>2或k<-1.
6.解 (1)∵f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
∴-m2+2m+3>0,
即m2-2m-3<0,解得-1又m∈Z,∴m=0,1,2.
当m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数;
当m=1时,f(x)=x4是偶函数.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x4.
(2)由(1)知,f(x)=x4,
则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1.
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立,∴g(x)min>2.
又g(x)min=g(-1)=c-1,∴c-1>2,解得c>3.
故实数c的取值范围是(3,+∞).
7.解 ①当a+1>0,且3-2a>0时,
∵(a+1)-1<(3-2a)-1,
∴解得②当a+1<0,且3-2a>0时,(a+1)-1<0,(3-2a)-1>0,符合题意,可得解得a<-1.
③当a+1<0,且3-2a<0时,
∵(a+1)-1<(3-2a)-1,
∴不等式组的解集为 .
④当a+1>0,且3-2a<0时,易知不符合题意.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1)∪.