共线、共面向量定理及空间向量基本定理的应用
一、单选题(本大题共6小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
如图,正四面体的棱长为,的中心为,过点的平面与棱,,,,所在的直线分别交于,,,,,则.( )
A. B. C. D.
如图所示的木质正四棱锥模型,过点作一个平面分别交于点,,,若,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱如图,在堑堵中,分别是的中点,是的中点,若,则( )
A. B. C. D.
已知空间三点,,若,且,则点的坐标为( )
A. B.
C. 或 D. 或
在四面体中,点,分别为,的中点,若,且,,三点共线,则( )
A. B. C. D.
已知为空间中任意一点,,,,四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)
空间直角坐标系中,为坐标原点,,,,,,则( )
A.
B. ,,,四点共面
C. 向量是平面的法向量
D. 直线与所成角的余弦值为
有下列四个命题,其中正确的命题有( )
A. 已知,,,是空间任意四点,则.
B. 若两个非零向量与满足,则.
C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量.
D. 对于空间的任意一点和不共线的三点,,,若,则,,,四点共面.
已知,,是空间的一个基底,则下列说法中正确的是( )
A. 若,则实数,满足
B. ,,两两共面,但,,不共面
C. 一定存在实数,,使得
D. ,,一定能构成空间的一个基底
三、填空题(本大题共2小题,共10.0分)
如图,已知四棱柱的底面为平行四边形,为棱的中点,,,与平面交于点,则 .
在平面直角坐标系中,已知点,,,若、、三点共线,则__________.
四、解答题(本大题共1小题,共12.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
本小题分
如图所示,在平行六面体中,,分别在和上,且,.
证明:、、、四点共面.
若,求.
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的运算及空间向量基本定理,属于中档题.
由题意,设,,,所以化简,因为,,,四点共面,即可求解.
【解答】
解:因为 为 的中心,
所以 ,
设 , , ,
所以
所以 ,
因为 , , , 四点共面,
所以 ,
即 ,
所以.
故选A.
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的应用,属中档题.
以、交点为坐标原点,射线、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系,设,,,, 、,进而写出、、、坐标,可得,,由四点共面有,设,求值即可得答案.
【解答】
解:以、交点为坐标原点,射线、、为、、轴正方向建立如图空间直角坐标系,设,,,, 、,
则,,,,
,,
由题意四点共面,则有,其中,
设,
由方程组,即,解得,
所以,
故选C.
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理的应用,属于中档题.
利用题目条件,将 分解到 方向上,进而得到,,,再求和即可.
【解答】
解:由题意, ,
而 ,
从而
,
从而 .
故选C.
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的坐标的运算,属于中档题.
根据 ,可设易知,则由建立方程,解出,求出设点的坐标为,由,得到方程组,这样求出的坐标.
【解答】
解:,可设.
易知,则.
又,
,解得,
或.
设点的坐标为,
则,
或
解得或
故点的坐标为或.
故选C.
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的加减运算,空间向量基本定理,考查运算求解能力,是基础题.
若,,三点共线,则存在实数使得成立,求出,从而,由此能求出结果.
【解答】
解:由题意可得
若,,三点共线,
则存在实数使得
成立,
又因为,
所以
即,,
可得.
故选:.
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理以及向量共面的的条件,题目为中档题.
首先,结合已知可得等式,求解即可.
【解答】
解:
.
因为为空间中任意一点,、、、四点满足任意三点均不共线,但四点共面,
所以,
解得.
故选A.
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的应用,属于中档题.
首先求出,,,即可得到,从而判断、,再根据平面向量数量积的坐标表示得到且,即可判断,求出,,利用向量法求解线线角.
【解答】
解:因为,,,,,
所以,,,
所以,故A错误;
设,即
解得,即,
所以、、共面,
所以,,,四点共面,故B正确;
因为,
所以,,
所以且,
所以向量是平面的一个法向量,故C正确;
,,
则直线与所成角的余弦值,故D正确;
故选BCD
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量加法的三角形法则,向量共线的定义,共面向量,四点共面的充要条件,属于中档题.
根据向量加法的三角形法则可判断;根据相反向量平行,可判断;根据空间任意两个向量均为共面向量,可判断;根据空间四点共面的充要条件,可判断.
【解答】
解:根据向量加法的三角形法则可得,故A错误;
若两个非零向量满足,则互为相反向量,方向相反,则 ,故B正确;
分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量,故C正确;
对于空间的任意一点和不共线的三点,,,若,当且仅当时,则,,,四点共面,故D错误;
故选:.
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断,考查空间向量的基本定理及应用,考查运算求解能力,是基础题.
利用 , , 是空间一个基底的性质直接求解即可.
【解答】
解: , , 不共面,且两两共面、不共线,
若 ,则,A正确,B正确
若存在,使得 ,则 , , 共面,与已知矛盾,C错误
设 ,则 此方程组无解,
, , 不共面,D正确.
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算,属于中档题.
设,则根据空间向量的线性运算可得,由,,,四点共面,可得各系数相加值为,求解即可.
【解答】
解:设,
由已知,
所以,因为,,,四点共面,
所以,解得.
故答案为.
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点,属于基础题.
要掌握三点共线的特点,由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出的值,然后计算求得、,从而求得结果
【解答】
解:由题意:,.
、、三点共线,
,可知.
,解得.
,解得.
则
12.【答案】证明:平行六面体中,,,
,,,,且平面平面,
,
≌,
,
同理,
故AEC为平行四边形,
、、、四点共面.
解:由题,
,
即,,,
.
【解析】本题考查四点共面的证明,空间向量基本定理及其应用,属于基础题,解题时要认真审题,解题时要注意向量法的合理运用.
由,,,,且平面平面,,知≌,进而,同理,故AEC为平行四边形,由此能够证明、、、四点共面.
结合图形和向量的加法和减法运算进行求解.
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